直觉类比要小心

直觉类比是通过两个对象间的相似性,把其中某一对象的性质、方法转移到另一个对象上来,所以它是一种由此及彼的合理推理.数学解题中常常从简单问题入手发现解题思路,然后通过对相似问题的条件、结构、特征进行分析、直觉类比相似的思维模式,完成对复杂问题的解答.但是在解决问题时,往往由于学生误将直觉类比理解为简单模仿,致使解题陷入误区.     

正切和角公式的类比应用

在数学解题中,常会碰到形如“(x+y)/(1-xy)”的结构,这时可类比正切的和角公式,进行三角代换,就能使比较隐蔽关系显现出来,从而实现难题巧解.下面举例说明.     

任意角的三角函数与两角和(差)的三角函数

1　本单元重、难点分析贯穿这一单元的显性基本知识有两条主线:任意角三角函数与两角和与差的三角函数.隐性的知识点为三角变换.三角变换有两种基本方法:三角函数名称的变换和角度的变换.本单元的基本特征是公式繁多,因此三角函数的应用主要是通过运用三角公式来进行的.灵活地运用三角公式主要有三种形式:顺用———直接运用公式解题;逆用———从公式的右边向左边思考来解题;变形用———将公式改变形式后再加以利用.灵活运用三角公式是本单元学习的目标,也是重点,更是难点.具体而言,角的概念的推广和度量单位的更新(弧度制)是本单元的第一…     

借助三角代换求解非线性递推数列问题

大家知道,由数列的非线性递推式确定其通项或其他性质,一般来讲是较困难的,对某些非线性递推数列问题,我们如能抓住递推式的外形结构特征,类比有关的三角公式,通过相应的三角代换,借助三角     

例析三角代换在解题中的运用

三角函数是高考与竞赛中的重要内容,三角换元是解题的重要方法.在解题过程中,通过对题设与结论形式的联想、类比,找出题中看似陌生的面孔与熟知的三角函数的关系,实施三角代换,实现认知结构的迁移.例1设函数f(x)=|     

类比三角公式进行三角代换

寻求解题思路、探测问题结论几乎离不开类比，在数学解题中如能抓住某些问题的外形结构，类比有关的三角公式，通过相应的三角代换，常能使思路豁然开朗，从而使问题简单而完美地解决．1类比平方关系式例1已知m、n、pR ，，n2十n2=p2，求证：分析由条件知，根据此式结构类比平方关系式sin2α＋cos2α=1可进行以下三角代换．证明设m=pcosa，n—pslna，其中例2解方程7三三二十7十二一手．”’””一／了工71十工‘4”分析本题含无理根式，按常规平方解法较繁．根据此题的结构与平方关系式1＋ig’a—see’a类比可进行以下代换．解易知X＜0不是…     

数学直觉与解题思路

数学直觉是人脑对于数学对象的某种迅速而直接的洞察或领悟 .数学直觉的主要特征是非逻辑性、自发性和“不可解释性” ,它能在一瞬间迅速解决问题 .数学直觉以其高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题的实质 ,它对培养学生的数学思维能力、增强数学悟性极其可贵 ,正如爱因斯坦所说 :“真正可贵的因素是直觉” .“看来 ,直觉是头等重要的 .”1　注重类比 ,直觉领悟类比是通过两个对象间的相似性 ,把其中某一对象的性质、方法推移到另一对象上来 .所以它是一种由此及彼的合情推理 .波利亚曾称“类比是一个伟大的引路人” .直觉类比中新结论的产…     

应用拆角凑角巧解题

实践证明,在证明三角恒等式或求三角式 的值的问题中,同学们一般都是把注意力集中 到如何根据已知条件,应用三角公式,通过恒 等变形去实现问题的解,往往忽视了角的拆凑 变化在解题中的重要作用.其实有一些三角问 题,只要留心观察题目中角度的特点,联想所 学的公式,灵活地采取拆角凑角的方法,那么 就可获得新颖简捷的解法. 下面略举几例加以说明.     

用消中间项法求三角函数式的和与积

消中间项在数列中是一种常用的解题方法 ,而在求一类三角函数式的和与积中 ,一旦加入了三角公式及其变形式的灵活应用后 ,消中间项思想便赋予解题以更丰富、更灵巧的方法 .它对提高学生综合应用三角公式的能力 ,培养学生思维的灵活性、广阔性和深刻性等都大有裨益 .1　求三角函     

三角变换时的六点注意

借助三角公式进行变换时,由于三角公式比较多,一旦公式的选取不当,或者数学思想方法运用不好,都会造成变换失败的局面产生,以下对变换时需要注意的六点加以归纳.1不要随意选用公式在进行三角变换时,要特别注意公式的选用,否则会陷入繁杂的运算之中,甚至解题失败.例1求sin20c°o     

例谈三角恒等变换中的求值问题

我们知道变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一,三角恒等变换就是其中一种,在三角函数的化简、求值、证明中都离不开三角恒等变换.而三角函数求值是三角恒等变换公式的基本应用,也是考查的重点,要掌握求值问题的解题规律和途径,应正确选用公式,并掌握公式的变形应用技巧,具体说来主要有下面三种题型：     

三角换元法的应用

三角换元法是一种用三角函数代替问题中的字母（或式子）,然后利用三角函数之间的关系达到解题目的的一种解题方法.该解法的优点在于将已知条件通过代替转化为同一个角的某个三角函数来表示,从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简,直至问题的解决.本文以部分数学高考题,自主招生试题,高中数学竞赛试题为例说明如下.     

三角法再解一道联赛试题

<正>三角形全等、相似判定定理,是平面几何最常用的解题工具之一.利用正弦、余弦、正切等定义与公式解题,我们称这一方法为三角法,三角法也是平面几何的解题工具.利用三角法解以下一道初中数学联赛题,另有一番趣味.题目(2016年全国初中数学联合竞赛第一试(5)试题)如图1,在四边形ABCD中,∠BAC=∠BDC=90°,     

略论数学类比推理能力的培养

类比推理时,需要有丰富的知识和联想的能力. 运用类比推理解决问题,其基本过程可用框图表示如下:解题关键是寻找一个合适的类比对象. 按寻找类比对象的角度不同,类比常分为降维类比、结构类比、简化类比等类型. 在解题教学中,应该有计划、有目的地依据教学内容,逐步渗入类比推理方法,使学生由不自觉到自觉地掌握进而运用推理方法.1. 命题从平面到空间推广,探究拓展结论将三维空间的对象降到二维(或一维 )空间中的对象,此种类比方法即为降维类比. 在降维类比的方法中,常常体现在双向联想的结合,即由平面几何问题类比联想到立体几何中去,…     

类比中获新知 应用中显能力 ——从初中数学类比解题法谈起

类比法是培养学生合情推理能力的重要数学思想方法,契合了义务教育数学新课程标准的要求,将其应用到初中数学解题教学中,可促使学生在类比中通过归纳、知识迁移、发现规律、挖掘题目中隐藏的条件,最终打开解题思维,顺利找到解题的“突破口”.本文结合一定的例题,针对类比思想在数学解题中的具体应用进行了详细地探究,具备一定的参考价值.     

挖掘隐含条件,走出解题误区

三角是初等数学的重要组成部分 ,三角函数独特的性质 (如定义域、有界性、周期性等 ) ,以及三角函数众多的公式 ,使解决三角问题的条件较一般的代数问题更趋于隐蔽 ,解题的过程具更多陷阱 ,解题的思维更需慎密 .本文通过挖掘三角问题的隐含条件 ,揭示其隐含方式 ,展示其隐含真面目 ,从而走出易陷的误区 ,寻找正确的解决方法 .1　隐含于函数的定义域中例 1　判断函数f ( x) =1 sin x - cos x1 sin x cos x的奇偶性 .不少学生认为 :∵　 f ( x) =2 sin x2 ( sin x2 cosx2 )2 cosx2 ( sin x2 cosx2 )=tan x2 ,∴　 f ( - x) =tan( - …     

浅谈定义域在高等数学解题中的一些作用

浅谈定义域在高等数学解题中的一些作用周维（淮南矿业学院）函数是高等数学研究的主要对象，作为函数两要素之一的定义域，学生在解题时往往对其注意不够而出错，本文将通过几个例题的分析对此问题谈点粗浅看法。例１化简人而Ｚ刁．学生在解题时，往往由三角公式去化简，...     

高考复习课堂实录

课题:三角函数式的化简和求值适用年级:高三年级学期:2006～2007学年度第一学期要点提示三角函数式的化简和求值考查了众多的三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择．认真分析所求式子的整体结构,分析各个三角函数及角的相互关系是灵活运用公式的基础,是恰当寻找解题思维起点的关键所在．注意以下几个三角恒等变形和常用技巧,会使我们解题正确、合理、迅速．     

论类比思想在初中数学解题中的应用

类比思想作为初中阶段重要的数学思想,无论是在解题应用上还是知识理解上都起到十分关键的作用.同时类比思想在归纳知识结构、帮助学生形成知识体系方面也占据独特地位.因此教师在日常的解题教学中应该着重培养学生的类比思维,让学生不仅能实现知识之间的类比转化,也能挖掘题型上的类比方法,以此简化解题过程,提高解题效率.     

神奇的类比透彻的理解

类比是探求未知事物的强有力的思想武器.“类比就是一种相似.”换言之,类比就是类似比较.G.波利亚在《怎样解题》中是这样论述类比的:“相似的对象在其某个方面彼此一致,类比的对象则在其相应部分的某些关系上相似:长方形每一边恰与另一边平行,而与其余的边垂直.长方体的每一面