三角换元法的应用

<正>三角换元法是一种用三角函数代替问题中的字母(或式子),然后利用三角函数之间的关系达到解题目的的一种解题方法.该解法的优点在于将已知条件通过代替转化为同一个角的某个三角函数来表示,从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简,直至问题的解决.本文以部分数学高考题,自主招生试题,高中数学竞赛试题为例说明如下.例1(2012年浙江省高考题)若正数x、y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是     

学生为什么总是“另起炉灶”?

三角函数部分内容考查基础知识、基本技能和方法,该类问题得分率较高.这只是我们的一种片面观点,对学生而言,并不是所有三角题都容易.仔细审视近几年高考试题,学生面对需在三角函数体系内"变形、转化"问题时,往往解题方向选择不恰当,费时、费力,且不得要领,得分率不高.笔者通过几个案例窥探到一些学生在三角函数系统内解三角函数题"对接"不流畅的原因.一、案例窥探     

波利亚解题思想下GeoGebra辅助数学解题教学——以三角函数题为例

学生能在解题过程中,获得数学基本知识、基本技能、基本活动经验以及基本思想,并提升发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.本文聚焦数学核心素养,尝试在波利亚“怎样解题表”的指引下,借助GeoGebra解决一道三角函数试题,以期为数学教师优化解题教学以及将GeoGebra融入高中数学课堂提供实践参考.     

例谈三角恒等变换中的求值问题

我们知道变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一,三角恒等变换就是其中一种,在三角函数的化简、求值、证明中都离不开三角恒等变换.而三角函数求值是三角恒等变换公式的基本应用,也是考查的重点,要掌握求值问题的解题规律和途径,应正确选用公式,并掌握公式的变形应用技巧,具体说来主要有下面三种题型：     

利用三角代换法解竞赛题

在解决有关的竞赛问题时,常借助于题目显现的某些结构特征,引入三角代换,将所给问题转化为含有角的问题,然后运用三角函数的变换和性质进行求解．三角代换法是一种实用有效的解题方法,同时具有技巧性强的特征．     

捕捉特征信息巧用类比解题

类比法是通过有类似关系的不同对象的比较,根据其相似性,将其中某一对象的某些结构、性质等推移到另一对象上去的一种推理方法.下面列举几例说明如何通过类比三角函数的有关知识,找到解题思路,供同学们参考.1与三角公式的类比许多三角公式都有其特有的形态,在解题时,如果题目本     

三角函数式的变形原则

要想在高考2小时的数学考试中取得优异的成绩,唯一的办法是正确率高和解题速度快,这是从解题的质、量两个方面考虑的．要想实现这两个方面的和谐、完美的统一,最重要的方法就是运用科学的解题思路和思维方法,数学可分为几大块(三角函数就是其中的一块),并且每一块中都有相应的解题思路和思维方法．三角函数最重要的是三角变形,那么三角变形有哪些变形思路呢?我们通过例题来说明．     

例析三角代换在解题中的运用

三角函数是高考与竞赛中的重要内容,三角换元是解题的重要方法.在解题过程中,通过对题设与结论形式的联想、类比,找出题中看似陌生的面孔与熟知的三角函数的关系,实施三角代换,实现认知结构的迁移.例1设函数f(x)=|     

三角函数图像变换的四个思维误区

三角图像变换是三角函数学习中的重点,也是学生解题的一个易错点,针对这个问题,下面略举数例加以分析,供同学们学习时参考.一、忽视图像的平移方向     

三角函数问题中的八遇八想

三角函数是高中数学的基础知识，是高考考查的重要内容之一。但由于三角公式多变化多，很多同学不能很好把握，而要真正把握三角函数的本质，我们不仅要记住公式，更重要的是要抓住公式的特征，有利于在解题时观察分析题设、结论间的差异和联系。同时掌握三角函数的常用思考、联想的问题，从而明确解题的方向，找到解题的切入口。本文就一些常见思考方向作一些介绍。     

三角形综合问题的六类题型及解法

三角作为数学解题工具,是一门重要的基础学科．纵观近年高考试题,常以涉及三角形有关的综合题出现,通过三角形边、角与数列、方程、不等式、解几等有关问题相结合,考查灵活应用知识解决问题的能力．本文归纳涉及三角形综合问题的六种题型,并通过典型实例分析其解题方法及技巧,供参考．     

2012高考题中的三角函数问题赏析

三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点.近几年高考已抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查,将重点转移到三角函数的图象与性质的考查,对基础知识和基本技能的考查上,分析2012年高考题中的三角函数试题,可归纳为以下几种类型. 1 纯三角问题 1.1 考查三角函数的图象与性质 例1(2012高考福建)函数f(x)=sin(x-π/4)的图像的一条对称轴是____.     

任意角的三角函数与两角和(差)的三角函数

1　本单元重、难点分析贯穿这一单元的显性基本知识有两条主线:任意角三角函数与两角和与差的三角函数.隐性的知识点为三角变换.三角变换有两种基本方法:三角函数名称的变换和角度的变换.本单元的基本特征是公式繁多,因此三角函数的应用主要是通过运用三角公式来进行的.灵活地运用三角公式主要有三种形式:顺用———直接运用公式解题;逆用———从公式的右边向左边思考来解题;变形用———将公式改变形式后再加以利用.灵活运用三角公式是本单元学习的目标,也是重点,更是难点.具体而言,角的概念的推广和度量单位的更新(弧度制)是本单元的第一…     

构造直角三角形 巧解一类三角求值问题

已知角的某种三角函数值,求其他三角函数值的问题,是学生学习中的一个难点.同学们在求解这类问题时,往往由于解题方法的选择不当而一筹莫展.笔者多年的教学实践表明,在处理一些三角求值问题时,若能充分利用三角问题中所具有的图形特征,通过构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系,便可简洁、迅速地使问题得到解决.下面笔者略举数例并加以分析供同学们学习参考.     

"三等分角"问题的一次联想及其教学尝试

笔者最近在高三年级三角函数的专题复习中,发现以数学课代表为首的一些同学在解题过程中,对一道题目结论感到困惑,从而影响着学生的解题认识.笔者起初准备抽出一节课就题论题予以引导,但进一步研究并查询相关资科后,意外发现此三角题竟与“三等分角”问题有关联.于是就改变原有     

三角换元法的应用

对含有某角的三角函数的偶次幂的三角函数式,通过“换元、降次”,将其转化为代数式来求解,往往使得解题简捷。反过来,有的数学问题,通过三角换元后,化为三角函数式问题来处理,这种方法,叫做三角换元法。三角换元法是高等数学中的一种重要方法,在初等数学中也有着较广泛的应用。有的问题应用三角换元法去解,不仅可化难为易,使得解题简便,而且能让学生养成“一题多解”的习惯,开扩视野,发展思维,加深对函数概念和等价变换更加探入的理解。现从以下几个方面举例说明。     

从已有知识经验出发寻找解题思路

江苏于志洪先生在文[1]中,利用三角换元法解答了6道高考多元条件求最值问题,笔者阅读该文的同时,思考了怎样从学生的已有知识、经验出发,寻求自然的、简明的解题途径.本文以文[1]中的问题为例,探究这些代数最值问题的直接解答途径,愿对读者开展解题分析,探究解题思路,形成解题过程有所启迪.例1（2013年宁镇扬三市二模试题）若不等式x（1/2）＋y（1/2）≤k 2x＋y（1/2）,对任意正实数x,y成立,求k的最小值.     

求解三角函数问题的有效途径

三角函数在高考中占有重要的地位,试题的命制多以解答题的形式出现,试题的难度一般不大,是同学们的必争得分点.下面就成功解题的有效途径进行举例说明,以期对读者有所帮助.     

2006年三角考题亮点赏析

三角函数是中学数学的重要内容,是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础和工具,也是高考试题的热点之一．2006年全国各地三角高考试题覆盖面广,其中不少试题很有创意．本文对高考有关三角函数的亮点问题分类赏析．一、重点考查三角函数性质三角函数的性质历来是高考考查的重点,     

y=A sin(ωx+φ)+k——研究三角函数性质的法宝

三角函数是高中数学的重点内容之一,高中学生在分析三角函数问题时,往往因对三角变换的目标不明确、找不到解题方向而丢分.实际上,三角变换包括三个方面:①变换角,即化异角为同角;②变换函数名,也就是化异名函数为同名函数;③变换结构,主要是将高次式降幂为一次式,将低次式升幂为一次式.即将目标三角函数化为y=A sin(ωx+φ)+k的形式.