球面上的常中曲率子流形

1.前言设M是n p维单位欧氏球面S~(n p)的n维常中曲率紧致子流形.一个基本的问题是:在什么条件下M为n维小球(即全脐点子流形)?当p=1即M为超曲面时,这方面已有许多结果.当p>1时,问题要复杂得多.最近,沈一兵、黄宣国从M的截面曲率的角度研究了这一问题,证明了:当M的截面曲率>1/2μ(1 ‖ξ‖~2)时,M必为n维小球.其中     

常曲率黎曼流形的共形平坦的极小超曲面(英文)

本文研究常曲率黎曼流形 S~(n+1)(c)中的共形平坦的极小超曲面 M~h,证明了下面结果.定理 设 M~h 是 n+1维常曲率黎曼流形 S~(n+1)(c)的共形平坦超曲面(n≥4),则 M~n是常数量曲率的极小超曲面的充要条件是:(1)M~n 的数量曲率 R=(n-1)c 时,M~n 是全测地超曲面,从而也有常曲率 c;(2)M~n 的数量曲率 R≠n(n-1)c 时,c>0和 M~n 局部可约为常曲率黎曼流形S~(n-1)(n/(n-1) c)与直线 R′的乘积.系,设 M~n 是具有非正常曲率 c 的黎曼流形 S~(n+1)(c)的共形平坦超曲面(n≥4),如果M~n 是常数量曲率的极小超曲面,则 M~n 是全测地超曲面。     

关于球面中具常数量曲率的紧致极小超曲面的一个注记

设M是单位球面S~(n+1)中的一个n维紧致极小超曲面.k表示它的第二基本形式,S表示h的长度的平方.由Gauss方程可知S是内在的且由下式决定 S=n(n—1)—R,这里R是M的数量曲率,由此可知S为常数的充要条件是M具常数量曲率. 估计S的值域是一个十分引人注意的问题.Naoya Doi在[1]中给出了一个新的积分不等式,利用这一不等式,他证明了:若M的截面曲率以1为上界,则M是大球面或S≥2(2n—3).本文用另一简便方法证明了上述积分不等式并且改进了Naoya Doi的     

关于拟常曲率流形的子流形的Simons型公式

对于浸入在常曲率流形中的超曲面,K.Nomizu and B.Smyth在[1]中计算其第二基本张量的长度平方的拉氏算子得到一个Simons型公式,运用这个公式,他们研究了在一些附加条件下R~(n 1)或S~(n 1)中超曲面的测定。J.Erbacher[2]和K.Yano and S.Ishihara[3]把[1]的结果推广到浸入在常曲率流形中余维为p(≥1)的子流形上去。本文把[2,3]的Simons型公式推广到拟常曲率流形的情形,用此公式我们求得拟常曲率流形的极小子流形为全测地子流形的一个充分条件,还给出这个公式的其他一些应用。     

旋转对称空间中的平均曲率型流

本文研究了一大类旋转对称空间中星形闭超曲面的平均曲率型流,在初始超曲面没有任何曲率假设的条件下,证明了该平均曲率型流的解长时间存在,并光滑地指数阶收敛到一测地球面.该结论完全推广了Guan和Li(2015)关于空间形式的星形闭超曲面平均曲率型流的结果.     

圆球面为边的常F-平均曲率类空超曲面

设F(t)是上伪球面H_+~n上时轴旋转不变且满足凸条件的光滑函数.本文证得:Lorentz空间L~(n+1)中,以圆球面S~(n-1)(R)为边界且有非零常F-平均曲率的紧致类空超曲面必为Wulff帽.     

关于R~4内的常数量曲率的完备超曲面

本文证明了下述的主要结果: 设M为R~4中的完备常中曲率超曲面,且数量曲率为常数,如果M不是常主曲率超曲面,则一定有R<0。     

Sn+1中具有调和M(o)bius曲率张量的超曲面

设x:Mn→Sn 1是(n 1)维单位球面Sn 1中的无脐点的超曲面.Sn 1中超曲面x有两个基本的共形不变量:M(o)bius度量g和M(o)bius第二基本形式B.当超曲面维数大于3时,在相差一个M(o)bius变换下这两个不变量完全决定了超曲面.另外M(o)bius形式Ф也是一个重要的不变量,在一些分类定理中Ф=0条件的假定是必要的.本文考虑了Sn 1(n≥3)中具有消失M(o)bius形式Ф的超曲面:对具有调和曲率张量的超曲面进行分类,进而,在M(o)bius度量的意义下,对Einstein超曲面和具有常截面曲率的超曲面也进行了分类.     

三维空间形式中紧致常平均曲率曲面拓扑型的曲率特征

把陈省身教授关于三维球空间中紧致常平均曲率球面拓扑型的曲率特征的研究,以及浙江大学水乃翔教授等人关于环面的相应研究,扩展到一般三维空间形式中任意紧致定向常平均曲率曲面拓扑型的曲率特征的研究.证明了曲率为k的三维空间形式中的紧致定向常平均曲率曲面M为拓扑球面的充要条件是k+H2-K=0,M为拓扑环面的充要条件是k+H2-K＞0,M的亏格为g(≥2)的充要条件是k+H2-K的零点个数为8(g-1),其中H和K分别为M的平均曲率和Gauss曲率.前两个结果分别推广了陈省身和水乃翔等人的结果.     

常曲率空间与全脐点超曲面

<正> 最近,胡和生证明了如下的命题:如果黎曼空间 V_(n+1)容有三系相互直交的常曲率全测地超曲面,那末 V_(n+1)是常曲率的,而且这些超曲面的曲率都相等.本文的目的是把这里全测地的条件换成较广泛的全脐点条件而证明同一结果.设 V_(+1)的基本张量是 α_(αβ)(α,β=1,…,n+1),而且超曲面V_n~((1))的方程是     

关于R~4内的常数量曲率的完备超曲面

本文证明了下述的主要结果:设 M 为 R~4中的完备常中曲率超曲面,且数量曲率为常数,如果 M 不是常主曲率超曲面,则一定有R<0.     

常曲率黎曼流形中的一类超曲面

设M~n是n+1维常由率黎曼流形S~(n+1)中的超曲面,其二个主曲率的重数L_1,L_2(L_1+L_2=n)保持为常数。本文证得:1.若L_1,L_2≥2则局部地至少有一个主曲率为常数。2.若L_1,L_2≥2,且M~n是常平均由率的单连通完备超曲面,则M~n=S~(L_1)×S~(L_2)。3.若L_1=1,L_2=n-1且M~n为常数量曲率和常平均曲率的单连通完备超曲面,则M~n=S~1×S~(n-1)。4.若M~n为单连通完备的S-流形,则 M~n=S~(L_1)×S~(L_2)。     

S~4内的常数量曲率的紧致超曲面

本文把关于S~4内极小超曲面的一个Pinching定理推广到S~4内的常中曲率及常数量曲率的超曲面的情形,设M为这样的超曲面,记S和H分别为M第二基本形长度之平方和中曲率,证明了:如果S≤H~2 6,则M只能取1/3H~2,3/4H~2或上H~2 6这四个数,当H=0时,此结果即为上述的S~4内极小超曲面的Pinching定理。     

S~4内的常数量曲率的紧致超曲面

本文把关于 S~4内极小超曲面的一个 Pinching 定理推广到 S~4内的常中曲率及常数量曲率的起曲面的情形.设 M 为这样的超曲面,记 S 和 H 分别为 M 的第二基本形长度之平方和中曲率.证明了:如果 S≤H~2 6,则 M 只能取1/3H~2,3/4H~2±1/4 3或 H~2 6这四个数.当 H=0时,此结果即为上述的 S~4内极小超曲面的 Pinching 定理.     

拟常曲率空间中具有常平均曲率的完备超曲面

主要研究了拟常曲率空间中具有常平均曲率的完备超曲面,得到了这类超曲面全脐的一个结果.即若Nn+1的生成元η∈TM,且a-2|b|=c(常数)>0,则当S<2 n-1~(1/2)(a-2|b|)时,M为全脐超曲面.     

子流形的具有位置向量方向外力场的平均曲率流

考虑欧氏空间R~(n+p)中n(≥2)维闭子流形沿平均曲率向量场加上一个位置向量方向外力场的流的发展.设子流形任意一点处平均曲率向量非零和第二基本形式的模长以平均曲率向量长度的常数倍(仅与n有关)为界,我们证明了若外力场很小时,拼挤子流形要么在有限时间内收缩为一点,要么子流形在任意时刻都存在;若外力场足够大时,子流形发散到无穷大;同时,当流发展到极限位置时,规范化子流形都光滑收敛到R~(n+p)中的一个n+1维子空间中的标准球面.     

Lorentz空间中常平均曲率类空超曲面

本文证明了ｎ＋１维Ｌｏｒｅｎｔｚ空Ｌｎ＋１中以Ｓｎ－１（ｒ）为边界的紧致常平均曲率类空超曲面只有 Ｂｎ（ｒ）和超伪球面盖．对于 Ｒｎ＋１中的紧致常平均曲率超曲面，当高斯映照像落在一个半球面内时，得到相应的唯一性结果．     

一类具有平行平均曲率和有限全曲率的完备子流形

本文把Berard P.,do Carmo M.,Santos W.在1998年所得的结果,分别推广到局部对称的Cartan-Hadamard流形中具有常平均曲率和有限全曲率的完备超曲面,以及球面上具有平行平均曲率和有限全曲率的完备子流形.     

三维Minkowski空间R~(2,1)中常曲率曲面的Bcklund定理及其高维推广

本文讨论三维Minkowski空间R~(2,1)中常曲率曲面之间的变换.一共有三种变换,这些曲面及变换与Sinh-Gordon,Sine-Gordon,Sine-Laplace,Sinh-Laplace方程的解及其Backlund变换有对应关系,利用这些关系,可以得到这些变换的置换定理.最后一节讨论R~(n,n-1)中n维正常截面曲率黎曼子流形之间的变换及其置换定理.     

欧氏空间中紧致子流形的积分公式(英文)

本文研究了(n+p)维欧氏空间R~(n+p)中n维定向紧致无边子流形Mn的积分公式的问题.首先定义了M~n沿其单位平均曲率向量场ξ方向的高阶平均曲率H~r(0≤r≤n);然后,利用活动标架与外微分法,获得了关于Mn的一个新的积分公式.新公式推广了余维数p=1即超曲面情况下的经典积分公式.