一个Erdis问题在二次曲线下的推广

著名数学家Paul Erd■s曾提出过这样一个有趣的问题:"设U为平面上一些单位圆所成之集,如果平面上任一条直线总和U中至少一个圆相交或相切,那么是否可以肯定:对任给的自然数m,总能找到一条直线,它至少和U中的m个圆相交或相切?"张景中,杨路等人解决了这个问题.本文探讨了该问题在二次曲线下的推广,得到了和原Erd■s问题相似的结论.     

点集拓扑学之杨忠道定理的一个机械化证明

本文给出一种用高阶逻辑自动证明语言Isabelle在计算机中表示拓扑空间中开集、闭集、邻域和导集等基本概念的方法,在此基础上证明点集拓扑学中著名的杨忠道定理,即一拓扑空间的任意单点集的导集为闭集,则其任意子集的导集亦为闭集.     

基于矩形区域剖分的不等式机器证明方法-以Zirakzadeh的一个几何不等式为例

1988年,张景中,陶懋颀用细致的人工估计,用BASIC语言程序在PB700微型计算机上证明了Zirakzadeh于1964年证明的一个几何不等式,其方法是把不等式涉及的变量所在之区域剖分为一系列充分小的矩形,在每个小矩形上用数值方法验证若干三角函数不等式的正确性.这个工作后来没有发表.将Zirskzadeh不等式转化为一个有3个变元的根式不等式,形如(((√)m1)+((√)m2)+((√)m3)≥3((√)m4),其变量所在区域为一由6个线性不等式限制形成的多面体P(有14个顶点,21个棱和9个面),先用幂级数展开方法证明讨论的根式不等式在小长方体邻域[-0.1,0.1]3(∪)P成立,次将这个邻域以外的集合分割成有限多个边长不小于1/1280的小长方体或多面体,在每个小凸体上通过计算函数在顶点的取值和函数偏导数范围证明根式不等式的正确性.文章给出的验证数引理,可根据连续可微函数在长方体或一般凸多面体V的顶点的值,及函数偏导数的绝对值在集合V的上界,证明函数在V上的正定性.文章给出计算多项式在三维空间凸多面体上的最大值和最小值,以及估计根式函数的验证数的机械化方法.     

关于三角形区域的Heilbronn数

设Ｋ是一个具有面积｜Ｋ｜的平面凸体。用（ｒ＿１ｒ＿２ｒ＿３）表示三角形ｒ＿１ｒ＿２ｒ＿３的面积，并令然后将Ｋ中ｎ个点的Ｈｅｉｌｂｒｏｎｎ数定义为对于三角形区域Δ，我们证明了     

基于符号数值混合计算的混成系统Lyapunov函数构造

基于平方和松弛和有理向量恢复,提出了一种符号数值混合计算方法来构造多项式Lyapunov函数以判定非线性混成系统的稳定性,首先,为Lyapunov函数预定一个给定次数的多项式模板,则Lyapunov函数构造问题可转化为相应的带参数的多项式优化问题,然后运用平方和松弛方法求得一个近似的数值多项式Lyapunov函数,再应用高斯-牛顿精化和有理向量恢复将数值多项式转化为验证的有理多项式Lyapunov函数.     

最初几个Heilbronn数的猜想和计算

本文首先结合保面积仿射变换和微小扰动方法,对任意凸区域K及点数n较小的Heilbronn 问题进行了较一般的讨论;然后分别利用进一步的计算,得出了K为正方形n=5,6的 Heilbronn数,并给出相应的最优图形;最后提出正方形中 7点的 Heilbronn数的一个猜测。文中的方法和主要引理可用于其它形状凸区域K的类似问题。     

半球面上一个几何优化问题

单位球面x~2+y~2+z~2=1的赤道上(z=0)任意给定不同的三点A,B,c,求上半球面上(z≥0)上的一点D,使得距离和|AD|+|BD|+|CD|取得最大值.通过数值搜索知道,使距离和取得最大值的点D很多情况下位于赤道上,少数情况下位于半球面内部.通过角度计算,同时借助计算机辅助推导,发现了点D在大多数情况下位于赤道上的原因,同时得到了点D位置的计算公式.     

正多边形和正多面体各维骨架的平均距离常数

本文讨论了具有某种对称性的紧致连通图形的平均距离常数的求法,针对非凸的情形.给出了平面正多边形之周界和三维空间正多面体表面及棱线的均距常数的表达式.其方法亦适用于 R~n 中正则图形如正单形或正 n 方体之各维骨架.     

基于连续同伦的多方对策之Nash均衡点的机械化求解方法

Nash定理证明非合作n人矩阵对策一定有混合平衡解,现有文献多讨论n=2时混合平衡解的求法,一般用优化或逼近的方法.文章给出了一种机械化求解方法,通过构造非合作多人矩阵对策的混合平衡局势所满足的多项式方程组,应用方程组求解软件由此可直接求出多人对策的问题的各种混合平衡解.