数学深度解题教学探析——2021年全国乙卷理科第12题为例

为促使数学解题教学走向深入,本文基于2021年全国乙卷理科第12题,从深度应用、深度联结和深度拓展这三个维度进行探究,分析该题解决过程中所涉及的数学思维,挖掘数学思维在数学深度教学中的价值.     

高雷诺数壁湍流的研究进展及挑战

高雷诺数壁湍流(high Reynolds number wall-bounded turbulence,HRNWT)是目前湍流科学研究的一个热点也是一个难点,对其现象、规律及机制的认知不足,理论体系远未建立而且研究手段受到各种限制.本文基于对HRNWT主要研究手段的介绍,针对HRNWT中的湍流统计量、超大尺度结构(very large scale motions,VLSMs)的尺度和形态以及起源和影响及其与颗粒的相互作用,总结了HRNWT的研究现状和最新进展,特别梳理了近年来本文作者团队在HRNWT特别是高雷诺数颗粒两相壁湍流方面的研究成果,并对HRNWT的进一步研究给出了建议及展望.      

2:1内共振条件下变转速预变形叶片的非线性动力学响应

在工程实际中,涡轮机叶片的转速在很多应用场景下不是一个定常值,比如发动机在启动、变速、停机等工况下,转子输入与输出功率失衡,伴随产生扭振,产生速度脉冲. 另外,由于服役环境、安装误差等因素会引起叶片在所难免的预变形. 本文主要研究预变形叶片,在变转速条件下的非线性动力学行为. 考虑叶片转速由一定常转速和一简谐变化的微小扰动叠加而成. 应用拉格朗日原理得到变转速叶片的动力学控制方程,并采用假设模态法将偏微分方程转为常微分方程,通过引入无量纲,使方程更具有一般性. 运用多尺度方法求解了该参激振动系统,得到了在 2:1 内共振情形下的平均方程,进而获得系统的稳态响应. 详细研究温度梯度、阻尼以及转速扰动幅值等系统参数对叶片动力学响应的影响规律,同时考察了立方项在 2:1 内共振下对方程的影响. 对原动力方程进行正向、反向扫频积分来观察其跳跃现象,并对解析解进行验证. 结果发现参数的变化对叶片均有不同程度影响,在 2:1 内共振下立方项对系统响应的影响很小,解析解与数值解吻合很好.      

FCC辐照金属铜材料中氦泡平衡内压的分子模拟及其尺度效应

氦泡内的氦密度及其内压对含氦泡辐照材料的力学性能具有重要影响，本文采用分子模拟方法系统地研究了面心立方金属铜材料内氦泡平衡内压及其尺度效应、温度效应和引起的应力场。基于能量最小原理与应力平衡准则，提出了确定平衡内压的方法，研究发现：1）采用能量最低原理与应力平衡准则所获得的平衡内压是自洽的；2）存在一个临界尺度，当氦泡孔径小于该临界尺度时，平衡内压出现反常尺度效应，即当氦泡孔径小于3nm时，平衡内压并不随孔径减小而明显增大，甚至出现减小的异常现象；3）传统采用基于球形孔洞的理论公式估算严重高估了氦泡平衡内压，引起的误差随氦泡孔径减小而显著增大，如孔径为3nm时，误差超过63%；4）由于纳米孔洞多面体特性和材料的各向异性，即使在平衡内压条件下，基体铜材料内仍存在一定的应力分布，该应力体现出显著的局域特征，即随着距孔洞中心距离的增加而快速下降。此外，本文还提出采用时间平均叠加区域平均来减小热涨落对应力场的影响，取得了较好的效果。     

高熵合金的力学性能及变形行为研究进展

高熵合金是近年来提出的一种新的合金设计理念,打破了一般合金中以1种或2种元素为主,辅以极少量其他元素来改善合金性能的传统思想,由多种元素以等原子或近似等原子比混合后形成具有独特原子结构特征的单一固溶体合金.高熵合金的多主元特性使其在变形过程中表现出多重机制(包括位错机制、形变孪生、相变等)的协同,因而高熵合金已经展示了优异的力学性能,如高强、高硬、高塑性、抗高温软化、抗辐照、耐磨等,被认为是最具有应用潜力的新型高性能金属结构材料,已经成为国际固体力学和材料科学领域研究的热点.本文首先介绍了高熵合金独特的结构特征,即具有短程有序结构和严重的晶格畸变;随后对近年来针对不同类型高熵合金(包括具有面心立方相、体心立方相、密排六方相、多相以及亚稳态高熵合金)力学性能、变形行为方面的研究成果,特别是强韧化机制以及相关的原子尺度模拟,进行了较为系统的综述;最后强调了高熵合金未来研究中所面临的一些主要问题和挑战,并对其研究进行了展望.     

用人工神经网络方法测量生物组织光学参数γ

提出了一种利用亚扩散空间分辨漫反射预测生物组织约化散射系数μ_s'和相函数参量γ的人工神经网络方法 .采用蒙特卡罗方法得到光子经生物组织漫反射的数据样本,利用这些数据样本训练反向传播神经网络,用于从亚扩散散射光中预测γ的信息.为了解决同时预测μ_s'和γ两个参数时会产生较大误差的问题,分段数据训练两个BP网络,依次识别μ_s'和γ.研究发现3.64l_(th)(l_(th)表示平均输运自由程)是对γ的不敏感点,可用该点附近的数据样本训练网络用于预测μ_s',用2l_(th)范围内的数据样本训练网络用于预测γ.蒙特卡罗仿真结果表明,在1.3≤γ≤1.9范围内,预测结果与真实值的相对均方根误差在1%以内.与现有的测量方法相比,所提的人工神经网络方法更加简单,且提高了预测精度.     

污染环境中具有尺度结构的周期种群系统的最优控制

本文研究污染环境中具有尺度结构的周期种群系统的最优控制问题.首先,利用积分方程及算子理论证明非负解的存在唯一性,接着利用Mazur定理确定最优策略的存在性,又借助切锥法锥的技巧,导出控制问题的最优条件.     

稳定分层湍流中逆梯度输运的关联分析研究

本文采用关联分析方法研究了稳定温度分层湍流中的结构特性、输运特性，以及热量、动量逆梯度输运现象的尺度效应及其参数演化．首先采用大涡模拟方法对稳定分层湍流中的结构特性和输运特性进行了分析，将逆梯度输运发生的时间尺度作为已知条件，结合关联量分析方法在波数空间中的解析解，对逆梯度输运现象的尺度效应进行了分析研究．结果发现，稳定分层强度较大的流动中发生垂向热量及动量逆梯度输运现象，发生的结构尺度与关联分析所发现垂向热量、动量逆梯度输运的波数形成了呼应．随着分层强度增加，热量、动量的输运强度均受抑制，与逆梯度输运关联的流场结构尺度减小，同样的效应也发生在流场结构向下游演化的过程中．