非线性Schrdinger方程的保辛数值求解

首先将非线性Schrdinger方程化为Hamilton正则方程形式,而后建立Hamilton体系下的变分原理。再用有限元法离散空间坐标,同时对时间坐标进行精细积分,最后运用混合能变分原理,提出非线性Schrdinger方程保辛数值解法。这种解法在保辛的同时,可以让能量和质量在积分格点上亦全部达到守恒。数值算例验证了该方法的有效性。     

非线性方程的保辛近似算法

保守体系的微分方程可用Hamilton体系的方法描述,其特点是保辛。两个辛矩阵之和不能保辛,两个辛矩阵的乘积仍是辛矩阵。最常用的小参数摄动法用的是加法,因此对辛矩阵不能保辛。从保辛的角度,要用正则变换。本文针对非线性微分方程,运用自变量坐标变换,对原系统进行变换。由此推导出变换后系统的变分原理。引入Hamilton对偶变量,通过数学变换,得到变系数非线性方程。针对该方程,本文提出了保辛摄动算法。通过数值算例,对不同步长下,保辛摄动法、多尺度摄动法、龙格库塔法和精确解的结果做了比较。数值例题表明,对于非线性方程,本文提出的保辛摄动算法有良好的精度。在步长增大的情况下,保辛摄动保持了良好的稳定性。     

一类基于Hamilton体系的半解析法

利用偏微分方程在Hamilton体系中的表示和二类变量变分原理,结合有限元法,提出一类基于Hamilton体系的半解析法。本文以二阶非齐次椭圆型方程为例,给出了这类半解析法中的一种的有限元列式和算例,与解析解、Ritz法、有限条法和有限元法的结果比较表明,此法具有较高的精度,还可求解其它其些偏微分方程,有一定的普遍意义。     

一类平面Hamilton系统的大范围非线性化近似方法

在非线性动力系统的研究已经进入了占主导地位的时期,对其提出大范围的非线性化近似方法具有特别重要的意义.在本文中,我们主要对于一类典型的Hamilton系统,根据等势线有两个,或者三个交点的不同情形,给出7种不同的大范围最低次非线性化近似系统,并通过积分近似系统给出近似解(轨道).结果表明,近似椭圆周期轨道可通过线性化近似系统得到,而同(异)宿轨道则可通过2、3次非线性化近似系统得到.最后,将近似方法应用于一个具体Hamilton系统的分析.     

离散精细时程积分的自适应求积算法研究

基于Hamilton体系下的精细时程积分方法,通过对载荷项进行离散,应用中值法使载荷项在时间步长内为常值,从而将非齐次动力方程转化为齐次动力方程,避免了矩阵的求逆运算;基于积分区间逐次半分的思想实现了任意时间步长的自适应求积。数值算例结果表明:在同等时间步长的非齐次系统中,精细时程积分的最大误差为中心差分法的2.8%,为Newmark法的2.2%,最大求解误差仅为0.029%。这充分说明了本文的离散精细时程积分的自适应求积算法具有很好的收敛性。     

基于Hamilton体系的弹性力学问题的比例边界有限元方法

比例边界有限元方法是求解偏微分方程的一种半解析半数值解法。对于弹性力学问题,可采用基于力学相似性、基于比例坐标相似变换的加权余量法和虚功原理得到以位移为未知量的系统控制方程,属于Lagrange体系。但在求解时,又引入了表面力为未知量,控制方程属于Hamilton体系。因而,本文提出在比例边界有限元离散方法的基础上,利...     

Orr-Sommerfeld方程的数值解法

研究平行流动或近似平行流动,例如平面Poiseuille流及边界层流动的稳定性问题时,若采用线化小扰动理论,则最后归结为解Orr-Sommerfeld方程的特征值问题。对非线性理论来说,只要是弱非线性理论,一般也要顺序解一串Orr-Sommerfeld方程(齐次的或非齐次的)。因此解Orr-Sommerfeld方程,是研究平行或近似平行流动稳定性问题时必然要遇到的问题。在50年代以前,主要利用渐近法求Orr-Sommerfeld方程的特征值,但一般不能      

矩形空腔内Stokes流的状态空间有限元法

基于Hellinger-Reissner二类变分原理,从平面Stokes流问题的平衡方程、连续性要求和边界条件出发,得到相应的Hamilton函数,建立Hamilton正则方程后,采用分离变量法对场变量进行离散求解:在x方向采用有限元插值,在y方向采用状态空间法给出控制坐标方向的解析解。计算过程中的指数矩阵均采用精细积分法求解,使得本文算法具有高效率、高精度、对步长不敏感的优点。通过对侧边自由液面边界条件的单板驱动矩形空腔Stokes流问题的求解,得到与文献相同的结果,从而验证了本文方法的有效性。本文旨在将弹性力学状态空间有限元法的思想引入到低雷诺数流体力学中,为Hamilton体系下研究复杂边界Stokes流问题提供新的途径。     

奇异Hamilton系统矩阵的精细积分法

常规位移有限元的结构振动方程是n个二阶常微分方程组.采用一般交分原理推导,将结构振动问题引入Hamiltoil体系,将得到2n个一阶常微分方程组.精细积分法宜于处理一阶方程,应用于线性定常结构动力问题求解,可以得到在数值上逼近精确解的结果.对于非齐次动力方程,当结构具有刚体位移时,系统矩阵将出现奇异.本文借鉴全元选大元高斯-约当法求解线性方程组的经验,提出全元选大元法求奇异矩阵零本征解的方法,该方法可以简便快速地寻求奇异矩阵零本征值对应的子空间.利用Hamiltoil体系已有研究成果及Hamilton系统的共轭辛正交归一关系,迅速将零本征值对应的子空间分离出来,通过投影排除奇异部分,然后用精细积分法求得问题的解.数值算例表明,该方法对Hamilton系统奇异问题,处理方便,计算量小,易于实现,同时保持了精细算法的优点.     

基于移动相似中心的比例边界有限元方法

在传统的比例边界有限元中,相似中心是固定的,难以用其求解关于偏心域的场问题。本文引入移动相似中心的概念,建立新的比例边界坐标变换,并利用加权余量法将控制方程半弱化为关于径向坐标的二阶常微分方程,引入对偶变量,将其降为系数矩阵为Hamilton矩阵的一阶常微分方程。对Hamilton矩阵进行Schur分解,得到微分方程的通解,代入边值条件可得关于积分常数的代数方程。此方法将比例边界有限元扩展到偏心域的边值问题,同时在径向是半解析的,解的精度高;仅需要离散求解域的一个边界,数据量小;在计算中仅需要对Hamilton矩阵进行Schur分解以及求解关于积分常数的代数方程,运算量少。将偏心环形域静电场边值问题的算例与解析解或其他数值方法计算结果的比较,表明此方法具有精度高、数据量小及运算量小的优点。     

坐标变换法数值求解微通道行波电场电渗流

采用坐标变换法数值求解了耦合的Poisson-Nernst-Planck (PNP)方程和Navier-Stokes(NS)方程, 研究二维狭窄微通道行波电场电渗流数值解. 数值结果表明,坐标变换法能有效降低电渗流解数值解在双电层的高梯度, 有效改善数值解的收敛性和稳定性. 坐标变换的电渗流数值解和原始坐标下的数值解完全一致. 坐标变换后采用简单的网格也能得到和原始坐标下复杂网格相同的解. 给出了滑移边界的近似解与完整的PNP-NS数值解的比较. 在双电层厚度与微通道深度比值(λ/H)很小的情况下(相对深通道), 两者的解基本一致. 但在λ/H较大时(相对浅通道)滑移边界的解高于电渗流速度.      

平面扇形域问题的新正交关系和变分原理

通过构造新的对偶向量, 用空间的环向坐标数学上比拟Hamilton体系的时间变量,在平面弹性扇形域问题中导出了一个斜对角Hamilton算子. 该算子具有主对角元为零,斜对角元是非零对称算子的结构特性. 得到两个独立的、对称的子正交关系.恰当选择对偶向量后, 直角坐标系下各向同性平面弹性问题的新正交关系被推广到极坐标情形. 根据控制微分方程的弱(积分)形式及相应的边界条件,建立了对应边值问题的变分原理, 并提出了相应的泛函表达式.      

弹性地基上各向异性板的静力分析

根据弹性地基上各向异性矩形板弯曲挠度的微分方程精确的求得了适用于各种载荷的非齐次解和各类齐次解。其中由三角函数和双曲线函数组成的齐次解能满足四个边为任意边界条件的问题;由代数多项式和双正弦级数组成的齐次解能满足四个角为任意边界条件的问题。通过适当选取建立了满足任意边界条件和任意载荷作用的一般解。解中的积分常数完全由边界条件来决定。以四边简支承受均布载荷和局部分布载荷的对称迭层复合材料方板为例进行了计算和分析。其结果与已有文献结果是一致的。由于集中载荷不能求得作用点的弯矩,故在例题中改用局部分布载荷因而求得了最大弯矩。     

约束层阻尼板动力学问题的半解析解

利用条形传递函数方法(SDTFM)得到了约束层阻尼(CLD)板动力学问题的半解析解.首先对CLD板沿纵向离散成多个条形单元,基于Hamilton原理推导出条形单元的刚度矩阵和质量矩阵,仿照有限元法组集得到系统的总刚度矩阵和总质量矩阵.经Laplace变换后引入状态向量,采用分布参数传递函数方法在状态空间内建立CLD板的控制方程并进行求解.最后以对边固支和悬臂CLD板为例,得到了板的动力学特性和频响曲线,并与NASTRAN或相关文献结果进行了比较,吻合良好,验证了该方法的有效性.从推导过程和算例可以看出,该方法所需的单元数目少,获得的是半解析解,计算效率高且准确可靠.     

弹性基础上无缝轨道应力分析的半解析法

从钢轨应力分析的要求出发,提出了弹性基础上开口厚壁杆的半解析计算方法.轨道截面上沿纵向的正应力分为弯曲正应力和约束扭转正应力,弯曲正应力可以根据弹性基础梁的弯曲理论求得,而约束扭转正应力将采用本文的半解析方法.把钢轨的横截面离散为有限单元,将位移(z方向)解表示为横截面上一个离散的数值函数(称为拟扇性坐标ω(x,y))与长度方向上的解析函数相乘的形式.用最小势能原理求解横截面上拟扇性坐标ω的有限元解和长度方向上解析函数表达式.以75kg钢轨为算例,计算了ω、-((e)ω)/((e)x) y和x-((e)ω)/((e)y)的结果,通过它们可以进一步计算钢轨中的约束扭转正应力和截面上的剪应力.     

切比雪夫(Tchebychev)多项式用于最小二乘法分析薄板弯曲问题

一、概述最小二乘法的基本概念是去找寻拟解问题的定解微分方程式的近似解,使得误差的平方和为最小。设有一个待求的边值问题,它的定解微分方程式及边界条件如下:Fu-f=0(于域 V 内) (1—1)Gu-g=0(于边界 S 上) (1—2)式中 F、G 为微分算子,u 为待求函数,f、g 为已知函数。若假定一个近似解函数(?)(c,x)(c 为待求参数,x 是独立变量),引入式(1—1)、(1—2)中,得到内部和边界残差方程,于离散型中选择有限的点 x,于是有R_I(c,x_i)=F(?)(c,x_i)-f(x_i 为 V 中点的坐标) (1—3)R_B(c,x_j)=G(?)(c,x_j)-g(x_j 为 S 上点的坐标) (1—4)以矩阵式表示为     

Plane strain consolidation of a multi-layered soil with anisotrpic permeability and compressible constituents

对多层地基的平面应变固结问题进行了研究,并同时考虑了土体的渗透各向异性和孔隙 流体的可压缩性. 从平面应变Biot固结的控制方程出发,对时间t, 坐标z和x进行 Laplace和Fourier变换,建立了地基表面(z=0)和任意深度z处的基本量 在Laplace-Fourier变换域内的传递矩阵关系. 利用传递矩阵 法,结合土层连续条件和边界条件,并应用Laplace-Fourier逆变换技术,推导出渗透各向 异性可压缩多层地基平面应变固结的理论解. 基于该解,编制了计算程序,并进行了 数值计算. 讨论了土体的渗透各向异性、孔隙流体的可压缩性以及地基的分层特性对地基固 结的影响,分析结果表明：土体的渗透各向异性、孔隙流体的可压缩性,以及地基的分层特 性对地基的固结行为有着重要的影响.     

Rice积分的改进

1.H积分的一般定义 为了将Rice积分推广到大变形及塑性情况,我们考虑H积分。在三维弹塑性变形场中取直角坐标x、y、z,通常记为x_i(i=1,2,3)。以(?)_i表示变形前质点的坐标。设是一条给定的封闭曲线,F是以为周界的任意一个曲面。我们定义面积分H_f为     

圆柱嵌入半空间的三维问题的一个简便的积分方程解法

将由Mindlin集中力组成的轴对称载荷沿弹性半空间z轴[0,L]内分布,并迭加Boussinesq的解,就能使边界条件为1.Z=0,r≠0,σz=τrz=02.0≤z≤L,U(e,z)=a-e,(1≥e/a≈1)3.P=-2π[a∫Lτry(a,z)dz ∫0arσ(r,L)dr](1)的圆柱嵌入半空间的三维问题归结为一Fredholm第一种积分方程.本文给出了Fredholm第一种积分方程近似解误差估计的一个定理. 将本文所论述的方法,用于桩的分析,较R.Butterfield等人的方法为优越,即所得到积分方程是一维非奇异的、能考虑初应力的影响、不需要预先假定沉陷函数,并且考虑了可压缩桩中的三维应力状态.     

弹塑性有限元的一些解法比较

1.弹塑性有限元分析的基本公式根据von Mises 屈服准则和Prandtl-Reuss塑性流动律,可以导出弹塑性阶段的应力增量-全应变增量之间的本构关系:{dσ}=[D_(eP)]{dε} (1)其中{dσ}为应力增量列阵,{dε}为应变增量列阵,[D_(eP)]为弹塑性系数矩阵,它的表达式为:其中(?)为有效应力,[D_e]为弹性系数矩阵,H=(?)/((?)~p)为有效应力和有效塑性应变曲线的斜率.增量形式的平衡方程为:[K]{△u}={△P} (3)其中[K]为总体刚度矩阵,{△u}为位移增量列阵,{△P}为外载荷增量列阵.2.几种解法方程(3)是非线性的.对于一般问题,精确求解比较困难.目前,一般都用近似法来求解.下面介绍几种解法.