非线性水波Hamilton系统理论与应用研究进展

概述了辛几何理论与辛算法在Hamilton力学中的应用，综述非线性水波的Hamilton理论研究进展．阐述非线性水波Hamilton变分原理与方法的优越性与局限性，探讨KdV方程和BBM方程的Hamilton描述、对称性与守恒律，提出非线性水波Hamilton描述研究中有待进一步研究的问题和解法设想．     

孔隙热弹性体有限变形动力学的若干变分原理

首先通过对熵均衡方程积分,将其变换为无一阶时间导数项的等价方程,再将Hamilton变分原理运用和推广于各向异性孔隙热弹性体有限变形动力学中,建立了相应的非线性控制微分方程、力的边界条件和初始条件.同时,引入孔隙百分比变化和温度变化引起的力矩,将Hamilton变分原理推广到孔隙热弹性结构中,提出了以Kirchhoff-Love假设为基础的孔隙热弹性Karman-型薄板的完全的非线性数学模型,该模型考虑了中面力、中面惯性和转动惯性影响.     

梁中非线性弯曲波传播特性的研究

研究了梁中的非线性弯曲波的传播特性，同时考虑了梁的大挠度引起的几何非线性效应和 梁的转动惯性导致的弥散效应，利用Hamilton变分法建立了梁中非线性弯曲波的波动方程. 对该方程进行了定性分析，在不同的条件下，该方程在相平面上存在同宿轨道或异宿轨道， 分别对应于方程的孤波解或冲击波解. 利用Jacobi椭圆函数展开法，对该非线性方程进行 求解，得到了非线性波动方程的准确周期解及相对应的孤波解和冲击波解，讨论了这些解存 在的必要条件，这与定性分析的结果完全相同. 利用约化摄动法从非线性弯曲波动方程中导 出了非线性Schr\"{o}dinger方程，从理论上证明了考虑梁的大挠度和转动惯性时梁中存在 包络孤立波.     

复弯矩表示的非圆截面杆平衡的Schrǒdinger方程及其半解析解

弹性细杆的平衡和稳定性问题的研究在工程和分子生物学中有重要的应用背景。利用文中提出的复柔度概念，建立了用复弯矩表示的非圆截面杆平衡的Schrǒdinger方程。借助复曲率概念，导出以杆的曲率、挠率和截面相对Frenet坐标系的扭角为未知变量的2阶常微分方程，此方程与传统使用的Kirchhoff方程等价。文献中仅适用于圆截面杆平衡问题的Schrǒdinger方程为本文导出方程的特例。对于准对称截面杆，用小参数法分别建立了零次和一次近似方程，其中零次近似方程存在解析解。对于截面的主轴坐标轴与中心线的Frenet坐标轴重合的无扭转杆特殊情形，Schrǒdinger方程转化为Duffing方程，应用数值方法作出了Duffing杆变形后的三维几何图形。     

三维Schr?dinger方程的改进无单元Galerkin方法

建立了三维Schr?dinger方程的改进的无单元Galerkin(简称IEFG)方法。采用改进的移动最小二乘法(简称IMLS)建立三维Schr?dinger方程的试函数,代入该问题基于罚函数法施加本质边界条件的Galerkin积分弱形式,推导IEFG方法的计算公式,然后采用差分法求解IEFG方法得到的方程,得到了最终的离散方程。利用算例讨论了权函数、影响域比例参数和罚函数对精度的影响,以及解的收敛性、误差和计算效率,说明了本文IEFG方法的正确性,以及具有比无单元Galerkin(简称EFG)方法更高计算效率的优点。     

弹性-蠕变体理论的广义变分原理

在应力和应变成线性关系时,应用弹性-蠕变体理论于具体工程问题一般归结为求解第二类伏尔泰勒积分方程或一组积分-微分方程,或化为求解一组变系数微分方程.当应力与应变为非线性关系时,常归结为求解非线性积分方程,或化为求解一组非线性变系数微分方程.这在数学上都将遇到很大困难,因而往往都用数值解法.这样,寻求有足够精度的近似解成为十分必要.另一方面,或许是更重要的,这就是用有限元法来求解蠕变问题.与弹性理论有限元问题相似,在有限元中引入广义变分原理将大大地促进有限元法的发展,本文将为这两方面提供条件.     

广义Hamilton(控制)系统的离散梯度积分法

对于广义Hamilton系统及广义Hamilton控制系统，基于能量的Hamilton函数，用离散梯度方法给出了系统保持Hamilton函数特征的数值解法，证明了积分方法可有效地保持Hamilton函数随时间的变化率。通过算例说明了本文方法的有效性。     

一种新的覆冰导线舞动非线性有限元分析方法

本文基于Hamilton原理,建立了耦合三个平动自由度和一个扭转自由度以及偏心覆冰作用下导线的非线性舞动方程,提出了一种新的覆冰导线舞动分析非线性有限元模型,将相邻跨导线和绝缘子等效为线性弹簧单元,同时考虑覆冰导线非线性气动力和大幅舞动的几何非线性,采用Newmark-β时间积分结合修正的Newton-Raphson非线性迭代求解舞动有限元方程。本文数值解与D形覆冰导线舞动实测值无论在振幅还是频率方面均吻合得非常好,证明了本文新提出的导线舞动有限元模型的准确性。本文研究还表明：舞动是一种以上下运动为主的低频振动,通常发生在一阶上下自振频率附近,其振幅和频率由输电线路的物理参数和风载荷唯一确定,与初始运动状态无关。     

关于非完整系统分析动力学的某些问题

0.引言本报告包括非完整系统动力学领域内某些研究结果的综述。在从Hertz和Holder论文开始的浩瀚文献中,经常有变分原理和Jacobi方法对非完整系统适用性的相反提法。基于D’Alembert-Lagrange原理,我们在这里给出动力学积分原理的单一证明和分析。证明了Hamilton原理的各种形式等价性。给出了Hamilton作用量、Lagrange作用量和Jacobi作用量的稳定的充要条件,同样给出对运动方程积分的广义Jacobi方法适用的充要条件。得到了扩充的位形空间和相空间中运动的参数方程。这些参数方程代表了冲量-能量矢量的方      

非保守非线性刚-弹-液-控耦合分析动力学及其应用研究

非保守非线性刚-弹-液-控耦合分析动力学是与航天动力学和多体动力学相关的重要研究课题之一, 研究这一理论和应用课题具有重要理论意义和实际应用价值. 本研究建立了非保守非线性两类变量的刚-弹-液-控耦合分析动力学的Hamilton型拟变分原理, 并以该Hamilton型拟变分原理的泛函为依据, 分析了刚-弹-液-控耦合中的刚-弹耦合、刚-液耦合与弹-液耦合、控-刚耦合的特点. 借助于Lagrange-Hamilton体系, 从Hamilton型拟变分原理出发推导出非保守非线性刚-弹-液-控耦合系统的Lagrange方程, 并应用该Lagrange方程推导出系统的控制方程. 进一步以该控制方程为依据, 分析了刚-弹-液-控耦合中的刚-弹耦合、刚-液耦合与弹-液耦合、控-刚耦合的机理. 从两个方面概要地研究了非保守非线性刚-弹-液-控耦合系统的Lagrange方程的应用: 一方面, 应用该Lagrange方程建立了相应的有限元计算模型, 分析了这类计算模型的优越性; 另一方面, 应用系统的控制方程对实际问题进行解析的分析讨论, 说明了应用解析的分析讨论来研究问题与应用数值的、定量的分析方法来研究问题的互补特性. 最后, 讨论了几个相关的问题.      

Constrained Hamilton variational principle for shallow water problems and Zu-class symplectic algorithm

In this paper, the shallow water problem is discussed. By treating the incompressible condition as the constraint, a constrained Hamilton variational principle is presented for the shallow water problem. Based on the constrained Hamilton variational principle, a shallow water equation based on displacement and pressure (SWE-DP) is developed. A hybrid numerical method combining the finite element method for spatial discretization and the Zu-class method for time integration is created for the SWEDP. The correctness of the proposed SWE-DP is verified by numerical comparisons with two existing shallow water equations (SWEs). The effectiveness of the hybrid numerical method proposed for the SWE-DP is also verified by numerical experiments. Moreover, the numerical experiments demonstrate that the Zu-class method shows excellent performance with respect to simulating the long time evolution of the shallow water.     

New way to construct high order Hamiltonian variational integrators

This paper develops a new approach to construct variational integrators. A simplified unconventional Hamilton’s variational principle corresponding to initial value problems is proposed, which is convenient for applications. The displacement and momentum are approximated with the same Lagrange interpolation. After the numerical integration and variational operation, the original problems are expressed as algebraic equations with the displacement and momentum at the interpolation points as unknown variables. Some particular variational integrators are derived. An optimal scheme of choosing initial values for the Newton-Raphson method is presented for the nonlinear dynamic system. In addition, specific examples show that the proposed integrators are symplectic when the interpolation point coincides with the numerical integration point, and both are Gaussian quadrature points. Meanwhile, compared with the same order symplectic Runge-Kutta methods, although the accuracy of the two methods is almost the same, the proposed integrators are much simpler and less computationally expensive.     

弹性力学Hamilton方法广义解的适定性

首先引入了Hamilton体系中平面应力弹性力学问题正则方程的Galerkin变分方程,证明了Galerkin变分方程和目前文献中所用的Ritz变分方程的等价性,以及相应广义解的适定性,从而为目前的数值方法提供了理论基础。从证明过程中可以看到广义解实际上是Ritz变分泛函的一个鞍点。     

覆冰三分裂导线舞动的数值模拟方法

以覆冰三分裂导线为研究对象,提出了一种模拟覆冰分裂导线舞动的数值方法。用Hamilton变分原理建立系统的动力学平衡方程,利用罚函数法引入子导线上间隔棒连接点的运动约束条件;采用Newmark法进行时间积分、Newton-Raphson法迭代求解非线性方程。通过数值算例验证了方法的正确性。在该方法的应用中由于尾流影响而导致迎风侧子导线和背风侧子导线所受空气动力载荷不同,数值模拟结果反映了这一因素对各子导线舞动轨迹的影响。此方法为分裂导线舞动的深入研究提供了一种有效途径。     

弹性力学状态变量体系下带有初应力的振动问题

通过在Hellinger-Reissner广义势能中引入应变的非线性项,推导出了弹性力学Hamilton体系下的具有初应力的振动方程,并运用精细积分给出了两端简支的梁、组合梁和四边简支板及组合板在初应力下振动频率。本文结果是严格弹性力学意义(没有引入任何几何变形假设)下的精确解,为衡量各种计入剪切变形的薄板、中厚板理论的准确性提供了一个标准。     

An improved precise integration method for nonlinear dynamic system

In the present paper, based on the precise integration method established in linear dynamic system, an improved precise integration method is presented for nonlinear dynamic system. Firstly, the nonlinear dynamic system is converted into an augmented Lie type dynamic system. Then the precise integration method is improved for solving the above augmented equation and preserving its group structure in the meantime. Finally, two numerical examples are presented to demonstrate the validity and effectiveness of the proposed method.     

Hamilton体系下介电弹性体圆形薄膜的动力学建模与辛求解

采用辛算法研究了Hamilton体系下介电弹性体圆形薄膜的动力学响应。首先，将该问题引入Hamilton对偶变量体系，借助Legendre变换，给出系统的广义动量和Hamilton函数，通过对Hamilton函数作用量的变分，得到Hamilton体系下的正则方程。其次，对于得到的正则方程给出了辛Runge-Kutta的计算格式。最后，采用二级四阶辛Runge-Kutta算法对动力学系统进行了数值求解，和四级四阶经典Runge-Kutta算法进行对比，结果表明，二级四阶辛Runge-Kutta算法具有保能量以及长时间数值稳定的优势，同时说明四级四阶经典Runge-Kutta算法对于步长依赖的局限性。     

A URI 4-Node quadrilateral element by assumed strain

In this paper one-point quadrature ““““assumed strain““““ mixed element formulation based on the Hu-Washizu variational principle is presented. Special care is taken to avoid hourglass modes and volumetric locking as well as shear locking. The assumed strain fields are constructed so that those portions of the fields which lead to volumetric and shear locking phenomena are eliminated by projection, while the implementation of the proposed URI scheme is straightforward to suppress hourglass modes. In order to treat geometric nonlinearities simply and efficiently, a corotational coordinate system is used. Several numerical examples are given to demonstrate the performance of the suggested formulation, including nonlinear static/dynamic mechanical problems.     

非线性方程的保辛近似算法

保守体系的微分方程可用Hamilton体系的方法描述,其特点是保辛。两个辛矩阵之和不能保辛,两个辛矩阵的乘积仍是辛矩阵。最常用的小参数摄动法用的是加法,因此对辛矩阵不能保辛。从保辛的角度,要用正则变换。本文针对非线性微分方程,运用自变量坐标变换,对原系统进行变换。由此推导出变换后系统的变分原理。引入Hamilton对偶变量,通过数学变换,得到变系数非线性方程。针对该方程,本文提出了保辛摄动算法。通过数值算例,对不同步长下,保辛摄动法、多尺度摄动法、龙格库塔法和精确解的结果做了比较。数值例题表明,对于非线性方程,本文提出的保辛摄动算法有良好的精度。在步长增大的情况下,保辛摄动保持了良好的稳定性。     

FURTHER STUDY OF THE RELATION OF VON KF8B6RMN EQUATION FOR ELASTIC LARGE DEFLECTION PROBLEM AND SCHRDINGER EQUATION FOR QUANTUM EIGENVALUES PROBLEM

This work is the continuation and improvement of the discussion of Ref. [1]. We also improve the discussion of Refs. [2–3] on the elastic large deflection problem by results of this paper. We again simplify the von Kármán equation for elastic large deflection problem, and finally turn it into the nonlinear Schrödinger equation in this paper. Secondly, we expand the AKNS equation to still more symmetrical degree under many dimensional conditions in this paper. Owing to connection between the nonlinear Schrödinger equation and the integrability condition for the AKNS equation or the Dirac equation, we can obtain the exact solution for elastic large deflection problem by inverse scattering method. In other words, the elastic large deflection problem wholly becomes a quantum eigenvalues problem. The large deflection problem with orthorhombic anisotropy is also deduced in this paper.