弱非线性动力学方程的 Noether 准对称性与近似 Noether 守恒量

自然界和工程技术领域存在大量的非线性问题,它们通常需要用非线性微分方程来描述. 守恒量在微分方程的求解、约化和定性分析方面发挥重要作用. 因此,研究非线性动力学方程的近似守恒量具有重要意义. 文章利用 Noether 对称性方法研究弱非线性动力学方程的近似守恒量. 首先,将弱非线性动力学方程化为一般完整系统的 Lagrange 方程,在 Lagrange 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 其次,将弱非线性动力学方程化为相空间中一般完整系统的 Hamilton 方程,在 Hamilton 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 再次,将弱非线性动力学方程化为广义 Birkhoff 方程,在 Birkhoff 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 最后,以著名的 van der Pol 方程,Duffing 方程以及弱非线性耦合振子为例,分析三个不同框架下弱非线性系统的 Noether 准对称性与近似 Noether 守恒量的计算. 结果表明:同一弱非线性动力学方程可以化为不同的一般完整系统或不同的广义 Birkhoff 系统;Hamilton 框架下的结果是 Birkhoff 框架的特例,而 Lagrange 框架下的结果与 Hamilton 框架的等价. 利用 Noether 对称性方法寻找弱非线性动力学方程的近似守恒量不仅方便有效,而且具有较大的灵活性.      

旋转运动柔性梁的假设模态方法研究

采用假设模态法对旋转运动柔性梁的动力特性进行研究，给出简化的控制模型. 首先采用Hamilton原理和假设模态离散化方法，在计入柔性梁由于横向变形而引起的轴向变形的二阶耦合量的条件下，推导出基于柔性梁变形位移场一阶完备的一次近似耦合模型，然后对该模型进行简化，忽略柔性梁纵向变形的影响，给出一次近似简化模型，最后将采用假设模态离散化方法的结果与采用有限元离散化方法的结果进行了对比研究. 研究中考虑了两种情况：非惯性系下的动力特性研究和系统大范围运动为未知的动力特性研究. 研究结果显示，当系统大范围运动为高速时，在假设模态离散化方法中应增加模态数目，较少的模态数目将导致较大误差. 一次近似简化模型能够较好地反映出系统的动力学行为，可用于主动控制设计的研究.     

NOETHER QUASI-SYMMETRY AND APPROXIMATE NOETHER CONSERVATION LAWS FOR WEAKLY NONLINEAR DYNAMICAL EQUATIONS 1)

自然界和工程技术领域存在大量的非线性问题,它们通常需要用非线性微分方程来描述. 守恒量在微分方程的求解、约化和定性分析方面发挥重要作用. 因此,研究非线性动力学方程的近似守恒量具有重要意义. 文章利用 Noether 对称性方法研究弱非线性动力学方程的近似守恒量. 首先,将弱非线性动力学方程化为一般完整系统的 Lagrange 方程,在 Lagrange 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 其次,将弱非线性动力学方程化为相空间中一般完整系统的 Hamilton 方程,在 Hamilton 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 再次,将弱非线性动力学方程化为广义 Birkhoff 方程,在 Birkhoff 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 最后,以著名的 van der Pol 方程,Duffing 方程以及弱非线性耦合振子为例,分析三个不同框架下弱非线性系统的 Noether 准对称性与近似 Noether 守恒量的计算. 结果表明：同一弱非线性动力学方程可以化为不同的一般完整系统或不同的广义 Birkhoff 系统;Hamilton 框架下的结果是 Birkhoff 框架的特例,而 Lagrange 框架下的结果与 Hamilton 框架的等价. 利用 Noether 对称性方法寻找弱非线性动力学方程的近似守恒量不仅方便有效,而且具有较大的灵活性.     

对一般Hamilton体系近似解保辛条件的讨论

文献[1]给出的一般Hamilton体系近似解保辛的条件,尚需讨论。其中(3.5~6)的证明适用于v·=H(z)v的系统,要求H(z)是Hamilton矩阵,齐次方程。即使Hamilton矩阵是与位移有关的H(z,q),仍可适用。但一般Hamilton体系未必能表示为v·=H·v,例如存在有势外力的情况,此时是非齐次线性方程。故在一般情况下,近似解是否保辛的原则尚需明确。一般的Hamilton正则方程体系非线性,通常用数值积分近似求解,故时间坐标离散而成为长η的序列,离散坐标体系。分析结构力学[2]考虑了离散坐标的情况,其中证明了区段两端状态向量之间关系ζ=ζ(v)的微商S(v)是…     

水平电场下界面波的Hamilton原理与多尺度建模

本文研究水平电场下两层电介质流体间界面波动的多尺度建模. 首先对此系统的Hamilton原理给出详细证明; 然后基于Hamilton结构和Dirichlet–Neumann算子的解析性质, 将Hamilton量中的动能与电势能展开成收敛级数形式并确定截断阶数, 最后通过计算截断后近似总能量的变分导数得到约化模型. 上述过程对该问题给出了一套建立多尺度非线性模型的系统方法. 文章再以“上层深水、下层浅水”为例详细阐述了多尺度建模的全过程, 并利用修正的Petviashvili迭代方法计算了新模型中的非线性相干结构. 本文所发展的渐近分析技巧不同于之前的工作, 其优点在于所导出的约化模型自然保留能量守恒的性质; 同时, 本文亦将原有结果推广至三维情形.      

多尺度法的设解形式之探讨

当采用多尺度法研究非线性振动问题时，经常会遇到不同情形下系统响应的设解形式不同的问题，不同的设解形式得到的结果是否相同，用哪种设解形式更为好一些，在其他文献中尚未见到有关讨论．本文针对一类具有平方和立方非线性项的单自由度和多自由度非线性系统，得到不同设解形式下的一次近似解和二次近似解，并与数值解相比较，发现两种设解形式的近似解与数值仿真解的解曲线吻合的很好，表明传统的各种设解形式在研究弱非线性系统时都有很好的近似性。     

中心刚体-柔性梁系统的最优跟踪控制

对考虑阻尼影响的中心刚体-柔性梁系统的动力特性和主动控制进行研究. 研究 中考虑了3种动力学模型：一次近似耦合模型、一次近似简化模型和线性化模型. 一次近 似模型中同时考虑了柔性梁的轴向变形和横向变形. 若在一次近似耦合模型中忽略轴向变 形的影响，则可得出一次近似简化模型. 线性化模型是对一次近似简化模型的线性化处理. 另外研究中考虑了3种阻尼因素：结构阻尼、风阻、中心刚体轴承处的阻尼. 控制设计采 用最优跟踪控制方法. 给出了从物理测量中提取模态坐标的滤波器方法. 研究结果显 示，一次近似简化模型能够有效地对系统的动力学行为进行描述；阻尼对系统的动力学特 性有着重要影响；当系统大范围运动为低速时，模态滤波器能够较好地提取出控制律所需 的模态坐标，最优跟踪控制方法能够使得系统跟踪所期望的运动轨迹，并且柔性梁的弹性 振动可得到抑制.     

旋转悬臂梁的刚柔耦合动力学建模与频率分析

对固结于转动刚体上外接柔性梁的刚柔耦合动力学建模和频率特性进行了研究,在精确描述柔性梁非线性变形的基础上,利用Hamilton变分原理和假设模态法,在计入柔性梁由于横向变形而引起的轴向变形二阶耦合量的条件下,推导出考虑"动力刚化"项的一次近似耦合模型。首先忽略柔性梁纵向变形的影响,给出一次近似简化模型,引入无量纲变量,对简化模型做无量纲化处理,分析梁固有频率对模态截断数的依赖性;其次研究在一次近似简化模型和零次近似简化模型下,调谐角速度与共振现象的关系;最后分析一次近似耦合模型的动力特性。研究发现,为保证计算的精度,模态截断数应随无量纲角速度的增大而增加,合理的模态截断数具有收敛值;一次近似简化模型下悬臂梁横向弯曲振动不存在共振调谐角速度,一次耦合模型下柔性梁并没有出现屈曲失稳现象。现有典型文献的相关结论是值得商榷的。     

二阶Birkhoff系统的Hamilton化

研究Birkhoff系统的Hamilton化问题。得到二阶Birkhoff系统可以Hamilton化的充分条件，给出Hamilton函数的构成方法。最后研究高阶Birkhoff系统的Hamilton化。     

类Pade逼近方法在二维非线性振动系统的应用

提出一种求解强非线性系统同异宿轨道解析解的改进类Pad\'{e}逼近方法, 该方法在分析带 有扰动参数的系统时无需预先限定参数的取值范围. 首先研究了具有三次非线性项的系统, 分析其产生同宿或异宿轨道时参数的取值范围, 分别提出直接体现参数的同宿及异宿解的设 解通式, 据此获得了一类强非线性下的自治系统方程的同宿及异宿解. 其次, 对于非自治系 统, 研究了具有三次非线性项系统的强迫振动, 直接考虑扰动参数对整个系统的影响, 得到 了满足同(异)宿边界条件的周期解. 最后, 构造了两种不同形式的异宿解, 从而减少了保 守系统异宿解的计算量. 借助数值模拟验证了该方法的有效性及精确性.     

Approximate First Integrals of Weakly Nonlinear,Damped-Driven Oscillators with One Degree of Freedom

First-order approximate symmetries of weaklynonlinear, damped-driven oscillators have been determined.First-order approximate first integrals have been obtained byemploying an approximate version of Noether's theorem for the conservativecase. Furthermore, approximate first integrals of the damped case have been obtained based on the first integrals of the conservative case.Approximate first integrals enabled us to identify three types of genericbifurcations. Analytical results have been verified by numerical experiments.     

Approximate Group Analysis and Multiple Time Scales Method for the Approximate Boussinesq Equation

This paper is devoted to investigation of the approximate Boussinesq equation by methods of the approximate symmetry analysis of partial differential equations with a small parameter developed by Baikov, Gazizov and Ibragimov. We combine these methods with the method of multiple time scales to extend the domain of definition of approximate group invariant solutions of the approximate Boussinesq equation.     

Continuation of Approximate Transformation Groups via Multiple Time Scales Method

Recently, the theory of approximate symmetries was developedfor tackling differential equations with a small parameter. This theoryfurnishes us with a tool, e.g. for constructing approximate groupinvariant solutions. Usually, these solutions are determined by powerseries in the small parameter and hence they are well defined only in asmall region of independent variables. In this paper, we modify theapproximate symmetry analysis by combining it with the multiple timescales method. In this way, we can extend the domain of definition ofapproximate symmetries of differential equations with a small parameterand of their invariant solutions. The method is illustrated by the vander Pol equation. It is shown that, in this example, our approachprovides a group theoretical background of ad hoc methods widelyused in perturbation techniques.     

拱坝体形优化设计方法及工程应用

本文总结了作者在拱坝优化方面多年研究与实践的经验，特别是在优化模型的塑造、优化方法的选择和近似重分析技术等方面的成果与体会。对多个拱坝工程的实际应用表明，采用拱坝优化技术能够提高设计质量、节省大量的工程投资，具有显著的技术经济效益。已对有关算法建立了相应的软件ＡＤＣＡＳ和ＡＤＯＰＴ，性能良好，可供商用。     

Homotopy analysis approach to Duffing-harmonic oscillator

This paper uses the homotopy analysis for the Duffing-harmonic oscillator. The auxiliary parameter in the deformation equation is numerically determined. The response and the frequency of the Duffing-harmonic oscillator are calculated. The analytical results are validated in numerical simulations.     

APPLICATION OF NONLOCAL FRICTION IN SEVERAL KINDS OF PLASTIC FORMING PROBLEMS

Introduction Frictionaffectsformingforce,energy,toollifeandtheproductquality(surfacefinish,internalstructure,productlife,etc)inplasticformingprocesses.Thefrictionphenomenon iscomplexformanyparametersinteractwitheachanotherandaffecttheformingprocess.Fricti…     

A bilinear form of the variational principle with vanishing parameter

Summary  A variational principle whose Lagrangian function generates a hyperbolic heat conduction equation is exhibited. The main characteristic of this principle is that it contains two temperature fields that enter bilinearly into the Lagrangian function. These two fields are interpreted as two mutually independent approximate temperature profiles which are potentially competent to describe rationally the real physical temperature distribution. The proposed variational principle is used as a starting point for finding approximate solutions of the classical, i.e. Fourier's, heat conduction theory, by employing the vanishing parameter technique and the direct methods of variational calculus. Received 4 June 1997; accepted for publication 1 July 1997     

Complex Oscillations Revisited

The problem of applying some approaches to approximate solutions and the asymmetry of closed phase trajectories in some domain of parameters are examined__________Translated from Prikladnaya Mekhanika, Vol. 41, No. 2, pp. 81–90, February 2005.     

Soliton solution to generalized nonlinear disturbed Klein-Gordon equation

A generalized nonlinear disturbed Klein-Gordon equation is studied. Using the homotopic mapping method, the corresponding homotopic mapping is constructed. A suitable initial approximation is selected, and an arbitrary-order approximate solution to the soliton is calculated： A weakly disturbed equation is also studied.