随机和区间非齐次线性哈密顿系统的比较研究及其应用

随着计算机技术的飞速发展,更高效、更稳定和长时间模拟能力更强的数值算法需求迫切.哈密顿系统辛算法与传统算法相比在稳定性和长期模拟方面具有显著优越性.但动力系统中不可避免地存在大量不同程度的不确定性,动力学分析中需要考虑这些不确定性的影响以确保合理有效性. 然而,目前考虑参数不确定性的哈密顿系统响应分析的研究基础还比较薄弱. 为此,本文考虑随机和区间参数不确定性,对两种不确定性非齐次线性哈密顿系统分析计算结果进行了比较研究,从而突破了传统哈密顿系统的局限性, 并应用于结构动力响应评估中. 首先,针对确定性非齐次线性哈密顿系统, 提出了考虑确定性扰动的参数摄动法;在此基础上, 分别提出了随机、区间非齐次线性哈密顿系统的参数摄动法,得到了它们响应界限的数学表达; 随后,用数学理论推导得到了区间响应范围包含随机响应范围的相容性结论; 最后,两个数值算例在较小时间步长下验证了所提方法在结构动力响应中的可行性和有效性,体现了随机、区间哈密顿系统响应结果之间的包络关系,并在较大时间步长下与传统方法相比较凸显了哈密顿系统辛算法的数值计算优势、与蒙特卡洛模拟方法相比较验证了所提方法的精度.      

非线性方程的保辛近似算法

保守体系的微分方程可用Hamilton体系的方法描述,其特点是保辛。两个辛矩阵之和不能保辛,两个辛矩阵的乘积仍是辛矩阵。最常用的小参数摄动法用的是加法,因此对辛矩阵不能保辛。从保辛的角度,要用正则变换。本文针对非线性微分方程,运用自变量坐标变换,对原系统进行变换。由此推导出变换后系统的变分原理。引入Hamilton对偶变量,通过数学变换,得到变系数非线性方程。针对该方程,本文提出了保辛摄动算法。通过数值算例,对不同步长下,保辛摄动法、多尺度摄动法、龙格库塔法和精确解的结果做了比较。数值例题表明,对于非线性方程,本文提出的保辛摄动算法有良好的精度。在步长增大的情况下,保辛摄动保持了良好的稳定性。     

非参数概率系统非平稳随机响应研究

对复杂系统的测量和知识的有限性造成的不确定很难完全由随机参数模型进行描述,采用随机矩阵模型更具有一般性和合理性.本文应用随机矩阵模拟不确定线性动力系统有限元模型中质量阵、阻尼阵和刚度阵的概率不确定性.综合运用虚拟激励法和精细时程积分法建立了非参数概率系统非平稳随机响应的有效计算方法.数值模拟结果表明,对于高精度制造,模型的不确定性是不能忽略的.本文提出的算法为此类问题求解提供了一条有效途径.     

精细辛有限元方法及其相位误差研究

哈密顿系统是一类重要的动力系统,针对哈密顿系统,设计出多类辛方法:SRK、SPRK、辛多步法、生成函数法等.长久以来数值方法在求解哈密顿系统过程中辛特性和保能量特性不能得到同时满足,近年来提出的有限元方法,对于线性系统具有保辛和保能量的优良特性.但是,以上方法都存在相位漂移(轨道偏离)现象,长时间仿真,计算效果会大打折扣.提出精细辛有限元方法(HPD-FEM)求解哈密顿系统,该方法继承时间有限元方法求解哈密顿系统所具有的保哈密顿系统的辛结构和哈密顿函数守恒性的优良特性,同时,通过精细化时间步长极大地减小了时间有限元方法的相位误差.HPD-FEM相较与针对相位误差专门设计的计算格式FSJS、RKN以及SRPK方法具有更好的纠正效果,几乎达到机器精度,误差为O(10-13),同时,HPD-FEM克服了FSJS、RKN和SPRK方法不能保证哈密顿函数守恒的缺点.对于高低混频系统和刚性系统,常规算法很难在较大步长下,同时实现对高低频精确仿真,HPD-FEM通过精细计算时间步长,在大步长情况下,实现高低混频的精确仿真.HPD-FEM方法在计算过程中精细方法没有额外增加计算量,计算效率高.数值结果显示本文提出的方法切实有效.      

区间参数结构的动力响应优化

讨论区间参数结构的动态响应问题的区间优化方法．利用摄动理论和函数区间扩张,将区间优化问题转化为近似的确定性优化问题．由于区间设汁变量的中值和不确定性半径均可取作优化参数,昕以可得到比确定性优化更多的优化信息．将该方法应j用于桁架结构,算例表明该方法是有效的．     

齐次扩容精细算法

钟万勰院士创立的线性定常系统的精细算法HPD具有非常重要的工程实用价值。对于非齐次线性定常系统,钟构造了在一个积分步长内将激励项线性化的处理方法LHPD,Lin^[3]等通过Fourier级数展开和寻找有解析形式的特解的方法,构造了HPD－F算法,这两种算法有一个共同点,即算法的实现需要求解系统矩阵及相关长阵的逆矩阵,数学上,也即隐含要求系统的矩阵及其相关矩阵非奇异,这样,就产生以下两个问题：1．当系统矩阵及其相关矩阵奇异时,如何设计这类动力响应问题的精细格式？2．算法的实现,需要设计高精度的矩阵求逆算法,而矩阵求逆的工作量是奶大的.本文借助齐次扩容技巧,设计了求解非齐次线性定常系统的一类新的精细算法－齐次扩容精细算法HHPD。该算法不涉及矩阵求逆运算,有效地解决 上述两个问题,并且具有设计合理,易于实现等特点,本文最后就几个典型算例,应用齐次扩容精细算法求解,与文献相比,数值结果更为理想。     

一种基于Neumann级数的区间有限元方法

实际工程问题中通常存在大量的不确定参数, 区间有限元方法是一种结合有限元数值计算工具对结构进行不确定性分析的区间方法. 区间有限元的目的是获得在含有区间不确定性参数条件下的结构响应上下边界, 其关键问题在于区间平衡方程组的求解, 而这属于一类往往很难求解的NP-hard问题. 本文归纳了一类工程实际中常见的结构不确定性问题, 即可线性分解式区间有限元问题, 并针对此提出一种基于Neumann级数的区间有限元方法. 在区间有限元分析中, 当区间不确定参数表示为一组独立区间变量线性叠加时, 若结构的刚度矩阵也可表示为这些独立区间变量的线性叠加形式, 则称此类区间有限元问题为可线性分解式区间有限元问题. 对于此类问题, 采用Neumann级数对其刚度矩阵的逆矩阵进行表示, 可获得结构响应关于区间变量的显式表达式, 从而可高效求解结构响应的上下边界. 最后通过两个算例验证了本文所提方法的有效性.      

AN INTERVAL FINITE ELEMENT METHOD BASED ON THE NEUMANN SERIES EXPANSION 1)

实际工程问题中通常存在大量的不确定参数, 区间有限元方法是一种结合有限元数值计算工具对结构进行不确定性分析的区间方法. 区间有限元的目的是获得在含有区间不确定性参数条件下的结构响应上下边界, 其关键问题在于区间平衡方程组的求解, 而这属于一类往往很难求解的NP-hard问题. 本文归纳了一类工程实际中常见的结构不确定性问题, 即可线性分解式区间有限元问题, 并针对此提出一种基于Neumann级数的区间有限元方法. 在区间有限元分析中, 当区间不确定参数表示为一组独立区间变量线性叠加时, 若结构的刚度矩阵也可表示为这些独立区间变量的线性叠加形式, 则称此类区间有限元问题为可线性分解式区间有限元问题. 对于此类问题, 采用Neumann级数对其刚度矩阵的逆矩阵进行表示, 可获得结构响应关于区间变量的显式表达式, 从而可高效求解结构响应的上下边界. 最后通过两个算例验证了本文所提方法的有效性.     

线性随机结构的非平稳随机响应变异性分析

对于具有随机参数的结构受到非平稳随机激励的问题，给出了结构随机响应变异系数的虚拟激励摄动算法。它应用虚拟激励法先将随机荷载转化为确定性荷载，以使随机问题精确地转化为仅结构参数具有随机性的问题，从而将问题归结为应用随机摄动法求解单随机问题。求解过程简单高效，且有较高的精度。     

随机杆系结构几何非线性分析的递推求解方法

建立了随机静力作用下考虑几何非线性的随机杆系结构的随机非线性平衡方程. 将和 位移耦合的随机割线弹性模量以及随机响应量表示为非正交多项式展开式，运用传统的摄动方法获 得了关于非正交多项式展式的待定系数的确定性的递推方程. 在求解了待定系数后，利用非 正交多项式展开式和正交多项式展开式的关系矩阵，可以很方便地得到未知响应量的二阶统计矩. 两杆结构和平面桁架拱的算例结果表明，当随机量涨落较大时，递推随机有限元方法比基于 二阶泰勒展开的摄动随机有限元方法更逼近蒙特卡洛模拟结果，显示了该方法对几何非线性 随机问题求解的有效性.     

具有刚性约束随机非线性动力系统擦边现象的研究

利用Chebyshev多项式逼近法在单边约束条件下将带有随机参数的Duffing-van der Pol系统转化为与之等价的确定性系统,然后利用确定性系统的数值方法,研究了系统在擦边附近的动力学行为.研究表明,随机非光滑动力系统由擦边到混沌运动过程中,存在一个擦边区间.当控制参数完全经过这个区间时,随机系统才变为和确定性系统类似的混沌运动,而在这个区间内,随机系统经过一个由擦边运动到混沌再到擦边运动的反复过程.同时作者还发现,随机非光滑动力系统在擦边附近存在由随机因素诱发的倍周期分岔现象.     

离散精细时程积分的自适应求积算法研究

基于Hamilton体系下的精细时程积分方法,通过对载荷项进行离散,应用中值法使载荷项在时间步长内为常值,从而将非齐次动力方程转化为齐次动力方程,避免了矩阵的求逆运算;基于积分区间逐次半分的思想实现了任意时间步长的自适应求积。数值算例结果表明:在同等时间步长的非齐次系统中,精细时程积分的最大误差为中心差分法的2.8%,为Newmark法的2.2%,最大求解误差仅为0.029%。这充分说明了本文的离散精细时程积分的自适应求积算法具有很好的收敛性。     

给出不确定性激励下的动态响应边界——一种非随机振动分析方法

提出了一种非随机振动分析方法,可给出系统在不确定性激励下的动态响应边界,从而为实验信息相对缺乏的不确定性振动分析及未来的可靠性设计提供一种新的计算工具.采用非概率凸模型过程而非传统的随机过程描述不确定性动态激励,仅需知道激励在任意时刻点的边界信息而非精确概率分布,从而有效降低对大样本量的依赖性.针对单自由度和多自由度系统,建立了相应的非随机振动分析算法,以求解系统在不确定性动态激励下的响应区间;另外,也给出了蒙特卡罗仿真方法,为非随机振动提供一种最为一般的分析工具.最后,通过3个数值算例验证了本文方法的有效性.非随机振动分析方法可以作为传统随机振动理论的补充,在工程不确定性结构动力学分析及结构可靠性设计领域发挥作用.      

结构固有频率区域的两种摄动算法

当结构参数具有误差或有界不确定性时，区间数学可以在不知道不确定变量的概率分布的情况下定量地考察不确定参数对响应的影响。为计算出不克腚结构参数对结构振动固有频率影响范围的上下界，本文通过对所的两种区间摄动方法分析和数值运算可以看出，相对区间矩阵摄动法，参数摄动方法不仅可提高结构特征值的求解效率，而且所计算结构特征值上下界的宽度比区间矩阵摄动方法所计算出的要小，数值结果说明所提出方法的有效性。     

一种Birkhoff形式下结构动响应问题的保辛中点格式

结构动响应预测是结构设计的基础,是结构振动控制、载荷识别的前提。本文在辛体系下针对结构动响应问题,提出了一种Birkhoff形式下的保辛中点格式。首先引入状态变量,并基于摄动方法将结构动响应方程转化为线性自治Birkhoff方程的形式,进一步利用中心差分推导出线性自治Birkhoff方程的中点格式,其证明是保辛的。该格式不要求Birkhoff方程系数矩阵非奇异,因此适用于奇数维系统。两个不同数值算例的结果充分验证了本文方法的卓越性,也凸显了相对于传统算法在计算精确度和稳定性方面的明显优势。     

不确定动力系统平稳随机响应分析

由于设计、建造以及测量等诸多不确定因素的影响,通常的有限元力学分析模型只是原型结构的一种均值近似,采用随机结构模型是更为合理的.本文应用随机矩阵模拟不确定线性动力系统有限元模型中质量阵、阻尼阵和刚度阵的随机不确定性,并进一步建立此类非参数概率系统在平稳随机外载作用下动力响应的虚拟激励高效求解算法.数值结果表明,均值有限元模型和随机矩阵模型的动力响应具有很大的差异.对于精细制造,模型的随机性是不能忽略的,本文提出的算法为此类问题求解提供了一条有效途径.     

载荷作用位置不确定条件下结构动态稳健性拓扑优化设计

研究当外载荷作用位置不确定时, 连续体结构动态稳健性拓扑优化设计. 在减小结构对简谐激励动响应的同时, 有效降低其对外载荷作用点随机扰动的敏感性. 首先基于非概率凸模型的方法, 将外激励作用位置的不确定性用有界区间变量表示. 其次通过对加载位置的导数分析, 获得了在激励位置扰动情况下结构动柔顺度的二阶泰勒展开式. 基于变密度方法, 推导出了动柔顺度对拓扑设计变量的一阶灵敏度显性表达式. 最后在材料体积约束下, 采用移动渐近优化算法并结合载荷扰动区间内灵敏度的最大绝对值, 对连续体结构进行动态稳健性拓扑优化设计, 并与传统载荷位置固定条件下的确定性优化结果进行对比, 充分展示考虑外激励作用位置扰动对结构拓扑构型设计及其动柔顺度变化的影响. 数值优化结果表明, 采用文中提出的方法所获得的结构动响应的稳健性更高, 能有效抵抗外激励作用位置的随机扰动. 只要少许增大材料的体积, 稳健性优化设计的动响应将在整个载荷扰动区域内优于确定性优化结果.      

基于非传统哈密顿变分原理的高阶辛算法

给出了非传统哈密顿变分原理的一种简化形式,并在此基础上利用拉格朗日多项式近似位移和动量,采用高斯积分法对时间积分,建立了针对动力学初值问题的一类高阶辛算法。在建立高阶辛算法的过程中,本文方法与基于传统哈密顿变分原理的辛算法不同,无需由端值问题向初值问题转换,因此更加简捷有效。此外,给出了线性动力问题中本文算法保辛性的证明。当位移、动量的插值次数和高斯积分点个数均为m时,本文算法是具有2m阶精度的辛算法,且是线性无条件稳定的。通过数值算例结果表明,本文算法与辛算法性质吻合,并且计算效率比同阶辛龙格库塔法提高了约50%。     

线性哈密顿系统的本征摄动法

利用哈密顿算子辛自共轭的特点讨论了保守哈密顿体系的摄动问题,给出了哈密顿矩阵的本征值与本征向量的二阶摄动分析方法。即当系统在哈密顿框架下进行较小修改时,不重复求解大型哈密顿矩阵的本征问题,只需在原系统的模态参数基础上进行模态分析即可,这种矩阵摄动法给出了修改后矩阵的二阶本征值和本征向量,为一般线性保守体系的本征摄动求解提出了一个新方法。     

有界窄带激励下具有黏弹项的Duffing振子

讨论含线性黏弹项的Duffing振子对有界窄带随机激励的响应.用多尺度法分离了系统的稳态平均运动及随机摄动,讨论了系统的黏弹项对阻尼和刚度的效应,得到了系统随机均方响应的近似表达式.分析结果表明:在一定条件下,对应于同一解谐参数,系统有2个稳定的稳态平均运动,从而导致随机均方响应有2值解.数值模拟肯定了上述分析结果。