哈密顿系统正则变换在时变最优控制中的应用

利用哈密顿系统正则变换和生成函数理论求解线性时变最优控制问题,构造了新的最优控制律形式并提出了控制增益计算的保结构算法. 利用生成函数求解最优控制导出的哈密顿系统两端边值问题,并构造线性时变系统的最优控制律,由第2类生成函数所构造的最优控制律避免了末端时刻出现无穷大反馈增益. 控制系统设计中需求解生成函数满足的时变矩阵微分方程组. 根据生成函数与哈密顿系统状态转移矩阵之间的关系,从正则变换的辛矩阵描述出发,导出了求解这组微分方程组的保结构递推算法.为了保持递推计算中的辛矩阵结构,哈密顿系统状态转移矩阵的计算中利用了Magnus级数.      

平面刚体系统的参数预调节保辛算法

保辛积分方法在约束哈密顿系统中有着重要的应用,是因为其在长时间仿真中表现出极好的稳定性。然而随着仿真时长增加,保辛格式通常具有较大的相位误差累积。本文提出了一种平面多刚体系统的参数预调节保辛积分方法。通过推导具有待定参数的改进的拉格朗日方程,并将其与已有保辛格式相结合并预先调节相关参数取值,可以大幅降低数值解的相位误差。理论分析与数值结果表明参数预调节保辛积分方法不仅保持了辛结构,而且具有很低的相位误差累积。因此,参数预调节保辛积分方法可应用于长时间仿真分析。     

非粘滞阻尼系统时程响应分析的精细积分方法

考虑一个具有非粘滞阻尼特性的多自由度系统响应的时程分析问题.该非粘滞阻尼模型假设阻尼力与质点速度的时间历程相关,数学表达式体现为阻尼力等于质点速度与某一核函数的卷积.在利用状态空间方法将系统运动方程转换成一阶的状态方程的基础上,采用精细积分方法对状态方程进行数值求解,得到一种求解该阻尼系统时程响应的精确、高效的计算方法.通过两个数值算例表明,采用该方法得到几乎精确的数值计算结果,而且计算效率有成数量级的提高.     

随机和区间非齐次线性哈密顿系统的比较研究及其应用

随着计算机技术的飞速发展,更高效、更稳定和长时间模拟能力更强的数值算法需求迫切.哈密顿系统辛算法与传统算法相比在稳定性和长期模拟方面具有显著优越性.但动力系统中不可避免地存在大量不同程度的不确定性,动力学分析中需要考虑这些不确定性的影响以确保合理有效性.然而,目前考虑参数不确定性的哈密顿系统响应分析的研究基础还比较薄弱.为此,本文考虑随机和区间参数不确定性,对两种不确定性非齐次线性哈密顿系统分析计算结果进行了比较研究,从而突破了传统哈密顿系统的局限性,并应用于结构动力响应评估中.首先,针对确定性非齐次线性哈密顿系统,提出了考虑确定性扰动的参数摄动法;在此基础上,分别提出了随机、区间非齐次线性哈密顿系统的参数摄动法,得到了它们响应界限的数学表达;随后,用数学理论推导得到了区间响应范围包含随机响应范围的相容性结论;最后,两个数值算例在较小时间步长下验证了所提方法在结构动力响应中的可行性和有效性,体现了随机、区间哈密顿系统响应结果之间的包络关系,并在较大时间步长下与传统方法相比较凸显了哈密顿系统辛算法的数值计算优势、与蒙特卡洛模拟方法相比较验证了所提方法的精度.     

随机和区间非齐次线性哈密顿系统的比较研究及其应用

随着计算机技术的飞速发展,更高效、更稳定和长时间模拟能力更强的数值算法需求迫切.哈密顿系统辛算法与传统算法相比在稳定性和长期模拟方面具有显著优越性.但动力系统中不可避免地存在大量不同程度的不确定性,动力学分析中需要考虑这些不确定性的影响以确保合理有效性. 然而,目前考虑参数不确定性的哈密顿系统响应分析的研究基础还比较薄弱. 为此,本文考虑随机和区间参数不确定性,对两种不确定性非齐次线性哈密顿系统分析计算结果进行了比较研究,从而突破了传统哈密顿系统的局限性, 并应用于结构动力响应评估中. 首先,针对确定性非齐次线性哈密顿系统, 提出了考虑确定性扰动的参数摄动法;在此基础上, 分别提出了随机、区间非齐次线性哈密顿系统的参数摄动法,得到了它们响应界限的数学表达; 随后,用数学理论推导得到了区间响应范围包含随机响应范围的相容性结论; 最后,两个数值算例在较小时间步长下验证了所提方法在结构动力响应中的可行性和有效性,体现了随机、区间哈密顿系统响应结果之间的包络关系,并在较大时间步长下与传统方法相比较凸显了哈密顿系统辛算法的数值计算优势、与蒙特卡洛模拟方法相比较验证了所提方法的精度.      

Hamilton体系下介电弹性体圆形薄膜的动力学建模与辛求解

采用辛算法研究了Hamilton体系下介电弹性体圆形薄膜的动力学响应。首先,将该问题引入Hamilton对偶变量体系,借助Legendre变换,给出系统的广义动量和Hamilton函数,通过对Hamilton函数作用量的变分,得到Hamilton体系下的正则方程。其次,对于得到的正则方程给出了辛Runge-Kutta的计算格式。最后,采用二级四阶辛Runge-Kutta算法对动力学系统进行了数值求解,和四级四阶经典Runge-Kutta算法进行对比,结果表明,二级四阶辛Runge-Kutta算法具有保能量以及长时间数值稳定的优势,同时说明四级四阶经典Runge-Kutta算法对于步长依赖的局限性。     

Hamilton体系下介电弹性体圆形薄膜的动力学建模与辛求解

采用辛算法研究了Hamilton体系下介电弹性体圆形薄膜的动力学响应。首先，将该问题引入Hamilton对偶变量体系，借助Legendre变换，给出系统的广义动量和Hamilton函数，通过对Hamilton函数作用量的变分，得到Hamilton体系下的正则方程。其次，对于得到的正则方程给出了辛Runge-Kutta的计算格式。最后，采用二级四阶辛Runge-Kutta算法对动力学系统进行了数值求解，和四级四阶经典Runge-Kutta算法进行对比，结果表明，二级四阶辛Runge-Kutta算法具有保能量以及长时间数值稳定的优势，同时说明四级四阶经典Runge-Kutta算法对于步长依赖的局限性。     

基于特征分裂有限元准隐格式的共轭传热整体耦合数值模拟方法

共轭传热现象在科学和工程领域中大量存在. 随着计算能力的发展, 对共轭传热现象进行准确有效的数值模拟, 成为科学研究和工程设计上的重要挑战.共轭传热数值模拟的方法可以分为两大类: 分区耦合和整体耦合.本文采用有限元法对共轭传热问题进行整体耦合模拟. 固体传热求解采用标准的伽辽金有限元方法.流动求解采用基于特征分裂的有限元方法. 该方法是一种重要的求解流动问题的有限元方法, 可以使用等阶有限元. 该方法的准隐格式与其他格式相比, 具有时间步长大的特点. 将稳定项中的时间步长与全局时间步长分开, 改进了准隐格式的稳定性. 基于改进的特征分裂有限元方法的准隐格式, 发展了一种层流共轭传热数值模拟的整体耦合方法. 采用这种方法可以将流体计算域和固体计算域作为一个整体划分有限元网格, 并且所有变量都可以采用相同的插值函数, 从而有利于程序的实现. 通过对典型问题的模拟, 验证了这种方法的准确性. 本工作还研究了固体区域时间步长对定常共轭传热问题数值模拟收敛性的影响.      

大型正交异性结构动力学分析的空间-时域多尺度方法及应用

为了更加精确、快速地求解大型正交异性结构整体及局部动力响应,提出了基于有限元模态分析和参数优化的等效及多尺度建模方法,在等效建模时可以充分考虑结构细节对整体动力学属性的影响,在时域内采用基于显式中心差分子循环算法求解系统方程,可以减小局部精细建模带来的求解时间惩罚。通过大型盾构隧道地震响应以及船-桥碰撞过程仿真计算验证了方法的有效性和实用性,仿真得到的响应规律可为相关结构设计提供参考。     

非线性轨迹优化问题的保辛自适应求解方法

非线性轨迹优化问题一般是一个非线性最优控制问题。将非线性系统的最优控制问题导入到哈密顿体系的辛几何空间当中,基于对偶变量变分原理提出了求解非线性最优控制问题的一种保辛自适应方法。以时间区段两端协态作为独立变量,在时间区段内采用拉格朗日插值近似状态和协态变量,并利用对偶变量变分原理将非线性最优控制问题转化为非线性方程组的求解,保持了哈密顿系统的辛几何结构。并进一步,提出了基于多层次迭代的自适应算法,提高了非线性最优控制问题的求解效率。数值实验验证了该算法在求解非线性轨迹优化问题中的有效性。     

Continuous finite element methods for Hamiltonian systems

By applying the continuous finite element methods of ordinary differential equations,the linear element methods are proved having second-order pseudo-symplectic scheme and the quadratic element methods are proved having third-order pseudo- symplectic scheme respectively for general Hamiltonian systems,and they both keep energy conservative.The finite element methods are proved to be symplectic as well as energy conservative for linear Hamiltonian systems.The numerical results are in agree- ment with theory.     

哈密尔顿系统的连续有限元法及守恒性

利用常微分方程的连续有限元法,证明了线性哈密尔顿系统的连续一、二、三次有限元法为辛算法;对非线性哈密尔顿系统,本文证明了连续一次有限元在3阶量意义下近似保辛,且保持能量守恒,并在数值计算上探讨了守恒性和近似程度,结果与理论相吻合.     

Runge-kutta method, finite element method, and regular algorithms for hamiltonian system

The symplectic algorithm and the energy conservation algorithm are two important kinds of algorithms to solve Hamiltonian systems. The symplectic RungeKutta (RK) method is an important part of the former, and the continuous finite element method (CFEM) belongs to the later. We find and prove the equivalence of one kind of the implicit RK method and the CFEM, give the coefficient table of the CFEM to simplify its computation, propose a new standard to measure algorithms for Hamiltonian systems, and define another class of algorithms—the regular method. Finally, numerical experiments are given to verify the theoretical results.     

辛体系下含对称破缺因素动力学系统的近似守恒律

自冯康先生创立Hamilton系统辛几何算法以来,诸如辛结构和能量守恒等守恒律逐渐成为动力学系统数值分析方法有效性的检验标准之一。然而,诸如阻尼耗散、外部激励与控制和变参数等对称破缺因素是实际力学系统本质特征,影响着系统的对称性与守恒量。因此,本文在辛体系下讨论含有对称破缺因素的动力学系统的近似守恒律。针对有限维随机激励Hamilton系统,讨论其辛结构;针对无限维非保守动力学系统、无限维变参数动力学系统、Hamilton函数时空依赖的无限维动力学系统和无限维随机激励动力学系统,重点讨论了对称破缺因素对系统局部动量耗散的影响。上述结果为含有对称破缺因素的动力学系统的辛分析方法奠定数学基础。     

Structure-preserving properties of three differential schemes for oscillator system

A numerical method for the Hamiltonian system is required to preserve some structure-preserving properties. The current structure-preserving method satisfies the requirements that a symplectic method can preserve the symplectic structure of a finite dimension Hamiltonian system, and a multi-symplectic method can preserve the multi-symplectic structure of an infinite dimension Hamiltonian system. In this paper,the structure-preserving properties of three differential schemes for an oscillator system are investigated in detail. Both the theoretical results and the numerical results show that the results obtained by the standard forward Euler scheme lost all the three geometric properties of the oscillator system, i.e., periodicity, boundedness, and total energy,the symplectic scheme can preserve the first two geometric properties of the oscillator system, and the St¨ormer-Verlet scheme can preserve the three geometric properties of the oscillator system well. In addition, the relative errors for the Hamiltonian function of the symplectic scheme increase with the increase in the step length, suggesting that the symplectic scheme possesses good structure-preserving properties only if the step length is small enough.     

Plane elasticity in sectorial domain and the Hamiltonian system

ＰＬＡＮＥＥＬＡＳＴＩＣＩＴＹＩＮＳＥＣＴＯＲＩＡＬＤＯＭＡＩＮＡＮＤＴＨＥＨＡＭＩＬＴＯＮＩＡＮＳＹＳＴＥＭＺｈｏｎｇＷａｎ－ｘｉｅｔａｐ（钟万勰）（ＤａｌｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｄａｌｉａｎ）（ＲｅｃｅｉｖｅｄＤｅｃ．...     

基于哈密尔顿体系的裂纹尖端应力奇性分析及计量

对弹性平面扇形域问题,将径向坐标模拟成时间坐标,通过适当的变换,将扇形域问题导向哈密尔顿体系,利用分离变量法及本征函数向量展开等方法,推导出裂纹尖端的应力奇性解的计算公式,结合变分原理,提出一种解决应力奇性计算的断裂分析元,将此分析元与有限元法相结合,可以进行某些断裂力学或复合材料等应力奇性问题的计算及分析,数值计算结果表明,该方法具有精度高,使用十分方便,灵活等优点,是哈密尔顿体系和辛数学优越性的一次具体体现。     

EIGENVALUE PROBLEM OF A LARGE SCALE INDEFINITE GYROSCOPIC DYNAMIC SYSTEM

Gyroscopic dynamic system can be introduced to Hamiltonian system.Based on an adjoint symplectic subspace iteration method of Hamiltonian gyroscopic system, an adjoint symplectic subspace iteration method of indefinite Hamiltonian function gy- roscopic system was proposed to solve the eigenvalue problem of indefinite Hamiltonian function gyroscopic system.The character that the eigenvalues of Hamiltonian gyroscopic system are only pure imaginary or zero was used.The eigenvalues that Hamiltonian function is negative can be separated so that the eigenvalue problem of positive definite Hamiltonian function system was presented,and an adjoint symplectic subspace iteration method of positive definite Hamiltonian function system was used to solve the separated eigenvalue problem.Therefore,the eigenvalue problem of indefinite Hamiltonian function gyroscopic system was solved,and two numerical examples were given to demonstrate that the eigensolutions converge exactly.     

动力学平衡方程的辛两步求解算法

基于线性多步方法的构造格式和辛变换,给出了动力学方程的两种辛两步法求解格式,它们分别具有四阶精度和二阶精度,但都只有二阶格式的计算量,因此四阶辛两步法具有较大的应用价值。对两种辛两步法和解析解进行了数值比较,证明了二阶精度辛两步格式在一定条件下就是欧拉中点保辛算法,或δ=0.5和α=0.25的Newmark辛格式。