改进型扩展比例边界有限元法

结合了扩展有限元法(extended finite elementmethods,XFEM)和比例边界有限元法(scaled boundary finite elementmethods,SBFEM)的主要优点,提出了一种改进型扩展比例边界有限元法(improvedextended scaled boundary finite elementmethods,$i$XSBFEM),为断裂问题模拟提供了一条新的途径.类似XFEM,采用两个正交的水平集函数表征材料内部裂纹面,并基于水平集函数判断单元切割类型;将被裂纹切割的单元作为SBFE的子域处理,采用SBFEM求解单元刚度矩阵,从而避免了XFEM中求解不连续单元刚度矩阵需要进一步进行单元子划分的缺陷;同时,借助XFEM的主要思想,将裂纹与单元边界交点的真实位移作为单元结点的附加自由度考虑,赋予了单元结点附加自由度明确的物理意义,可以直接根据位移求解结果得出裂纹与单元边界交点的位移;对于含有裂尖的单元,选取围绕裂尖单元一圈的若干层单元作为超级单元,并将此超级单元作为SBFE的一个子域求解刚度矩阵,超级单元内部的结点位移可通过SBFE的位移模式求解得到,应力强度因子可基于裂尖处的奇异位移(应力)直接获得,无需借助其他的数值方法.最后,通过若干数值算例验证了建议的$i$XSBFEM的有效性,相比于常规XFEM,$i$XSBFEM的基于位移范数的相对误差收敛性较好;采用$i$XSBFEM通过应力法和位移法直接计算得到的裂尖应力强度因子均与解析解吻合\较好.      

2D dynamic analysis of cracks and interface cracks in piezoelectric composites using the SBFEM

The dynamic stress and electric displacement intensity factors of impermeable cracks in homogeneous piezoelectric materials and interface cracks in piezoelectric bimaterials are evaluated by extending the scaled boundary finite element method (SBFEM). In this method, a piezoelectric plate is divided into polygons. Each polygon is treated as a scaled boundary finite element subdomain. Only the boundaries of the subdomains need to be discretized with line elements. The dynamic properties of a subdomain are represented by the high order stiffness and mass matrices obtained from a continued fraction solution, which is able to represent the high frequency response with only 3–4 terms per wavelength. The semi-analytical solutions model singular stress and electric displacement fields in the vicinity of crack tips accurately and efficiently. The dynamic stress and electric displacement intensity factors are evaluated directly from the scaled boundary finite element solutions. No asymptotic solution, local mesh refinement or other special treatments around a crack tip are required. Numerical examples are presented to verify the proposed technique with the analytical solutions and the results from the literature. The present results highlight the accuracy, simplicity and efficiency of the proposed technique.     

裂纹面受荷载作用的应力强度因子的计算

基于比例边界有限元法计算了裂纹面有荷载作用情况下裂纹尖端的应力强度因子,给出了有限介质裂纹面作用荷载的比例边界有限元方程的基本求解过程.对于随径向坐标任意变化的一类面荷载的积分能够显式计算,不需要引入额外的近似;并将计算结果与解析解和数值结果进行对比,结果表明比例边界有限元法在计算裂纹面作用荷载时的应力强度因子是有效且精确的.此外,该方法可方便地处理各向异性材料裂纹问题,本文给出了正交各向异性矩形盘裂纹面受均布荷载情况的应力强度因子.     

CRACK FACE CONTACT PROBLEM ANALYSIS USING THE SCALED BOUNDARY FINITE ELEMENT METHOD

比例边界有限元侧面上有任意荷载时,将侧面载荷分解成关于径向方向局部坐标的多项式函数的和,推导给出了考虑侧面载荷存在的新型形函数,并基于该形函数推导了刚度矩阵和等效节点载荷列阵.首次对比例边界有限元法求解裂纹面接触问题进行了研究,运用Lagrange乘子引入接触界面约束条件,推导给出了比例边界有限元求解裂纹面接触问题的控制方程.将裂纹面单元分为非裂尖单元和含有侧面的裂尖单元.在非裂尖单元中的裂纹面,裂纹面作为多边形单元的边界,边界上的接触力可等效到节点上,通过在节点上构造Lagrange乘子,采用点对点接触约束进行处理.对于含有侧面的裂尖单元,在整个侧面上构造Lagrange乘子的插值场,采用边对边接触约束进行处理.对三个不同的接触约束状态下的算例进行了数值计算,通过与解析解及有限元软件ABAQUS计算结果的对比,验证了本文提出的比例边界有限元点对点和边对边接触求解裂纹面接触问题的精确性与有效性.     

热传导问题的比例边界等几何分析

提出比例边界等几何分析SBIGA(Scaled Boundary IsoGeometric Analysis)方法来求解热传导问题。SBIGA兼具比例边界有限元和等几何分析的优势,特别适用于求解包含无限域和奇异物理场的问题。该方法造型十分方便,在径向具有半解析性质,仅需在计算域边界上用NURBS基函数自然离散,为实现CAD/CAE无缝融合提供了新的途径,大大节约前处理和计算耗时。此外,SBIGA无需进一步与CAD系统数据交换就可以保型细分。三个基准算例证明了其在热传导分析中的有效性。与传统比例边界有限元相比,SBIGA模型消除了几何模型误差,并显示出更高的计算精度和收敛速度。     

MODE III 2-D FRACTURE ANALYSIS BY THE SCALED BOUNDARY FINITE ELEMENT METHOD

The scaled boundary finite element method （SBFEM） is a novel semi-analytical technique that combines the advantages of the finite element method and the boundary element method with unique properties of its own. This method has proven very efficient and accurate for determining the stress intensity factors （SIFs） for mode I and mode II two-dimensional crack problems. One main reason is that the SBFEM has a unique capacity of analytically representing the stress singularities at the crack tip. In this paper the SBFEM is developed for mode III （out of plane deformation） two-dimensional fracture anMysis. In addition, cubic B-spline functions are employed in this paper for constructing the shape functions in the circumferential direction so that higher continuity between elements is obtained. Numerical examples are presented at the end to demonstrate the simplicity and accuracy of the present approach for mode Ⅲ two-dimensional fracture analysis.     

扩展边界元法分析切口和裂纹结构应力场的准确性

在线弹性理论中,切口/裂纹结构尖端区域存在奇异应力场,数值方法不易求解。本文建立的扩展边界元法(XBEM)对围绕尖端区域位移函数采用自尖端径向距离 的渐近级数展开式表达,其级数项的幅值系数作为基本未知量,而外部区域采用常规边界元法离散方程。两者方程联立求解可获得切口和裂纹结构完整的位移和应力场。扩展边界元法具有半解析法特征,适用于一般的切口和裂纹结构应力场分析,其解可精细描述从尖端区域到整体结构区域的应力场。作者研制了扩展边界元法程序,文中给出了两个算例,通过计算结果分析,表明扩展边界元法求解切口和裂纹结构应力场的准确性和有效性。     

裂缝分析的比例边界有限元与有限元耦合的虚拟结构面模型

比例边界有限元法SBFEM(Scaled Boundary Finite Element Method)是一种半解析数值方法,在裂缝分析特别是强度因子计算上具有相当高的精度。本文提出了一种用于裂缝分析的基于虚拟结构面的SBFEM与常规FEM的耦合分析方法。首先选取裂缝周边一定范围的计算域,并将结构分成不含裂缝区域和含裂缝区域两部分。然后,对不含裂缝区域,采用FEM进行网格离散;对含裂缝区域,采用SBFEM进行网格离散;两者相互独立,在这两个域内,分别采用各自相应的位移模式。最后通过在SBFEM网格的外边界设置虚拟耦合结构面的模式,实现有限元网格和比例边界有限元网格的耦合。通过两个经典的含裂缝平板的算例研究,探讨了本文方法在I型开裂和混合型开裂分析中,影响应力强度因子精度的因素。算例表明,SBFEM具有的降维和半解析性质,使本文方法在裂缝分析中的前处理简单易行,且计算结果具有相当高的计算精度。     

板结构计算模型的新发展

现代复合材料层合板具有高强和轻型的突出优点，从而在军工和民用等诸多领域发挥着重要作用。这种板结构的特点是随着纤维走向的不同，层间材料的物理-力学特性发生剧烈变化。沿板厚方向变形的梯度比较陡峭，并在层间结合面处发生强不连续，呈现zig-zag （锯齿状）现象。这导致横向剪应变在板的静态和动态响应中发生重要作用，不计横向变形的经典组合板计算模型CLPT难以适应现代多层板计算分析的需要。考虑横向剪切变形影响的板的计算模型得到重视和发展。需要指出，现有各种考虑剪切变形影响的计算模型虽然有了很大的发展，但在全面和准确性上仍然存在一定的不足，难以适应现代多层组合板横向力和物理性能多变的情况。模型预测的沿板厚方向位移和应力的变化规律难以通过严格的检验。本文提出的以比例边界有限元为基础的正交各向异性板的数值计算模型，同时可适用于各种薄板与厚板的分析，对现代复合材料层合板的分析具有特殊的优越性。所得到的板的位移、正应力和剪应力沿板厚方向的变化，与三维弹性理论的标准解高度吻合。数值算例进一步表明，随着层间纤维走向的变化，板内位移场和应力场沿板厚方向剧烈变化所呈现的锯齿现象均可以精准地进行模拟。据此，本文建议方法对现代板分析的广泛适应性和高度准确性得到了充分论证。     

边界积分方程中近奇异积分计算的一种变量替换法

准确估计近奇异边界积分是边界元分析中一项很重要的课题,其重要性仅次于对奇异积分的处理. 近年来已发展了许多方法,都取得了一定程度的成功,但这个问题至今仍未得到彻 底的解决. 基于一种新的变量变换的思想和观点,提交了一种通用的积分变换法, 它非常有效地改善了被积函数的震荡特性,从而消除了积分的近奇异性,在不增加计算量的情况 下, 极大地改进了近奇异积分计算的精度. 数值算例表明,其算法稳定,效率高, 并可达到很高的计算精度,即使区域内点非常地靠近边界,仍可取得很理想的结果.     

Application of scaled boundary finite element method in static and dynamic fracture problems

The scaled boundary finite element method (SBFEM) is a recently developed numerical method combining advantages of both finite element methods (FEM) and boundary element methods (BEM) and with its own special features as well. One of the most prominent advantages is its capability of calculating stress intensity factors (SIFs) directly from the stress solutions whose singularities at crack tips are analytically represented. This advantage is taken in this study to model static and dynamic fracture problems. For static problems, a remeshing algorithm as simple as used in the BEM is developed while retaining the generality and flexibility of the FEM. Fully-automatic modelling of the mixed-mode crack propagation is then realised by combining the remeshing algorithm with a propagation criterion. For dynamic fracture problems, a newly developed series-increasing solution to the SBFEM governing equations in the frequency domain is applied to calculate dynamic SIFs. Three plane problems are modelled. The numerical results show that the SBFEM can accurately predict static and dynamic SIFs, cracking paths and load-displacement curves, using only a fraction of degrees of freedom generally needed by the traditional finite element methods.The project supported by the National Natural Science Foundation of China (50579081) and the Australian Research Council (DP0452681)The English text was polished by Keren Wang.     

双材料界面裂纹应力强度因子的边界元分析

采用双材料基本解建立边界元法基本方程,计算双材料界面裂纹尖端附近的应用力和位移场。不离散界面,并设置面力奇异四分之一点裂尖单元以提高计算精度。数值结果表明,本文的方法具有较高的精度和效率。     

波导本征问题分析的比例边界有限元方法

引入了一种求解波导本征值问题的高效而精确算法-比例边界有限元方法SBFEM (Scaled Boundary Finite Element Method).该方法的一个特点是只需在边界上进行离散,问题降低一维,使计算工作量大大减少;另一特点是所建立的控制方程为二阶常微分方程,可以解析地求解,使计算精度得到了保证.论文利用变分原理并通过比例边界坐标变换,推导了TE波和TM波波导的比例边界有限元频域方程以及波导动剐度方程,同时给出了波导动刚度矩阵的连分式解形式,通过引入辅助变量进一步得出波导特征值方程并求出波导本征值.以矩形、L形波导和叶型加载矩形波导的本征问题分析为例,通过与解析解及其他数值方法比较,结果表明,此方法具有精度高、计算工作量小的优点,而且随着连分式阶数增加收敛速度快.进一步分析了一类角切四脊正方形波导的传输特性.     

三维切口/裂纹结构的扩展边界元法分析

在线弹性理论中,三维 V 形切口/裂纹结构尖端区域存在多重应力奇异性,常规数值方法不易求解. 本文提出和建立了三维扩展边界元法 (XBEM),用于分析三维线弹性 V 形切口/裂纹结构完整的位移和应力场. 先将三维线弹性 V 形切口/裂纹结构分为尖端小扇形柱和挖去小扇形柱后的外围结构. 尖端小扇形柱内的位移函数采用自尖端径向距离 $r$ 的渐近级数展开式表达,其中尖端区域的应力奇异指数、位移和应力特征角函数通过插值矩阵法获得. 而级数展开式各项的幅值系数作为基本未知量. 挖去扇形域后的外围结构采用常规边界元法分析. 两者方程联立求解可获得三维 V 形切口/裂纹结构完整的位移和应力场,包括切口/裂纹尖端区域精细的应力场. 扩展边界元法具有半解析法特征,适用于一般三维 V 形切口/裂纹结构完整位移场和应力场的分析,其解可精细描述从尖端区域到整体结构区域的完整应力场. 作者研制了三维扩展边界元法程序,文中给出了两个算例,通过计算结果分析,表明了扩展边界元法求解三维 V 形切口/裂纹结构完整应力场的准确性和有效性.      

ANALYSIS OF 3-D NOTCHED/CRACKED STRUCTURES BY USING EXTENDED BOUNDARY ELEMENT METHOD 1)

在线弹性理论中,三维 V 形切口/裂纹结构尖端区域存在多重应力奇异性,常规数值方法不易求解. 本文提出和建立了三维扩展边界元法 (XBEM),用于分析三维线弹性 V 形切口/裂纹结构完整的位移和应力场. 先将三维线弹性 V 形切口/裂纹结构分为尖端小扇形柱和挖去小扇形柱后的外围结构. 尖端小扇形柱内的位移函数采用自尖端径向距离 $r$ 的渐近级数展开式表达,其中尖端区域的应力奇异指数、位移和应力特征角函数通过插值矩阵法获得. 而级数展开式各项的幅值系数作为基本未知量. 挖去扇形域后的外围结构采用常规边界元法分析. 两者方程联立求解可获得三维 V 形切口/裂纹结构完整的位移和应力场,包括切口/裂纹尖端区域精细的应力场. 扩展边界元法具有半解析法特征,适用于一般三维 V 形切口/裂纹结构完整位移场和应力场的分析,其解可精细描述从尖端区域到整体结构区域的完整应力场. 作者研制了三维扩展边界元法程序,文中给出了两个算例,通过计算结果分析,表明了扩展边界元法求解三维 V 形切口/裂纹结构完整应力场的准确性和有效性.     

弹性力学问题的虚边界元-配点法

本文提出虚边界方法,建立了离散化虚边界元-配点法,给出了离散化求系数的积分解析式。本文方法完全避免了边界奇异积分及其复杂耗时的运算,成功地提高了普通边界元法(以下简称边界元法)中边界附近区域内包括边界上解的精度,保留了边界元法的优点并扬弃了其弱点。边界元间接法是本文方法中的一个特例。数值算例表明,程序可靠,节省机时,计算精度较高。     

一种处理弹性动力边界元法中奇异积分的方法

利用边界元法求解瞬态弹性动力学问题时，时域基本解函数的分段连续性和奇异性为该问题的求解带来很大的困难。为了解决时域基本解中的奇异性问题，本文依据柯西主值的定义，对经过时间解析积分之后的时域基本解进行奇异值分解，将其分成奇异和正则积分两部分；其中正则部分可通过采用常规高斯积分方法来计算，而奇异部分具有简单的形式，可以利用解析积分计算。经过上述操作之后，就可以达到直接消除时域基本解中奇异积分的目的。和传统方法相比，本文方法并不依赖静力学基本解来消除奇异性，是一种直接求解方法。最后给定两个数值算例来验证本文提出方法的正确性和可行性，结果表明使用本文算法可以解决弹性动力学边界积分方程中的奇异性问题。     

Eigenproblems of two-dimensional acoustic cavities with smoothly varying boundaries by using the generalized multipole method

This paper presents a semi-analytical approach to solve the eigenproblem of a two-dimensional acoustic cavity with smoothly varying boundaries. The multipole expansion for the acoustic pressure is formulated in terms of Bessel and Hankel functions to satisfy the Helmholtz equation in the polar coordinate system. Rather than using the addition theorem, the multipole method and directional derivative are both combined to propose a generalized multipole method in which the acoustic pressure and its normal derivative with respect to non-local polar coordinates can be calculated. The boundary conditions are satisfied by uniformly collocating points on the boundaries. By truncating the multipole expansion, a finite linear algebraic system is acquired. The direct searching approach is applied to identify the natural frequencies using the singular value decomposition technique. Several numerical examples are presented, including those of an annulus cavity, a confocal elliptical annulus cavity and an arbitrarily shaped cavity with an inner elliptical boundary. The accuracy and numerical convergence of the proposed method are validated by comparison with results of the available analytical method and the commercial finite-element code ABAQUS. No spurious eigensolutions are found in the proposed formulation. Due to its semi-analytical character, excellent accuracy and fast rate of convergence are the main features of the proposed method.     

粘弹性问题的插值型无单元伽辽金比例边界法

作为一种最近发展起来的半解析数值方法,插值型无单元伽辽金比例边界法不仅无需基本解,且在处理应力奇异性问题和无限域问题时十分有效．为了更有效地求解粘弹性问题,对插值型无单元伽辽金比例边界法应用于此类问题进行了研究,并发展了相应的算法. 通过时域分段展开,将时空耦合的初边值问题转化为一系列递推形式的边值问题,然后采用插值型无单元伽辽金比例边界法进行自适应计算．在径向保持解析特性的基础上,环向采用无单元伽辽金法离散可简化前处理和后处理工作量．此外,改进的插值型移动最小二乘法形函数具有插值性,有效地解决了本质边界条件不能直接施加的困难．最后给出了数值算例,并验证了所提方法的有效性和正确性.     

Helmholtz边界积分方程中奇异积分间接求解方法

提出了间接求解传统Helmholtz边界积分方程CBIE的强奇异积分和自由项系数,以及Burton-Miller边界积分方程BMBIE中的超强奇异积分的特解法。对于声场的内域问题,给出了满足Helmholtz控制方程的特解,间接求出了CBIE中的强奇异积分和自由项系数。对于声场外域对应的BMBIE中的超强奇异积分,按Guiggiani方法计算其柯西主值积分需要进行泰勒级数展开的高阶近似,公式繁复,实施困难。本文给出了满足Helmholtz控制方程和Sommerfeld散射条件的特解,提出了间接求出超强奇异积分的方法。推导了轴对称结构外场问题的强奇异积分中的柯西主值积分表达式,并通过轴对称问题算例证明了本文方法的高效性。数值结果表明,对于内域问题,采用本文特解法的计算结果优于直接求解强奇异积分和自由项系数的结果,且本文的特解法可避免针对具体几何信息计算自由项系数,因而具有更好的适用性。对于外域问题,两者精度相当,但本文的特解法可避免对核函数进行高阶泰勒级数展开,更易于数值实施。