比例边界等几何分析方法Ⅰ:波导本征问题

提出比例边界等几何方法 (scaled boundary isogeometric analysis, SBIGA), 并用以求解波导本征值问题. 在比例边界等几何坐标变换的基础上, 利用加权余量法将控制偏微分方程进行离散处理, 半弱化为关于边界控制点变量的二阶常微分方程, 即 TE 波或 TM 波波导的比例边界等几何分析的频域方程以及波导动刚度方程, 同时利用连分式求解波导动刚度矩阵. 通过引入辅助变量进一步得出波导本征方程. 该方法只需在求解域的边界上进行等几何离散, 使问题降低一维, 计算工作量大为节约, 并且由于边界的等几何离散, 使得解的精度更高, 进一步节省求解自由度. 以矩形和 L 形波导的本征问题分析为例, 通过与解析解和其他数值方法比较, 结果表明该方法具有精度高、计算工作量小的优点.     

DYNAMIC ANALYSIS OF BOUNDED DOMAINS BY SBFE AND THE IMPROVED CONTINUED-FRACTION EXPANSION

基于比例边界有限元理论框架,通过采用连分式展开和引入辅助变量,将有限域的动力刚度矩阵和质量矩阵采用高阶的矩阵表示. 采用改进的连分式法求解比例边界有限元方程中的动力刚度矩阵. 通过增加连分式展开的阶数,该求解方法能包含动力分析的主要频率范围. 针对结构自由度较多的系统当连分式阶数逐渐增大时,原连分式算法可能会造成矩阵运算病态的问题,提出采用改进的连分式算法能有效地提高数值计算稳定性.通过对一正八边形的自由振动分析及矩形平面的时域分析,算例结果表明改进算法的鲁棒性更强,适合大规模系统的动力分析.     

基于比例边界有限元法的高阶透射边界应用

基于比例边界有限元法和连分式展开推导了无限域弹性动力分析的求解方程,实现了一种局部的高阶透射边界. 采用改进的连分式法求解无限域的动力刚度矩阵,克服了原连分式算法可能会造成矩阵运算病态的问题. 该局部高阶透射边界在时域里表示为一阶常微分方程组,其稳定性取决于其系数矩阵的广义特征值问题. 如果出现虚假模态,采用移谱法来校正系数矩阵以消除虚假模态. 通过两个算例验证了该高阶透射边界的精确性、鲁棒性.     

比例边界有限元二阶灵敏度设计及断裂力学分析

比例边界有限元是一种只需在边界上划分网格且无需基本解的半解析方法,能有效处理应力奇异性和无边界问题.论文提出了一种比例边界有限元的二阶灵敏度分析方法,可以准确而高效地求解响应关于参数的二阶梯度.首先通过建立仅需右特征向量的哈密顿矩阵特征灵敏度分析方程,发展了一种改进的比例边界有限元一阶灵敏度分析方法;其次,进一步通过构建二阶哈密顿矩阵特征灵敏度分析方程,并对比例边界有限元系统方程进行一系列二次直接微分,提出了一种半解析形式的比例边界有限元二阶灵敏度分析方法.该方法被应用于线弹性裂纹结构的形状灵敏度分析和不确定性传播分析.最后,给出了两个数值算例验证论文方法的有效性.     

波导本征问题的等几何分析方法

利用等几何分析思想通过加权余量法并结合亥姆霍兹方程推导出波导本征问题的等几何分析方程,提出了一种分析波导本征问题低自由度消耗、高精度的方法。该方法消除了传统数值方法中求解域的模型非一致性,从而实现了将问题的分析计算构架于精确的模型之上。以矩形和圆形波导的本征问题分析为例,通过与解析解和其他数值方法比较表明:在同等较细网格下,等几何分析模型仅花费1156个自由度,最大误差为0.003%,相比有限元的2245个自由度和0.03%的最大误差,此方法具有自由度少、精度高、收敛速度快等优点。     

基于Hamilton体系的弹性力学问题的比例边界有限元方法

比例边界有限元方法是求解偏微分方程的一种半解析半数值解法。对于弹性力学问题,可采用基于力学相似性、基于比例坐标相似变换的加权余量法和虚功原理得到以位移为未知量的系统控制方程,属于Lagrange体系。但在求解时,又引入了表面力为未知量,控制方程属于Hamilton体系。因而,本文提出在比例边界有限元离散方法的基础上,利...     

基于移动相似中心的比例边界有限元方法

在传统的比例边界有限元中,相似中心是固定的,难以用其求解关于偏心域的场问题。本文引入移动相似中心的概念,建立新的比例边界坐标变换,并利用加权余量法将控制方程半弱化为关于径向坐标的二阶常微分方程,引入对偶变量,将其降为系数矩阵为Hamilton矩阵的一阶常微分方程。对Hamilton矩阵进行Schur分解,得到微分方程的通解,代入边值条件可得关于积分常数的代数方程。此方法将比例边界有限元扩展到偏心域的边值问题,同时在径向是半解析的,解的精度高;仅需要离散求解域的一个边界,数据量小;在计算中仅需要对Hamilton矩阵进行Schur分解以及求解关于积分常数的代数方程,运算量少。将偏心环形域静电场边值问题的算例与解析解或其他数值方法计算结果的比较,表明此方法具有精度高、数据量小及运算量小的优点。     

导数场边界积分方程分析近边界应力分布

研究二维弹性力学问题边界积分方程,通过分部积分变换消除了常规导数边界积分方程中的超奇异积分,获得仅含强奇异积分的应力自然边界积分方程.对于近边界应力的计算,进一步运用正则化算法解析计算其中的几乎强奇异积分.较常规边界元法相比,应力自然边界积分方程可以求解离边界更加接近的内点应力值.算例证明了文中方法的可应用性和有效性.     

三维势流场的比例边界有限元求解方法

比例边界有限元法(SBFEM)是线性偏微分方程的一种新的数值求解方法。该方法只对计算域边界利用Galerkin方法进行数值离散,相对于有限元方法(FEM)减少了一个空间坐标的维数,而在减少的空间坐标方向利用解析方法进行求解;相对于边界元法(BEM),比例边界有限元方法不需要基本解,避免了奇异积分的计算,所以它结合了有限元和边界元方法的优点。本文建立了利用比例边界有限元法求解三维Laplace方程的数值模型并用于计算三维物体周围的水流场,将计算结果与解析解和边界元方法进行了对比,结果表明此方法可以很好地模拟水流场,且具有较高的计算精度。     

裂纹面受荷载作用的应力强度因子的计算

基于比例边界有限元法计算了裂纹面有荷载作用情况下裂纹尖端的应力强度因子,给出了有限介质裂纹面作用荷载的比例边界有限元方程的基本求解过程.对于随径向坐标任意变化的一类面荷载的积分能够显式计算,不需要引入额外的近似;并将计算结果与解析解和数值结果进行对比,结果表明比例边界有限元法在计算裂纹面作用荷载时的应力强度因子是有效且精确的.此外,该方法可方便地处理各向异性材料裂纹问题,本文给出了正交各向异性矩形盘裂纹面受均布荷载情况的应力强度因子.     

CRACK FACE CONTACT PROBLEM ANALYSIS USING THE SCALED BOUNDARY FINITE ELEMENT METHOD

比例边界有限元侧面上有任意荷载时,将侧面载荷分解成关于径向方向局部坐标的多项式函数的和,推导给出了考虑侧面载荷存在的新型形函数,并基于该形函数推导了刚度矩阵和等效节点载荷列阵.首次对比例边界有限元法求解裂纹面接触问题进行了研究,运用Lagrange乘子引入接触界面约束条件,推导给出了比例边界有限元求解裂纹面接触问题的控制方程.将裂纹面单元分为非裂尖单元和含有侧面的裂尖单元.在非裂尖单元中的裂纹面,裂纹面作为多边形单元的边界,边界上的接触力可等效到节点上,通过在节点上构造Lagrange乘子,采用点对点接触约束进行处理.对于含有侧面的裂尖单元,在整个侧面上构造Lagrange乘子的插值场,采用边对边接触约束进行处理.对三个不同的接触约束状态下的算例进行了数值计算,通过与解析解及有限元软件ABAQUS计算结果的对比,验证了本文提出的比例边界有限元点对点和边对边接触求解裂纹面接触问题的精确性与有效性.     

Application of scaled boundary finite element method in static and dynamic fracture problems

The scaled boundary finite element method (SBFEM) is a recently developed numerical method combining advantages of both finite element methods (FEM) and boundary element methods (BEM) and with its own special features as well. One of the most prominent advantages is its capability of calculating stress intensity factors (SIFs) directly from the stress solutions whose singularities at crack tips are analytically represented. This advantage is taken in this study to model static and dynamic fracture problems. For static problems, a remeshing algorithm as simple as used in the BEM is developed while retaining the generality and flexibility of the FEM. Fully-automatic modelling of the mixed-mode crack propagation is then realised by combining the remeshing algorithm with a propagation criterion. For dynamic fracture problems, a newly developed series-increasing solution to the SBFEM governing equations in the frequency domain is applied to calculate dynamic SIFs. Three plane problems are modelled. The numerical results show that the SBFEM can accurately predict static and dynamic SIFs, cracking paths and load-displacement curves, using only a fraction of degrees of freedom generally needed by the traditional finite element methods.The project supported by the National Natural Science Foundation of China (50579081) and the Australian Research Council (DP0452681)The English text was polished by Keren Wang.     

波浪与外圆弧开孔壁双圆筒柱的相互作用

应用比例边界有限元法(SBFEM)研究了短峰波与圆筒外接圆弧开孔结构物的相互作用. 求解时将外接圆弧延伸构建一个虚拟圆, 该圆的孔隙影响系数可由矩阵G_0统一进行表达. 整个流场可划分成一个有限域和一个无限域. SBFEM只需对虚拟圆边界进行离散, 使空间维数降低一阶, 在圆的半径方向保持解析, 并且无限域处的辐射边界条件能自动满足. 利用变分原理推导SBFEM方程, 有限域和无限域分别采用贝塞尔函数和汉克尔函数作为基函数来求得对应域的解. 将计算结果与解析解和其他数值方法进行了比较, 验证了该方法是一种用很少单元便能得到精确结果的高效算法. 进一步研究了诸如短峰波波向、结构的几何、材料参数等因素对结构所受波浪载荷及绕射波轮廓的影响, 并进行了分析.      

多层波导中矢量波动的时域人工边界条件

本文提出了一种近似的时域人工边界条件(artificial boundary condition, ABC)用来模拟含有瑞利阻尼的线弹性多层波导平面内的矢量波动,该ABC是时域稳定的, 且能与有限元法无缝耦合. 建立ABC的思路是,首先将多层波导的矢量波动方程简化为$x$方向和$y$方向解耦的两个标量波动方程;其次基于比例边界有限元法得到无限域$x$方向和$y$方向模态空间下半离散的频域动力刚度,再用矩阵连分式近似表示$x$方向和$y$方向的频域动力刚度;最后通过辅助变量技术将连分式时域化,从而分别得到人工边界上$x$方向和$y$方向的时域ABC.方法中影响计算精度和计算效率的参数有无限域的模态数$n$、连分式阶数$J$和人工边界远离兴趣域的距离$L$. 数值算例表明,仅需将被载荷激起的无限域的模态数$n$参与计算, 一般可以取$J$=3,$L$的取值基本与地下结构尺寸无关, 它与土层的总层高$H$成正比关系,关系系数与土层的材料参数有关.      

Three-dimensional analysis of transient thermal stresses in functionally graded plates

An analytical solution is presented for three-dimensional thermomechanical deformations of a simply supported functionally graded (FG) rectangular plate subjected to time-dependent thermal loads on its top and/or bottom surfaces. Material properties are taken to be analytical functions of the thickness coordinate. The uncoupled quasi-static linear thermoelasticity theory is adopted in which the change in temperature, if any, due to deformations is neglected. A temperature function that identically satisfies thermal boundary conditions at the edges and the Laplace transformation technique are used to reduce equations governing the transient heat conduction to an ordinary differential equation (ODE) in the thickness coordinate which is solved by the power series method. Next, the elasticity problem for the simply supported plate for each instantaneous temperature distribution is analyzed by using displacement functions that identically satisfy boundary conditions at the edges. The resulting coupled ODEs with variable coefficients are also solved by the power series method. The analytical solution is applicable to a plate of arbitrary thickness. Results are given for two-constituent metal-ceramic FG rectangular plates with a power-law through-the-thickness variation of the volume fraction of the constituents. The effective elastic moduli at a point are determined by either the Mori–Tanaka or the self-consistent scheme. The transient temperature, displacements, and thermal stresses at several critical locations are presented for plates subjected to either time-dependent temperature or heat flux prescribed on the top surface. Results are also given for various volume fractions of the two constituents, volume fraction profiles and the two homogenization schemes.     

短峰波与双层开孔圆筒柱相互作用的数值分析

应用比例边界有限元法（SBFEM）研究了短峰波与双层开孔圆筒柱相互作用。该方法将整个计算域划分成两个有限子域和1个无限子域,利用SBFEM使空间维数降低一阶,并在降维方向保持解析的特点,只需对求解域外圆柱边界进行离散。通过比例坐标与直角坐标之间的转换,并利用变分原理推导了各个子域的SBFEM方程。然后,SBFEM针对有限域和无限域分别采用贝塞尔函数和汉克尔函数作为基函数来求解对应域的解,并将计算结果与解析解进行比较,验证了该方法是一种用很少单元便能得到精确结果的高效方法。进一步研究了诸如相对波数ka、内外柱半径比a/b和内外壁孔隙影响系数G等对双层开孔圆筒柱结构所受波浪荷载、结构内外侧波浪爬升及绕射波轮廓的影响。为双层开孔圆筒柱水动力分析和结构设计提供了有价值的参考。     

2D dynamic analysis of cracks and interface cracks in piezoelectric composites using the SBFEM

The dynamic stress and electric displacement intensity factors of impermeable cracks in homogeneous piezoelectric materials and interface cracks in piezoelectric bimaterials are evaluated by extending the scaled boundary finite element method (SBFEM). In this method, a piezoelectric plate is divided into polygons. Each polygon is treated as a scaled boundary finite element subdomain. Only the boundaries of the subdomains need to be discretized with line elements. The dynamic properties of a subdomain are represented by the high order stiffness and mass matrices obtained from a continued fraction solution, which is able to represent the high frequency response with only 3–4 terms per wavelength. The semi-analytical solutions model singular stress and electric displacement fields in the vicinity of crack tips accurately and efficiently. The dynamic stress and electric displacement intensity factors are evaluated directly from the scaled boundary finite element solutions. No asymptotic solution, local mesh refinement or other special treatments around a crack tip are required. Numerical examples are presented to verify the proposed technique with the analytical solutions and the results from the literature. The present results highlight the accuracy, simplicity and efficiency of the proposed technique.