工程结构优化设计的一个途径——序列二次规划SQP

本文在以前工作的基础上,建议一个途径,供工程结构设计的截面优化和几何优化之用。这个途径的基本思想是把非线性规划化为一系列二次规划来求解。与过去常用的序列线性规划(SLP)相比,它比较适应于非线性程度高的工程结构优化问题。根据问题的性质,可以用不同的方式建立二次规划,这里将介绍我们已实践过的四种数学模型,收敛都相当稳定而且迅速。二次规划有成熟的算法,计算工作量虽比线性规划略大,但因整个优化过程的迭代次数可以减少,总的计算工作量并不大。序列二次规划法在工程结构优化领域中是一个有待进一步发展的途径。     

工程结构优化设计的一个途径——序列二次规划SQP

本文在以前工作的基础上,建议一个途径,供工程结构设计的截面优化和几何优化之用。这个途径的基本思想是把非线性规划化为一系列二次规划来求解。与过去常用的序列线性规划(SLP)相比,它比较适应于非线性程度高的工程结构优化问题。根据问题的性质,可以用不同的方式建立二次规划,这里将介绍我们已实践过的四种数学模型,收敛都相当稳定而且迅速。二次规划有成熟的算法,计算工作量虽比线性规划略大,但因整个优化过程的迭代次数可以减少,总的计算工作置并不大。序列二次规划法在工程结构优化领域中是一个有待进一步发展的途径。     

广义几何规划二阶缩并的原算法及其在结构优化中的应用*

本文采用函数单项高阶展式,将广义几何规划原问题在log-log意义下化为序列二次规划求解,得到广义几何规划的GGP-LOG-SQP算法,在Cromemco微型机上予以实现,并用此求解了一些结构优化中的广义几何规划问题,文中给出了一些算例。     

多层刚架的抗震优化设计

1.引言 结构抗震优化设计的困难在于大部分约束条件都是设计变量的非线性隐函数,在用数学规划法优化时常需求隐式约束的动力灵敏度。如何克服这一难点,是人们研究动力优化的重点之一,迄今尚未很好地解决。 本文用序列二次规划研究了弯剪型多层刚架的抗震优化设计,较好地解决了上述问题。对于应力约束,用Taylor展开,取一阶项,对于位移约束,用图乘法把相对位移化为线性显式,从而避免了求算非线性隐式约束的动力灵敏度。把原变量的序列二次规划化为以Lagrange乘子为变量的线性互补问题,用Lemke方法求解。算例表明,结果是合理的,本文的方法是有效的。     

连续体结构屈曲约束的ICM方法拓扑优化

基于ICM(独立、连续、映射)方法解决具有屈曲约束的连续体拓扑优化问题。建立以结构重量为目标,以屈曲临界力为约束的拓扑优化模型;采用独立的连续拓扑变量,借助泰勒展式将目标函数作二阶近似展开;借助瑞利商、泰勒展式、过滤函数将约束化为近似显函数,避免了灵敏度的计算;将优化模型转化为对偶规划,并利用序列二次规划求解,减少了设计变量的数目,缩小了模型的求解规模。给出三个算例,结果表明:该方法可有效地解决屈曲约束的连续体拓扑优化问题,能够得到合理的拓扑结构,并有较高的计算效率。     

多约束作用下连续体结构的拓扑优化

基于ICM(独立、连续、映射)方法建立了以结构重量最小为目标,以屈曲临界力、位移及应力三种约束同时作用的连续体拓扑优化模型:采用独立的连续拓扑变量,借助泰勒展式、过滤函数将目标函数作二阶近似展开。借助瑞利商、泰勒展式、过滤函数将屈曲约束化为近似显函数,借助于过滤函数,将位移约束用莫尔定理显式化;将应力这种局部性约束采用全局化策略进行处理,即借助第四强度理论、过滤函数将应力局部性约束转化为应变能约束,大大减少了灵敏度分析的计算量;将优化模型转化为对偶规划,减少了设计变量的数目,并利用序列二次规划求解,缩小了模型的求解规模。数值算例表明,ICM方法在解决屈曲、位移及应力三种约束共同作用的连续体拓扑优化问题上有优势。     

广义几何规划的完全二阶原算法

对于广义几何规划问题,对目标函数和约束函数皆采用二阶缩并,化为对数变量空间中的约束二次的二次规划,采用文[7]的广义二次规划解法求解之。算法收敛快而稳定。     

K-S函数集成局部性能约束的结构拓扑优化二阶逼近解法

应用K-S (Kreisselmeier–Steinhauser)函数,对结构拓扑优化问题中的局部性能如应力、疲劳寿命等进行集成然后求解。首先针对互逆规划的单目标多约束模型（称为s方模型）及多目标单约束模型（称为m方模型）,应用结构拓扑优化ICM方法,分别建立了基于K-S函数集成处理的优化模型,推导了集成化的约束（对s方模型）或目标（对m方模型）函数的一阶及二阶导数,采用序列二次规划模型对所建立的优化模型进行迭代求解,依据K-T条件给出了二次规划模型的迭代求解公式。然后基于K-S函数阐述了s方模型的集成迭代解法,亦即集成方法。最后,阐述了基于K-S函数的s方模型和m方模型交替融合的迭代解法,亦即集成-集成方法。结果表明集成-集成方法比单纯的集成方法收敛更快。     

频率约束板结构拓扑优化

本文利用ICM（独立、连续、映射）方法建立了频率约束下平板结构重量最轻的拓扑优化模型。采用指数函数作为单元重量、单元质量及单元刚度的过滤函数。通过瑞利商对刚度过滤函数倒变量的泰勒一阶展式,将频率约束近似显式化。利用对偶理论将含有大量设计变量的约束优化模型转化为易于求解的少设计变量拟无约束优化模型,通过序列二次规划将转化模型进行求解,提高了求解的效率。本文选择MSC.Patran&Nastran软件及PCL二次开发语言构架了平板结构频率约束拓扑优化问题的软件。数值算例表明：本文的方法具有迭代稳定性和收敛高效性。     

应力和位移约束下的板壳结构截面优化

将准则法和数学规划法相结合，根据满应力准则将应力约束化为动态下限，借助单位虚载荷法将位移约束转化为设计变量的近似显函数，建立了满足应力和位移约束的优化模型. 为了解决多变量的大型优化问题，根据对偶理论将上千设计变量的优化模型转化为几个变量的对偶模型，并通过二次规划求解. 以MSC/Nastran软件为结构分析的求解器，借助MSC/Patran软件为开发平台，完成了板壳结构截面优化程序. 程序完全和Patran及Nastran融为一体，在Patran中建立模型，利用Nastran分析计算，根据优化结果对设计变量调整，再用Nastran进行结构重分析，反复迭代直到结构重量收敛. 算例表明程序的合理性和有效性，能够满足工程设计的需要.     

求解一类可分离凸规划的对偶显式模型DP-EM方法

推导对偶目标函数的精确显式表达式,可选用更多成熟高效的求解方法,从而进一步提高了非线性规划对偶理论求解结构拓扑优化问题的效率.研究工作来源于非线性凸规划同其对偶规划的间隙为零,可以等价转化为对偶问题求解,通常可以大大地缩小问题的规模,可是二者不具有显式关系却影响了对偶解法的应用.所幸的是,结构优化当中一大类问题包括连续体结构拓扑优化问题,不仅具有凸性,而且具有变量可分离性,于是原变量和对偶变量之间有了显式关系,因此,对偶解法成了38年来被应用的有效方法之一.然而长期以来,对偶问题的目标函数并不是显式,这缘于含参数的极小化问题导致目标函数为隐式表达,常见的显式化方法是进行二阶近似.本文突破了对偶问题难以显式化只能采用近似显式的定势,将我们提出的"对偶规划-显式模型"(DP-EM)方法应用于连续体结构拓扑优化,并与对偶序列二次规划(DSQP)算法及移动渐近线(MMA)算法为求解器的方法进行计算效率对比,结果显示:(1)MMA算法比DP-EM算法和DSQP算法的外部迭代次数均多;(2)DP-EM算法与DSQP算法外循环次数相同,而内循环数显著减少.说明了DP-EM算法具有显式对偶函数的优势.     

化可分离凸规划为对偶规划显式模型的普适解法研究比较

文章旨在提升对偶规划显式模型(dual programming-explicit model, DP-EM)的建模和求解的境界. DPEM模型从一类变量可分离凸规划的特点出发,突破了对偶目标二阶采用近似的定势,推导得出显式的对偶目标函数;应用于ICM方法求解连续体结构拓扑优化问题时,其求解效率比对偶序列二次规划方法 (DSQP)和可移动渐近线方法 (MMA)求解效率更高.文章进一步把常见的一类显式模型抽象为普适的可分离凸规划列式,在需要满足的一些条件下,转换为DP-EM模型,并且提出4种处理方法:(1)对偶变量迭代逼近法;(2)指数函数形式的解法;(3)幂函数形式的解法;(4)基于变换的精确解法.为了进行数值验证,做了广泛的计算,限于篇幅,文章列出了5个具有代表性的算例,除了算例1属于纯数学问题,其余4个算例皆基于ICM方法,分别对于位移、应力、疲劳等约束和破损-安全的连续体结构拓扑优化问题,基于所提出的方法进行建模和求解,都显示了所提出方法的普适性及更高的求解效率.工作的意义在于:(1)深度方面,加深了结构优化对偶解法的研究;(2)广度方面,对数学规划对偶理论的发展做出了新的贡献.     

基于可靠性的桁架结构拓扑优化设计

建立了以杆截面为设计变量、结构重量极小化为目标、具有位移、应力等性态可靠性约束的桁架结构拓扑优化设计数学模型．通过引入可靠性安全系数，并利用结构力学的三个基本方程，将结构的位移和杆件应力可靠性约束等价显示化为设计变量的线性函数，使原基于可靠性的优化模型转化为常规的序列线性规划问题，利用修正的单纯形法求解．算例表明文中提出的方法既简单又有效．     

对偶法求解应力与位移约束不同显式的优化模型

基于响应面法,通过内力将应力约束显式化为正变量的一阶近似,位移约束采用倒变量一阶近似,建立以桁架结构重量最小为目标的截面优化模型,采用对偶规划理论转化为拟无约束模型,采用序列二次规划算法求解。此方法同应力约束零阶近似和一阶近似(使用响应面方法显式化)等方法进行了算例比较,表明本文的优化模型有较好的求解效率。     

桁架结构非概率可靠性形状优化设计

采用区间变量描述不确定参数,提出一种桁架结构非概率可靠性形状优化方法。建立了以截面尺寸和节点坐标为设计变量,以结构重量为目标函数,具有非概率可靠性指标约束的桁架结构形状优化数学模型。采用量纲归一化对截面尺寸和节点坐标进行了变量统一;运用均值点法对功能函数进行泰勒线性近似求解得到相应的非概率可靠性指标,并采用序列二次规划算法对优化模型进行求解。三个算例分析结果表明,算例均能快速稳定地收敛到最优解,结果符合工程结构设计经验,验证了本文所提方法的准确性和有效性。     

结构优化设计的若干进展

过去30年电子计算机的迅速发展,大大促进了所有工程学科进行设计优化的进展。特别是求解连续介质力学问题的有限元法的出现,大大促进了结构优化设计的发展。1960年Schmit首先提出了用数学规划方法求解多种载荷情况下弹性结构设计的数学表达,开始了结构优化(或称结构综合)的新时代。在这个表达式中,结构优化设计成为在诸如应力、位移、频率等性态函数约束下的“n”维设计变量空间中目标函数的数学极值问      

面向应力约束的独立连续映射方法

大多数已有的拓扑优化研究为系统刚度最大化设计,尤其以体积比约束下的静态柔顺度最小化问题为典型.从工程角度出发,结构强度设计至关重要.以往的应力研究表明,应力约束拓扑优化存在着奇异性、约束数目庞大、高度非线性特性等诸多数值困难.为了实现应力约束下的拓扑优化设计,采用归一化p范数应力指标以减少单元应力约束数目.遵循独立连续映射建模方式,引入密度变量的倒变量函数作为设计变量.推导了应力约束函数和体积目标函数对设计变量的敏度,并基于一阶和二阶泰勒近似得到各自的显式表达式.通过构造的系列二次规划子问题,原拓扑优化问题采用序列二次规划算法高效求解.二维数值算例考察了结构刚度和强度设计结果的异同,以及不同应力约束上限值对应力约束拓扑优化结果的影响.通过提出方法与传统变密度法结果的比较,说明提出的独立连续映射方法在应力约束下具有可行性和有效性.优化结果也表明了考虑应力约束的连续体拓扑优化具有必要性.      

求解非线性规划的序列有理规划SRP方法

基于分子，分母皆线性的两点有理逼近，本文对于非线性规划提出了序列有理规划ＳＲＰ方法，按两种情况进行了研究。第一种为ＳＲＰ－Ｌ方法，将原问题化为等效的ＬＰ问题求解；第二种为ＳＲＰ－Ｑ方法，将原问题化为等效的ＱＰ问题求解。本文的工作说明，两点有理逼近函数对于进优化方法是有益的。     

求解非线性规划的序列有理规划SRP方法

基于分子、分母皆线性的两点有理逼近，本文对于非线性规划提出了序列有理规划ＳＲＰ方法，按两种情况进行了研究。第一种为ＳＲＰ－Ｌ方法，将原问题化为等效的ＬＰ问题求解；第二种为ＳＲＰ－Ｑ方法，将原问题化为等效的ＱＰ问题求解。本文的工作说明，两点有理逼近函数对于改进优化方法是有益的。     

基于可靠度的结构优化的序列近似规划算法

基于可靠度的优化的最直观解法是把可靠度和优化的各自算法搭配一起形成嵌套两层次迭代。为改善其收敛性提高计算效率,人们提出了功能测度法、半无限规划法、单层次算法等多种改进方法。本文对传统结构优化界的经典序列近似规划法改造并扩展应用于求解基于可靠度的结构优化问题,构造该问题的序列近似规划模型和求解过程;其核心思想是在每个近似规划子问题中采用近似可靠度指标对设计变量的线性近似,在优化迭代过程中同步更新设计变量和随机空间中的近似验算点坐标,以达到可靠度分析和优化迭代同步收敛的目标。为了算法的实施,还推导出近似可靠度指标的半解析灵敏度计算公式,编制了程序,最终实现与通用软件的连接。论文用算例证实算法的有效性。