Cauchy多边形数定理的一个简短证明

本文对下述事实给出一个简单的证明:每个自然数是m+2个m+2边形数之和. 设m≥1,一个m+2边形数是形如 Pm(k)=m/2(k2-k)+k,(k=0,1,2,…)的数.Fermat[3]断言:每一个自然数是m+2个m+2边形数之和.对于m=2,Lagrange[5]证明了每一个自然数是4个平方数P2(k)=k2之和.对于m=1,Gauss [4]证明了每一个自然数是3个三角数P1(k)=1/2(k2+k)之和,或等价的,每一个满足n≡3(mod 8)的正整数n都是3个奇数平方之和,Cauchy[1]对所有的m≥3证明了Fermat的断言,Legendre[6]进一步细化和推广了这一结果.对于m≥3且n≤120m,Pepin [8]给出了将n写成m+2个m+2边形数之和的显示表达的表,其中至少有m-2个取值于0或1.     

一个欧拉命题的简单证明

欧拉命题 如果n是不小于3的自然数,那么2~n=7x~2+y~2,其中x和y都是奇数。1 问题的分析。假设存在2个奇数x和y满足     

等差数列法构造双偶阶亲子幻方

1 前言 幻方为一著名组合算题,n阶幻方指1～n2个连续的自然数布满一个n×n的方阵,使每一行、每一列及主副对角线元素之和均等于(n3+n)/2(称"幻和").     

既约真分数的一个性质

文 [1 ]证明了奇分母既约真分数可表成互不相同的奇数分母的单位分数之和 .即 :设 0 <ｍ<ｎ ,(ｍ ,ｎ) =1 ,ｎ为奇数 ,则存在ｋ个互不相同的奇数ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｋ,使下列等式成立 :ｍｎ =1ｘ1 +1ｘ2 +… +1ｘｋ本文发现既约真分数的又一个性质 ,即 :任何既约真分数都可表成互不相同的偶数分母的单位分数之和 .它与文 [1 ]结果相映成趣 ,但比文 [1 ]的结论更完备 .我们先证如下命题为真 .命题　设ａ≥ 2是自然数 ,则任何小于 2 ａ·3的正整数都可以写成 2 ａ· 3的不同约数之和 ,且每个约数的质因数分解式中含 2的幂最多 (ａ- 1 )次 .证明…     

探索从尝试开始——例谈学生尝试能力的培养

1 由学生解答所引发的思考 引例 1求5n(n为自然数)被6除的余数. 书本提供的解答:按n的奇偶性讨论.当n为偶数时,设n=2m(m为自然数),则5n=52m=[(6-1)2]m=(62-2×6+1)m被6除余1;当n为奇数时,设n=2m+1(m为自然数),则5n=52m+1=52m×5=(62-2×6+1)m×5被6除余5.所以5n(n为自然数)被6除的余数为1或5.     

澄清一道错题

题目一个等差数列2n 1项,其奇数项之和为305,偶数项之和为276,则此数列第n 1为( ).     

关于正整数奇偶分拆数的计算问题

正整数n的分拆是指将正整数n表示成一个或多个正整数的无序和,设O(n,m)表示将正整数n分拆成m个奇数之和的分拆数;e(n,m)表示将正整数n分拆成m个偶数之和的分拆数.本文用初等方法给出了将O(n,m),e(n,m)分别化为有限个O(n,2),e(n,2)的和的计算公式,进而达到计算O(n,m),e(n,m)的值.同时,还讨论了将正整数n分拆成互不相同的奇数或偶数的分拆数的相应的递推计算方法.     

由一个小小的规律引发的联想

"包含2个奇数的自然数区间,其长度不大于5",这是一个显而易见却容易被人忽略的小规律,可是它却给出一种启示:包含2个被前N个素数P1,P2,……PN都不能整除的数的区间,其长度必有一个上限值.     

数学奥林匹克讲与练(28)

例题讲解2 1 7.以 Sn 表示前 n个质数之和 :S1=2 ,S2 =2 3=5 ,S3=2 3 5 =1 0 ,…求证 :对每个自然数 n,在 Sn 和 Sn 1之间必有一个完全平方数 .证明　因为任意两个奇质数之差不小于2 ,故我们只需证明下面更一般的命题 :“设数列 {an}满足 :a1=2 ,a2 =3,an 1- an ≥ 2(n =2     

倒序法求前n个自然数的平方和

关于求解前n个自然数平方和问题,至少已经有10多种方法了.其中,最经典的是利用n3－(n－1) 3求解.因为这种解法不但解题快速,更重要的是可以推广求解自然数方幂和.     

一个有趣猜想的证明

文[1 ] 提出了下述猜想 :若自然数n使 4n+ 1为质数 ,则有且只有n个不超过 2n的不同的自然数 :k1 ,k2 … ,kn(k′1 ,k′2 ,… ,k′n为相应的不超过 2n的剩余的n个不同的自然数 ) ,使∑ni=1cos2ki- 14n + 1 π=1 + 4n+ 14,∑ni=1cos2k′i- 14n+ 1 π =1 - 4n + 14.本文给出上述猜想的证明并且指出序列k1 ,k2 ,… ,kn 的特性 .记A={x∶x是模p的二次剩余 },B ={x∶x是模p的二次非剩余 }.引理 1　 ( [2 ])设奇素数p≡ 1 (mod4) ,则( 1 ) 1 ,2 ,… ,p- 1中有且只有p - 14个偶数为模p的二次剩余 ,p - 14个奇数为模p的二次剩余 ;( 2 ) 1 ,2 ,… ,p-…     

对一个学生的发现的探讨

我班学生刘晋发现了一个自然数的性质 ,举例如下 :92 - 32 =2 (4 5 6 7 8 9)- (9- 3) ,1 32 - 72 =2 (8 9 1 0 1 1 1 2 1 3)- (1 3- 7) ,1 0 0 2 - 572 =2 (58 59 … 1 0 0 )- (1 0 0 - 57) ,上面各等式中 ,前一个小括号内是连续自然数之和且这些自然数正好是等式左边被减数与减数之间的数 ,很明显 :对于 n,m∈ N且 n >m,则有 n2- m2 =2 [(m 1 ) (m 2 ) … n]- (n- m) .我非常惊奇这一发现 ,于是鼓励他继续探讨 ,n3- m3,n4 - m4 ,nk- mk是否也有类似性质 .由于该生没有得到满意结论 ,笔者亲自动手探讨 ,发现确有类似结论 .(1 ) n3…     

一道错题的分析

贵刊89年第10期“基础训练及解答”一文“练习五”中第1大题第16小题(选择题) “一个等差数列共2n+1项,其中奇数项之和为305,偶数项之和为276,则第n+1项为(     

对有理指数幂的一点讨论

文[1]、[2]对分数指数幂的定义域提出了两种截然不同的观点，究其原因在于对与当α＜0时之间关系的理解差异．本文将在这方面作进一步探讨，从而给出（m、n为自然数）的定义域．1根式与分数指数幂的关系根式与分数指数幂的关系为：其中m、n为自然数，n＞1．当n为偶数，m为奇数时，其它情形αR．（i）若n为奇数，则（ii）若n、m都为偶数，则（iii）若n为偶数，m为奇数，则此时a≥0，（1）式显然成立．利用（1）式及根式的性质可以定义底非负的正分数指数幂卜十一（sgn。）"X于一yi7i'－－－，并推出其性质．2底为实数的正有理指数幂定义定义…     

数学问题解答

736.试证:任何四个连续自然数之积不是平方数。证.设四个连续自然数是n-1,n,n+1,n     

幻圆的拓展

<正>将幻圆中填入的从1开始的自然数变为填入成等差数列的自然数(不包括0),可以证明拓展幻圆仍存在.这大大拓宽了可填入数字的范围,从而将更多的自然数通过幻圆内的若干个数字之和表现出来,增加数学的趣味性.所谓"幻圆"是指在由n个同心圆及其n条直径所分割成的2n~2个空格中(设定圆的半径成等差数列,直径等分圆),不重复地填入1、     

关于尼科马克猜想的两个推广

尼科马克(Nicomachus,约公元1世纪)是古希腊数学家,在数论研究方面有很深的造诣.他在其代表作<算术入门>中提出了一个猜想:"立方数相继等于奇数数列相应各数之和."这个猜想是说,如果把奇数数列1,3,…,(2n-1),…从第一项起按如下规律重新组成一个新的数列:1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,…,那么,新数列的每一项等于它所含的奇数个数的立方.     

二次方程“证明”费马大定理

还未证明费马大定理之前,先证明一个引理:对于自然数α,n,n≥2;α~n均能表示为α个连续奇数的和(用数学归纳法)。 (1)当n=2时,α~2=sub from i=1 to α(2i-1),引理成     

自然数幂求和公式的计算机实现

自然数幂的求和问题 ,一直受到人们的关注 .著名数学家陈景润对此就有过较好的研究 ,更多结果散见其他许多文献 .但都比较烦琐 .本文借助 Mathematica软件 ,利用高阶等差数列的一个结论 :m阶等差数列的充要条件是其前 n项和为 n的 m+ 1次多项式 .给出了一种求自然数幂前 n项和的一种简单方法 .利用此方法还可实现小于 m的自然数幂前 n项和的同时实现 .     

以“计算装置”为背景的数列综合题赏析

以“计算装置”为背景的数列综合题是一类典型的具有时代气息的信息迁移题 ,倍受各级各类命题者的青睐 ,频频出现在各级各类考试卷中 ,常处于“压轴题”的地位 ,充当“把关题”的重要角色 .这类问题极富思考性和挑战性 ,学生求解起来颇感困难 ,考试时经常弃而不答 ,令人惋惜 !下面采撷三道典型例题 ,并予以深刻剖析 ,供同学们欣赏 .例 1　一计算装置有一数据入口A和一个运算结果的出口B ,并且 :①从A口输入 1时 ,从B口得到 13;②从A口输入自然数n(n≥ 2 )时 ,在B口得到的结果是将前一结果 (n - 1时 )先乘以第n - 1个奇数 ,再除以第n + 1…