关于辛算法稳定性的若干注记

我们讨论辛算法的线性稳定性和非线性稳定性,从动力系统和计算的角度论述了研究辛算法的这两类稳定性问题的重要性,分析总结了相关重要结果.我们给出了解析方法的明确定义,证明了稳定函数是亚纯函数的解析辛方法是绝对线性稳定的.绝对线性稳定的辛方法既有解析方法（如Runge-Kutta辛方法）,也有非解析方法（如基于常数变易公式对线性部分进行指数积分而对非线性部分使用其它数值积分的方法）.我们特别回顾并讨论了R.I.McLachlan,S.K.Gray和S.Blanes,F.Casas,A.Murua等关于分裂算法的线性稳定性结果,如通过选取适当的稳定多项式函数构造具有最优线性稳定性的任意高阶分裂辛算法和高效共轭校正辛算法,这类经优化后的方法应用于诸如高振荡系统和波动方程等线性方程或者线性主导的弱非线性方程具有良好的数值稳定性.我们通过分析辛算法在保持椭圆平衡点的稳定性,能量面的指数长时间慢扩散和KAM不变环面的保持等三个方面阐述了辛算法的非线性稳定性,总结了相关已有结果.最后在向后误差分析基础上,基于一个自由度的非线性振子和同宿轨分析法讨论了辛算法的非线性稳定性,提出了一个新的非线性稳定性概念,目的是为辛算法提供一个实际可用的非线性稳定性判别法.     

无限时滞系统的稳定性

本文利用Lyapunov函数法建立了具有无限时滞变系数线性和非线性系统的稳定性判别准则其结果如下: 考虑无限时滞非线性系统     

具有缓变系数的线性时滞系统的稳定性

关于滞后型泛函微分方程的稳定性，本文给出了更一般的判别准则，推广了Ｐａзｙмихин的结果。并将所得结论用于考察具有缓变系数的线性时滞系统的稳定性，放宽了通常的对系统系数矩阵特征值的限制，给出了直接由系统右端系数计算的简明的稳定性判据。     

具有变量时滞的非线性中立型微分方程组的解的有界性和稳定性

<正> [1]曾对具有常量时滞的线性中立型微分方程组,给出了解的有界性的充分判别准则.[2]对于非线性中立型微分差分方程,建立了解的有界性的一般性判别定理.[3,4]利用 А.М.Ляпунов方法分别研究了一类线性的和非线性的中立型时滞系统的渐近稳定性.本文的目的是:借助于[5]、[1]的思想,利用“积分不等式”的方法,对于一般的具有变量时滞的非线性中立型微分方程组,建立解的有界性和渐近稳定性的充分判别定理,得到的结果改进和推广了上述两方面的研究.     

时滞线性和非线性系统的一致渐近稳定性

本文利用系数逼近法研究了时滞线性和非线性系统解的一致渐近稳定性,给出了一致渐近稳定性判别法则。     

行波的稳定性

文［１］引入一种扩充系统用来计算带Ｏ（２）对称性的非线性常微分方程的行波（或回转波）．本文证明，这些行波的稳定性由扩充系统的特征值来决定，其机理与通常的静态解的稳定性的判别相同．     

线性多时滞系统的稳定性分析

本文应用代数方法,提出关于判别含有多时滞线性时不变系统的零解稳定性的一些新结果.在系统的时间滞后未知的情形下,仍能找到相应的稳定性条件.     

Schrdinger特征值问题的Legendre-Galerkin-Chebyshev配置法

提出了求解多维的Schrodinger特征值问题的Legendre-Galerkin-Chebyshev配置法(LGCC).LGCC方法是Legendre-Galerkin方法和Chebyshev配置法的耦合,便于处理变系数和非线性项且保持了Legendre-Galerkin方法的稳定性和高精度.对于拟线性SchrodingerPoisson特征值问题,建立了基于同伦连续法的LGCC方法.数值结果显示了该方法的有效性.     

大系统渐近稳定的一般判别定理

利用分解集结和向量 V 函数判别大系统的稳定性是一个广泛采用的有效方法.但过去一般限于集结成常系数线性比较方程,判定的只是指数稳定.本文提出一个非线性比较方程的构造定理,推广了 Bailey 方法,并且进一步推广了作者的前期工作,判定了大系统的非指数稳定.     

基于Razumikhin-Type理论的中立型随机切换非线性系统的P阶矩稳定性与几乎必然稳定性

研究了中立型随机切换非线性系统的P阶矩稳定性与几乎必然稳定性.采用LyapunovRazumikhin方法和随机分析技术,建立了中立型随机切换非线性系统稳定性的判别准则,给出了中立型随机切换非线性系统稳定的充分条件.最后通过仿真算例表明了所得结果的有效性.     

非线性特征值的Brauer-型定位集

非线性特征值问题在阻尼结构动力分析,时滞系统稳定性分析,量子点的数值模拟和流固结构振动分析等领域有广泛应用,其特征值对于实际问题的解决至关重要.本文研究非线性特征值的定位问题,通过两行元素和加权技术得到了Brauer-型定位集及其简化形式,证明了其优于已有的结果,并应用其分析一类时滞系统的稳定性.     

算子方程近似解法的稳定性和收敛性

本文综述了算子方程近似解法的各种稳定性理论,它们分别适用于适定或不适定的线性问题和非线性问题,介绍了这些稳定性和收敛性的关系;还讨论了特征值和分歧点问题的数值方法。 算子方程近似解法的稳定性和收敛性是两个重要而又密切相关的问题.Courant,Frie-drichs,Lewy最早研究了差分格式的收效性.Neumann,Goldstine,Crank,Nicolson,Seeger,Richtmyer则提出了差分格式和一般算子方程近似解法的稳定性.近二十年来,Stetter,Keller和作者讨论了各种非线性稳定性.目前已有大量关于这一领域的专著,例如Forsythe,Wasow,Richtmyer,Morton,Stetter[16]和[17].     

离散大系统非线性比较方程的稳定性

用矢量李雅普诺夫函数解决大系统的稳定性问题必须要判断矢量比较方程的稳定性.对离散系统,过去只研究过线性驻定比较方程的稳定性.本文全面建立了离散非线性驻定比较方程的各种稳定性判别准则,其中渐近稳定的准则既是充分也是必要的,并由此推得了一个用于C₁类函数的准则,两者均可用来判断离散非线性(驻定或非驻定)系统的非指数稳定以至全局非指数稳定.所有准则均具有简单的代数形式,便于应用.     

非线性非定常系统在经常作用干扰下的稳定性定理——李雅普诺夫间接法

研究在经常作用干扰下的稳定性是研究李雅普诺夫意义下稳定性的深入和发展,并且更有实际意义,因为干扰往往并不是一次的.关于经常作用干扰下的稳定性,马尔金提出了一个一般定理;但实用它必须找出满足一定条件的李雅普诺夫函数.这对于非线性非定常系统是很困难的.本文根据李雅普诺夫间接法的原理,将之推广应用到判别非线性非定常系统在经常作用干扰下的稳定性,证明了一个重要结论.     

具双耦合振子的捕食者——食饵系统的稳定性分析

研究一类具双耦合振子的Lotka-Volterra捕食者—食饵系统的稳定性.通过利用将非线性系统线性化,分析双曲不动点的特征值的实部等方法,获得了系统稳定的一些充分条件.     

一类非线性系统的输出反馈控制及全局渐近稳定性研究

考虑不可测状态是非线性的非严格三角形非线性系统的全局渐近稳定性问题.提出了一种新的反馈控制设计方法,构造一个线性动态输出补偿器,并全局稳定所控制的非线性系统.     

2p和2q阶微分方程组正解的存在性

利用拓扑度乘积理论研究2p和2q阶非线性高阶微分方程组边值问题,通过相应的线性问题的第一特征值和拓扑度乘积理论建立了其正解的存在性定理,给出了利用特征值刻划的较为本质的结果,且突破了以往文献要求的方程组同阶和非线性项同是次线性或超线性的要求.     

迷人的最大特征对子（英文）

"主导特征对子"在不同场合有不同名称.在矩阵论中称为最大特征对子(最大特征值及其对应的特征向量).本文首先介绍计算矩阵最大特征对子的十分意外的新结果.主要贡献是选取一个熟知算法的高效初值.其想法来源于我们新近关于主导特征值估计的研究.第二部分里,我们介绍很幸运得到的关于主导特征值的统一估计.第三部分通过一个特别例子说明此项研究的源头.最后概述我们关于主导特征值估计和更一般的各种稳定性速度研究的漫长历程.     

基于LS算法的离散时间非线性系统自适应控制——可行性及局限性 *

关于离散时间系统的自适应控制,迄今为止,几乎所有的结果都是针对线性或近似线性系统的.当系统具有本质非线性动态时,特别当非线性部分不满足线性增长条件时,非平凡的理论结果很少.通过引入新的分析方法在这方面进行了一系列探索.特别对于典型的最小二乘(LS)型控制算法,发现并证明了非线性函数的增长指数8是闭环自适应系统全局稳定的临界点.     

2p和2q阶联立微分方程组的正解性

利用锥上不动点指数理论研究2p,2q阶非线性高阶常微分方程组边值问题,通过相应的线性问题的第一特征值,建立了其正解的存在性与多解性定理.讨论了其参数$\lambda,\mu$对其正解存在性与多解性的影响,给出了利用特征值刻划的较为本质的结果.突破了以往文献要求方程组同阶和非线性项单调,在零点或无穷远点超线性或次线性增长的限制.