数学奥林匹克问题选登

1991年8月号问题解答 (解答山问题提供人给出) 5.求函数f(d:,dZ,d:)=好十雌十心的最大值,其中‘:,‘:,d:满足下面递推关系式:x。二0,:。=::一己:,::==:2一d:,x:=x:一d:,x3=5,并且劣;,,,,心:,‘:,‘:》0. 解因为了(d:,dZ斌3)中的变数满足递推式,所以我们分段求它的最大值. 令f,(     

(|z_1±z_2|)~2=(|z_1|)~2 (|z_2|)~2±2×|z_1|×|z_2|×cos(θ_1-θ_2)的应用

关于复数模的性质有公式:“}:,士::}’-}::}2 {::}’士2义1:,}又};:}x eos(口,一口2)”(其中0:、0:分别是复数:L、::的幅角),而课本中根本没有提及这个公式,但如果能灵活运用此公式解有关问题‘,不仅能使解题过程简捷巧妙,而且对提高学生的解题能力有极大的帮助,现举例如下: 例l已知复数:,、::适合{:,!一3,}::}一 一19一中学数学(湖北)1993.4f5,}::一::}一7,求复数嚣一、 解’:}::l~3,1:2卜5,1::一:2卜7 。,3,。 一艺气获丽二丽刃厄气”解得代入公式有:7:=32 52一2X3X5又eos(0,一02):.。os(。:一口:)一告,‘,.,,,、.了落一州sln气U‘一UZ…     

复平面内正三角形的若干充要条件

本文以一道课本习题(即下面的引理)为依据,探讨复平面内正三角形的若干充要条件. 引理三个互不相等的复数:,、z:,介构成一正三角形顶点的充要条件是: 2;2 z:“ 之:“=之:2: 之:之: 之s之:(.) (证明从略) 定理1三个互不相等的复数:J、::、za构成一正三角形顶点的充要条件是: (之: 脚之: 拟“z:)(2: 拟z: 却名之:)=0,其中留=一之 全竺又i,以下均同. 2一2 证明,.’1 却 留忍二0,留s==1,故 (之: 侧之: 势22:)(忿i 留z: 脚“之:)=0专今〔0,一之:) 留(之:一之3)〕以之i一之:)一留(之:一之:)〕=0<片>留名(之:一2:)“ 留(之:一之。)(之:一之3)一(z:…     

一道几何证明题

下面是一道经过我们师生反复讨论而得到至少20种证法的几何题: 已知:在△ABC中,AF:FC=1:2,BE:EF=1:1,求证: BD:DC=1:3.     

用多项式的Lagrange公式求解某些数学竞赛题

复数域上的任何一个次数不超过。一1的多项式f(劝都可唯一的表示为f(:)=(:一二:)(x一劣:)(x:一禽2)(二:一劣。)…(z一z。…(x:一才,·f(x:)(二一二:)(2一劣3)…(二一二,)(毖:一劣:)(::一公。)…(::一x。)·f(二2)+·一(x一才.)(2一xZ)…(劣一公二一:)(劣。一x:)(劣一xZ)…(劣。一x。一:) (一) ‘:一3,f‘2,十杏‘一,,‘Z一2,f(3, 三:2+夕x+q·比较上式两边砂的系数,得专“‘,一‘(2)+合,(3)一1, ‘、合,f“,,+,“2,,+专,f‘3,,·f(:。其中::,劣2,…,x。互异. (一)式即为著名的Lagrange公式,(法人,1736一1813),它在多项式理论中所起的作用…     

略谈数学试题的和谐性

一九八五年安徽省成人高考文科数学试题的第五题为: 已知△ABC中A:B:C=2:3:4,AB:BC=3:2,AC=5,求△ABC的周长。 随试卷分发的评分标准中参考解答为:     

两类特殊二元一次方程组的解

二元一次方程组{(1)当a:、b:、a一x b.夕=cla:x bZ少=cZc:和a:、b:、(!忿;会;},。)c:分别成等差数列时,方程组的解是{(2)当a:、b:、劣=一1y二2c;和a:、bZ、。2分别成等比数列且公比分别为q:、q,时,方程组的解是{y=证明:(l)一q一qZq一 q:将方程组改写成a:‘ (a: d:)夕=a: Zd;aZ二 (a: dZ)夕=a: Zd:(I)(I)(a:b:一匕:d:斗。)(I)xa:一(I)xa:,得(a;d:一a,dZ)夕=2(a Zd:一a,dZ)(2) 夕=2代入(I)〔或(I)〕得x=一1.将方程组改写成.’.广“一1 、夕=2。X q lyx q:y=好=q量(I)(F)(g:一Q:车。)(l(一(F),得(g:一g;)少=g荃.’.y=q: qZ,代入(l)一…     

不等关系帮助解题(续完)

例8设·次多项式p(幻=已一才一,+勺犷一,+一十c.一衬一矿坛+b有.个正根,求这些根· 解设P(幻的:个根为幻,勺,”‘·, 则::,::,…,‘>0, 由韦达定理知:工:十介+…+‘=l :一忿,…劣一:十::公:…劣。+…十劣,::一二. 二(一l)一:二二兰全 a b 艺盆.公.‘一劣。=L一l)’— a 从而会+女+一+会一 (::十孔+.二+动(上十上十…+与一。: 了l考忿子. 但(一+一+…+二)(告+会+一+士,》一且等号成立当且仅当‘:=‘,=”‘~:’.少故:,二::二·一:.= 注人为地构造出符合某个已知不等式形式的等式,再利用已知不等式中等号成立的条件导出相等.这种手法技巧性强,…     

在三角中运用比例性质的解题思路

在三角中,一些与比例有关的问题,运用比例性质来解题非常方便,因为它目标明确,思路清楚,可以克服解题的盲目性,得到简捷的途径、这里略举数例说明。 (一)直接以比值为媒介来解题例1 在△ABC中,己知(sinB+sinC):(sinC+sinA):(sinA+sinB)=5:6:7求证:cosA:cosB:cosC=-4:11:14     

余半单Hopf代数的Frobenius性质

设k是特征为0的代数闭域,H为其上的余半单Hopf代数,本文证明了当H有型:l:1 m:p 1:q(其中p~2相似文献   

幽你一默

正贝卡听故事贝卡:我要听故事!乔乔:你要听长的还是短的?贝卡:长的。乔乔:有一只蚊子,嗡嗡嗡嗡……贝卡:我要听短的!乔乔:啪,死了。山东省青岛市一地浪花稀有动物乔乔:你知道南非有什么稀有动物吗?贝卡:有北极熊。乔乔:贝卡,在非洲是找不到北极熊的。贝卡:所以才说它是稀有动物啊!陕西省咸阳市三原县东关小学门昕乐     

法国初中数学课程纲要(附件1)

第三级(初中第一年) 1数:数集,两个整数的公因子,既约分数. 2 泰勒斯:泰勒斯定理及其逆定理. 3文字表达:分解,重要恒等式,乘积方程,不等式. 4角和多边形:内角与中心角,正多边形. 5平方根:正数的平方根,运算. 6三角:正弦,余弦和正切,三角关系. 7比例:线性函数,量值. 8数值分析:统计,概率. 9线性函数:定义,增长比例.     

Orbital stability of solitary waves for the Klein-Gordon-Zakharov equations

1.IntroductionInthetheoreticalinvestigationsofthedynamicsofstrongLangmuirturbulenceinplasmaphysics,varioustypesofZakharovequationstakeanimportantrole(see[3--8]).Intillspaper,weconsiderthefollowingKlein-Gordon-Zakharovequations:{:ti:::::;.;;:~"aiR,(11)withuacomplexfunctionandnarealfunction.Thelocalandglobalekistenceoftheinitialvalueproblemfor(1.l)wasconsideredin[4,6].Inthispaper,weconsidertheorbitalstabilityofthesolitarywavesof(1.l).Byapplyingtheabstracttheoryof[1,2]anddetailedspectralanalys…     

复数

一、选择肠1.设:为任一虚数,则((A)一要(B)擎(e)粤(o)琴 乙乙乙乙 (A){尸l、卜!2、:2互不相等 (B)卜2}=}:12并:2 (e)}扩{护}:}’=“, (D)!:,}=1:!2三:2 2.集合M~仁日;十l}二l,:任引,入二{:!】: 。}=}:一。},:任C},则M门.\’是()。 (A)(0,一2云}(B)哎0,2} (C){0,2落}(D){0,一2} 3.复数:,二l一2‘,:2~l 。,;3=一1 3。的辐角主值分别为0:,0:,03,则0,十0,十口3的值为()。 4.若。任万,且(: l)2.十(:一l)’一O,则;为()。 (A)恒为纯虚数(B)恒为实数 (C)任意复数(D)纯虚数或0 5.若:,与:,互为共扼虚数,则满足条件};一:.}2一1;一;2!’=}:,一;2}…     

一道习题的几何证法

很多中学数学参考书都收入了这样一道习题: “在△ABC中,若∠A:∠B:∠C:4:2:1, 求证:1/a+1/b=1/c。’对于此题,几乎所有的参考书都采用三角证法,有的以习题形式收入的还直接提示用正弦定理可证。     

怪味儿数学

乔乔:我发现了一种有趣的数学. 贝卡:什么有趣的数学? 乔乔:我叫它“怪味儿数学”! 贝卡:真有点儿稀奇,什么叫“怪味儿数学”呢? 乔乔:就是结果让你感到意外的数学. 贝卡:举个例子. 乔乔:一个30°的角,在10倍的放大镜下是多少度? 贝卡:扩大10倍,应该是300°吧! 乔乔:不对! 贝卡:为什么啊? 乔乔:在10倍的放大镜下,角的两条边是长了,但是两条边分开的大小并没有变化,所以这个角仍然是30°. 贝卡:噢,原来角是不能被放大的!这,真是有点怪味儿.     

一道全国高中联赛题的推广——兼谈构造一一映射解排列组合问题

89年全国高中数学联赛一试第二、5题是: “如果从数1,2,3,二,14中,按由小到大的顺序取出a,,a:,a,,使同时满足 a:一a:>3与a。一a:>3,那么所有符合上述要求的不同取法有___种.” 本题可用逐一列举的方法来解:当“:=1时,对应于a:=4,5,…,H,二。的取法相应有8,7,…,1种,共有8 7 6 … 1二36种,类似地,当a:=2时,有7十6十5 …十1“28种,一,当a:=8时,有1种.故总共有36 25 21 15 10 6 3 z二220种.但此法失之过繁,_巨不易推广. 现采用“构叠一一映射”的方法来解答本题: 解记题中符合条件的取法为a:a:a3.它们所构成的集合为A.注意到a:与a:之间至少间…     

猜物(相声)

甲 :我们一起来做一个游戏 .乙 :什么游戏 ?甲 :猜物游戏 .乙 :怎么猜 ?甲 :在木板上把二十五件小物品每五件放一行 ,共放五行 ,摆成一个正方形 .乙 :(把摆好物品的木板给甲看 )摆好了 .甲 :找一位观众上来 ,在木板上任指一件物品给你和观众看 ,你看后给我说一句话 ,我就能猜出观众所指的物品 .乙 :我给你说观众指的是哪件物品 ?甲 :不是 .乙 :那怎么说 ?甲 :你过来我小声教你 .乙 :(乙走到甲跟前 ,甲对乙耳语 ,乙频频点头 )知道了 .甲 :哪一位观众上台来指物 ?(确定一位指物观众 )乙 :(乙指甲 )请你背向木板 ,不准偷看 .甲 :(背向木板 ,用…     

证明不等式的“逐步调整法”

由k个数组成的数组::,x:,…,‘k,平均数。=令(二1十x名十…十轰、),各数与平均数口的差的平方和S二(x:一。)“+(x:一。)“+…‘(x、一a)“=砖+对+二‘成一ka“. 刘数组作如下调整:以x,、、:的平均数==S一(x萝十砖)十远之全犷 4娜些过工必 4义互+义z 2代粼,介,以=小迎言业x’i=s一住三卫运犷 2;S:=x,l‘2十:,z’2十二十:,x’’一去。“s,一电立兰逻 25一士〔(二:一:2)“+(x二一:二)忿〕,劣。(‘钾1,2),得到数组(1)x’l,式,一,八;依次类推,可得 S。二S一士〔(x,一x:)“+(x二一乙)2+…十再以,二、:沈平均数丛粤丝代换:;,;:,记 乙(二盖“一’)…     

有心二次曲线的一个性质及应用

本文向读者介绍一个有心二次曲线的切线的定理, 定理:如果有心二次曲线x“/a2土夕“/乙么=1两焦点F:(C,0)和F:(一C,0)到一直线Ax+B升+C=o的距离是d,和d:,那么这直线与这二次曲线相切的充要条件是:d:d:二西“。 下面仅给出椭圆的证明:如图,x里/4。+,么八。=1,试确定直线关于椭圆的位置关系. 解‘,=a名一b名=吐。一10=30, :.两焦点坐标为F,(了丽,。)、F:(一粼丽,0),则d ld:=13甲丽一幼1}一3矿示一201 32+2:,.’d= d:二」.之军么衬A“+B“!一Ac+C】护A“+B汤 .’.dld:=.!之红生叮} 扩A“+B“兴料全丫F:、F:在直线的同侧, ·’.dld:=西2…