问题与解答

一,本期问题 1.设a+夕=3;/4,tga=x.tg夕=万,且x、y为正格数,试求x、刀。:二(工一刀)(x一之)(Zx+夕+之)。解法二令,二xcoso,:二xsi,‘0x“一封3一之3=x3(1一co:忍0一:i,、50)20一:i,:。8) ,;个2.试证11…(,卜1)个一一、x“(cos 20一‘05 30+51x名〔co:20(1一‘o‘0)卜万21‘55…56为一完全平方=x“〔(l一51‘,O)(z一coso) (1一5 ino)〕20(1一sf:0)〕+(1一cos:0)则==求方程:inx“=:inx的最小正解设:为自然数,求和=x3(1一51:0)(1一eoso)(1+51,‘0+1+ co‘0)全+‘呈+…十心)+(c{十‘兰十…十‘孟)十一 34(c 。一一数sn+(‘盈:圣十c盆一生)+:盆.…     

智慧窗

一、巧求系数和 若(3尸+7厂+4厂一九一5)5·(3尸一 于4扩十7了一5)一a。+“,J+御xZ+…十“4。 求晰十a:+a、+一+内。的值. 河北乐亭一中(0 63600)搜立志提供 二、巧求值 定义在R上的函数、f(二)满足关系式 f(合+J,+f(合一)- 求f(音)+f(普)+f(普)+ _,7、 十J气一于) 0 的值. 浙江海盐县教研室(314300)沈顺友提供 (答案在本期找) 智慈窗《巧求系数和》参考答案 设f(二)一(3丫+7尹十4了一7二一5)5· (3x,一7J·3+4工2十7x一5) 一a。+al工十aZ尹十…+a;。尸“, 则f(x)二f(一x), :.f(x)为偶函数, al=a3=as=…~a39一0. a。+a:+a;+…+a;。二f(1)…     

二阶椭圆型方程组的一类斜微商问题

文〔1〕研究了形如02研aZo万’/、护研.十q 2 Lz/千万一卞qZ 0多一(z)dZ环022 ,、dZ砰,、dZ评+q“气z)石万可十q‘、之少二瘾百+、了2.研,到暨,夕竺、一。 、‘dZ一dz/ ,、d附.,、O评.,、d附.,、d『几=r,气之)-十r,又Z,—州~r,气之)—十rd又之)一-二=~ d名一”d之一’d之一d之 +S;(z)研+52‘的评十S。(习,Z任‘(1)10第五卷的二阶椭圆型方程组的斜微商问题,郎寻求在域G内满足方程(1)的广义解附(力任平尹(动,使它在‘的边界厂上适合条件O研,八,,、,八,.、,。一石一=r气不),r气艺少=rl气I夕十名r气丁夕,万匕1 O‘并建立了这一边值问题解…     

上期课外练习解答

高一年级1 .9(2004)一f[g(2003)]~f{f[g(2002)〕}一”‘一找宜比(“)〕} 2002个f一刀:j(2”。。3,} 2002个f一找,仁(2,2。。3,合〕} 2001个f~...一<=202003…((22,。。3)合)合…)令,卫一泊 一2 . 1 11.-.一.—二二二 2 22222003、-一一一幸一一一一 :002个合 ~22~4,2.设f(x)一a,(a>0,。笋1),g(x)~fogbx(b>0,b并1),由已知,得{ _7a“一10娜艺~二犷, 山。4一10904一15, {a=解得( lb- f(x)=Zx,g(x)=109;x. :.G(x)=3 109,2玄x 3一16109;x 一3(Zx十3)一xZ =18一(x一3)“簇18. 当x一3时,g(x)取得最大值为18.3.设第一行的数组成的等差数列的公差为…     

构造单调奇函数解一类竞赛题

1性质 设函数f(x)为单调的奇函数,若f(二、)十 f(二:)一0.则二!+二:一0. 证明:f(二,)十f(二:)一0冷了(x,)一 一f(二2)一f(一二:)”根据单调性,、、一一x:,二, +xZ~0. 2应用 下面利用这一性质速解一类竞赛题. 例l已知实数x、y满足(3二+y)5十扩+ 4二十y一o,求cos(4二+刃的值. 解由(3二+刃”十护+4x+y~o得(3x十 y)5+分十(3工+y)+x一0. 构造函数F(二)一扩+二,易证F(x)为尺 上的单调递增奇函数. 已知条件即为F(3x+妇十F(x)~。,故 (3了+y)+x~O,cos(4x十y)一1. 例2(1997年全国高中数学联赛题)设,、y 的单调递增奇函数, 由已知得F(二一l)十F(y一…     

最大值到底是几?

题　函数 f( x) =sin x sin 2 x sin 3x的 (　　 ) .( A)最大值是 3( B)最大值不小于 3 32( C)最大值是 3　　 ( D)最小值是 1这是汪江松先生主编的《新编高中数学重难点手册》(供高一年级用 ) ( 2 0 0 0年 1月第9次印刷 ) P1 1 5的第 1 ( 8)题 ,汪先生提供的解答是 :f ( π4 ) =sin π4 sin π2 sin3π4　 =1 2 >3 32 ,从而应选择 ( B) .学生和教师在做此题时 ,都不满足仅得出正确的选择答案 ,而是异口同声地问 :此题的最大值到底是几 ?面对此题 ,大家都束手无策 .经探讨发现 ,此问题已超出高中数学知识范围 .汪先生将此题编…     

问题征解

,叱写七口写云月巴舀七里‘云日巴‘七洲云理弓石月巨写七口弓七口S之绝写2岁 一、本期问题征解 编者按为满足广大初中读者要求,本栏从这一期起,增加初中内容的题目,希踊跃参加并给我们来稿. 1.设aZ+a+1=o,求证a’“吕“+a,””’+x=3. 2.设a,b,c都是整数,求证口+b+a“b“ec》(a bc)-万--一.a忿+bZ=7,‘2+dZ=1,ac+bd=0:求ab十cd之值.设 4.求证‘到垫睡巫兰燮丛竺竺亘巫匕业 了1983是整数.“ 5.设实系数二次式f(二)=二2+a二十b,求证: lj(z)1,!f(2)},If(3)I中至少有一个不小于冬 -一26.计算(1+tgl。)(一+tgZ’)…(1+tg44’). 薪春二中肖继…     

集合与函数(五题)

1.:eR,集合恤,一2x十2~0}的元素的个数为() (A)l个(B)2个(C)3个(D)0个 2.函数f(:)一2:一月二王的最大值为(^)2(B)l(e)0(D)不存在5.函数,(x)~(x俞)‘,“‘是个()(A)奇函数(B)偶函数(c)亦奇亦偶函数(D)非奇非偶函数4.函数,~3蚤十l的反函数是()(A)夕=2109:(劣十1)(c);=21姐去(‘+1) 5.方程(xZ一4)为()(B)夕~21083(x一1)(D),一告:。g、(·+,)·19(2一二2)=o解的个数(A)4个(B)2个(C)1个(D)无解附:本期“一望而答”答案 1.[望〕集合的元素是一元二次方程. 答:A 2.仁望」函数f(x)是(一oo,l]上的增函数,自变量的最大值1对应着函数的最大值2.…     

微分方程dy/dx=(ax~2+bxy+cy~2+ф(x,y))/(ex+fy+ф(x,y))(当ф=ψ=0时分子分母不可约分)在原点的邻域内的积分曲线的拓扑形状

牡势微分方程 dy_a沪+bx万+c沪十脚(x,万) d劣ex十f万+必(x,万)我俩毅势(犷,川及功(劣,川满足下列倏件 lim里业2卫2一=lim止丛三兰卫上=o 井洲‘},+!衅抓刹‘!+1纠微分方程(l)的筒化方程是 d万_a沪+bx对+c护 d劣e劣+fy而舆(i)等偎的微分方程粗是(l)l’)粤一。:+f,+州气妇〕a‘冬擎一。沪+bx,+。护+州,,,),!“艺(2)其特微行列式是 }e一几f}△=}卜侧“一劝=0 }0一又1故特微根是又,=e,又:=0. 按照李亚捕洛夫的稳定性理箫,赏e>0特由微分方程粗(2)所榷定的湮勤是不稳定的,而富召或O待莲勤的稳定性阴题简待莲一步分析.我们现在的工作是不满足敖野…     

巧用函数的奇偶性解题几例

,产.、一,资月召J偶性来解,翔不思用圈载田苛将会起到绝妙独特的效果例l解方程,加以说明..卫4.、现举几(l)(5之十3)3 x3 6之十3二0.、七 (2)抓二厄十别公干丁十3二一l=0. 解(1):将原方程改写为 〔(5: 3)3 (3x 3)〕=一(:3 :)① 设f(:)二x3 x,则①式化为f(sx 3)~一了(:). 显然,了     

上期课外练习参考解答

t .tV乙 f(x)十f(1一二)“丁-,一下;十丁二~一,下二二份, 一’2' -}}‘2'-*-}涯2’设S= f(一5)+f(一4)-}-".. + f(0)十…-I-f<5)-I-f6), S=f(6)十f<5)+"..-+ f(i)-f-…十f(一4) }-厂一5),cosA·cosB二3sinA·sing,沪攀2S -[f(6)-}f(一5>7-}[f(5)}-f(一4)]-h-".. + [fo)b-f(1>]-t-"..-f-[f(6)+f(一5)]一:2X}?_一6,/2,夔 S= 3派①的反例:P=[1,2],j(P)二[1,2],M=〔一2,一}], f相似文献   

含有三角函数的一个积分公式

定理:设f(x)在La,a十ZT〕上可积(T>0)甲(x)在〔a,a十T〕上可积,且满足条件:了(Za+一{f(t)己‘+2,一)一,(二)+,(二),贝。有{f(二)‘:- O}T{叫‘)dr{:‘T,“’“’证明:J了(·)‘一{:‘’,(·)‘·十{口+2个f(x)‘:.在右端第二个积分中,令‘=2a+ZT一‘,‘任〔a,a+TJ一则当:二a+T时,t=a+T;二二a+2少时,t=a;又由条件:f(2。+ZT一t)=一f(t)+p(t),因此{:‘’r了(·)‘一{:‘r,‘·,‘二 实用中验证函数满足条件f(Za+ZT一劝二一f(x)+中(x)井不困难,因为我们总可取p(x)二f(Za+ZT一:)+f仁).问题在于甲(:)是否容易积分.而当甲(:)为零,常数或…     

2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx~2 cx d,g(x)=ax~3 bx~2 cx d.方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根1)求d的值;2)若a=0,求c的取值范围;3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.原参考答案1)d=0解答略.2)c∈[0,4).解答略.3)由d=0,f(1)=0得b=-c,f(x)=bx2 cx=-cx(x-1).g(f(x))=f(x).[f2(x)-c f(x) c].由f(x)=0可以推得g(f(x))=0,知方程f(x)=0的根一定是方程g(f(x))=0的根.当c=0时,符合题意.当c≠0时,b≠0,方程f(x)=0的根不是f2(x)-c f(x) c=0的根.因此,根据题意方程f2(x)-c f(x) c…     

上期课外练习解答

高一年级夕一Zeos了一3sin了一瓜(一雀5 in二+ \丫IJ一甲不了sin(二+创,丁云cos了其中,an。一号·当:最大时,5 in‘二十,,一‘,二+,一借…t·nZ一(晋一。)一。一普·2.’:j(川~tanx中,x铸k二+要(k ez), 乙 且f(一川-一j(劝. tano=tan(2+3一5), tanZ十tan3+tan(一5)=tanZ·tan3·tan(一5), tans=tanZ+tan3+tanZ·tan3·tans.3.奇函数f(劝,二任(一二,0)U(0,+二). 又f(x)在(o,+二)上为减函数, f(x)在(一oo,0)上为减函数. f(3)一O二f(一3)-一f(3)一0. f(川<。的解集为{川一33}. N={m】f[g(夕)〕3}.…     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…     

有约束总极值的最优性条件

卜设f(对,g:(对,…,肠(x),l:(x),…,lr(x)是定义在,维欧氏空间有界闭区域‘上的连续函数.考虑下列有约束曹、极值问题: ’ min厂(x) 盆〔C并满足约束 ’_一.‘一‘狱 g、(x)《o,f“1,”’,p,x〔e,(1) l,(x)=0,夕=1,…,犷, 以前我们己经讨论过无约束条件的情形x,〔G是总极值点的充要条件(’“、〔’〕.当考虑有约束情形时,最优性条件有它的特殊性,本文将讨论此问题.记 G‘=丈x!g,(x)《0,x〔G},f=1,…,p, L丈={x!l,(x)>0,x〔G}, 厂=1,…,:,(2) L了一{万ll,(劝簇0,“赶‘卜一 ‘。一只‘f,五。一只‘五了门五犷’, S=L。nG。. H。={二{厂(…     

课外练习

商一年级一‘_、___。1 .9匕却二户U,y户U,且丁十万~求证:4x+y妻25.2.若关于二的方程sin”x+51。一a一O有实数解,实 数a的最大值为m,最小值为n,求砂.3.求证cosZ;十妥而盖乏不蕊,)9·商二年级1.现有一个按以l一口2,口3规律存在的无限集合A二咬al,a:,a3…).a,是关于+a,~0的一个根,a,自x的方程xZ一(a,十a:)x=aZ,al+a:+a:=且1 im(a.+a:+a:十+…)之值.…)存在,试求lim(a,+a:+a3肠卜亡人二2.求c抓一”+C沈+。的值.3.已知实数“,b满足“+b一2一。,实数。,d满足。,十 护一4c十4d一7,求k一}(a一。)+(b一d川的最小 值和最大值.商三年级1.如图示,复…     

问题与解答

(一)本期问题 1已知一个止整数M的四次幂等于某个5位数ABCDE,其中不同的子母不必代表不同的数码,且A+C十E二B+D,求正整数M. 2设a》,/8,求证方舀硕不丙万了‘丁而不万万东二+刁a一(a+,)/3一了J而蕊二万兀飞l 3已知一木无穷数列x,,xZ,劣,,…,x,,(x,年0)在。>3时,满足条件(川刁一心+.二十二茗一,)(心十嘴+.“+心),(x:x:+x:“3+…+二。一,x。)2.求证这无穷数列是等比数列. 大庆市二十八中李世君一提供 ;化简刁厄一干万百~. 5设f(,)是一个整系数多项式,且f(0)与j(l)都是奇数,则f(二)=。不能有整数根. 福建周宁四中叶润才提供 6证明(军1)(4/…     

函数迭代中的循环现象

一、从一道例.谈拐金一l 劣例l已知函数I(二)=公一l 劣对于,〔N,解:(l)丫了式:)一了〔了:(·)〕一了(宁)-劣一l 劣定义f:(‘)=I(二),j.(x)=了叶一,(x)〕,(l)求f一(二);(2)求证:f。(x)=fa(x). l1一公1991年第9期数学通报‘吕‘·,一‘〔‘2‘·,〕一‘仁、)-六一,一万一=劣1一2.’.f一(x)二f[f:(工)〕二f(x)即了;(x)二(2)由(l)可知f:(x)=z f。(:)二f!(:).‘.f。(x)=f〔f;(x)〕二f〔f,(x)〕二fZ(x).‘.fe(x)二f〔fs(x)〕=f〔fZ(x)j二f3(x).从例1的解题过程可以发现:f,(x)二f一(I)=…=fa。,,(x)=劣一l 劣人(x)二人(x)二f。(二)二f。(x)二一…     

一道数学开放题

题目已知:两函数f(x)=kx b(k≠1)和g(x)=x,数列{xn}当n≥2时满足xn=f(xn-1),且x1=α.由此可得出哪些结论? 本题参考答案 (1)函数f(x)=kx b(k≠1)和g(x)=x的图象有交点(b/1-k,b/1-k); (2)数列{xn}满足递推式xn-kxn-1=b; (3)数列{xn}的通项公式是: (4)数列{xn}前n项和: (5)当-1相似文献