面积法证平行线分线段成比例问题

我们知道平行线分线段成比例定理:"三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等",由它可以推导出三角形相似的判定定理.现行教材人教版九年级下册并未对它证明,但只在第41页有这么一句话:"经证明(这里从略)……",究竟怎样证明,同学们颇感为难和困惑.现用面积法给予证明,以作为对教材的补充.     

“证明从略”引发的思考

我在预习时看到平行线分线段成比例定理:“三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.”它后面的“证明从略”吊起了我的胃口.我想:“你证     

重视教材“探究活动”,专业自主增设课时——李庾南老师“平行线分线段成比例”课例赏析

最近,笔者有机会观摩学习了著名特级教师李庾南老师的一节“平行线分线段成比例定理”公开课教学,由于该课的教学内容在当前一些九年级数学教材中被弱化为一个“探究活动”,并且没有要求学生给出具体的证明过程,然后作为所谓的“基本事实”让学生可以直接使用,用于相似三角形的性质后续推证.然而,从几何学习的逻辑连贯、前后一致的高度出发,平行线分线段成比例定理作为一个单独的教学课时显然有着十分重要的价值,本文整理该课的教学流程,分享并赏析专家教学     

HPM视角下“三角形一边的平行线性质定理及推论”教学

笔者以问题串的形式,带领学生探讨平面几何中“三角形一边的平行线性质定理及推论”能否用“出入相补原理”证明.师生发现,一方面,“出入相补原理”可以从特殊到一般证明该定理,另一方面,《几何原本》命题1.43和VI.14可以看作由“出入相补原理”推导出的“容直容横原理”的一般情况,欧氏几何是用“面积比”证明该定理,“容直容横原理”是用积来解决,理论上两者异曲同工,但在计算技巧上,中国传统数学更胜一筹.     

“平行线分线段成比例定理”教法设想

初中《几何》第二册P13—15,对于“平行线分线段成比例定理”只是针对其中一条截线截三条平行线所得线段之比是特殊的几个有理数的情形进行了说理性的论证,而对无理数情形没有组出证明。教科书中这样处理本是考虑到学生的接受能力,殊不知。实践表明,这种作法使相当部分的学生误以为书上的说理就是该定理的证明,同时,相应的教参上也未给出     

相似三角形的方法和技巧

1.平行线是本章最活跃的"元素",而平行线分线段成比例定理及其推论是证明线段成比例的重要依据。充分利用平行线,或巧作平行线,可以把比例问题,化归为平行线分线段成比例的基本图形.     

对《巧添平行线证明三角形内角和定理》一文的补充

阅读贵刊2010年第4期(下)刊载的欧阳明珍同学的习作《巧添平行线证明三角形内角和定理》后,对欧阳明珍同学的钻研精神和创新能力表示赞赏,对利用平行线证明三角形内角和定理的作法有了更深入的了解,经认真研     

证明

在《证明》一章,我们学习了平行线的判定定理及性质定理、三角形内角和定理及推论,解决了一些简单的证明问题.证明是初中数学学习的重点也是难点·     

第八部分 成比例线段与相似形复习研究

【复习目标】 理解比与比例、线段的比与成比例线段、相似三角形与相似多边形等慨念;掌握比例的各条性质、平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质和判定定理以及相似三角形的判定和性质定理,并能熟练地运用这些定理进行比例变形、计算及一般的证明。     

三角形一边的平行线的判定(案例分析)

1　 案例“三角形一边的平行线的判定”(以下简称“判定”)定理 ,是在“平行线分线段成比例定理”(以下简称“前定理”)的基础上引出的 ,它完全是“旧知”的拓展和延申 .因此 ,宜采取以复习“旧知”为主线 ,展开对“判定”的教学 ,可简化对新知识的领会和接受过程 ,强化对知识结构的整体认识 .教学设想的要点为 :( 1 )用运动变化的观点来强化对“前定理”的认知采用举例的方法引入“前定理”.复习强化时向学生指出 ,可以作出多种符合“前定理”条件的图形来 ,其中最具典型性和代表性的就是下面的图 1、图 2和图 3了(2 )在“前定理”的图形中…     

谈平行概念——中学数学笔谈之一

谈平行概念——中学数学笔谈之一路见可（武汉大学数学系４３００７２）在初中平面几何教材中就已明确定义：“在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线”，那还有什么可谈的呢？且慢，我们来看下面这个定理：“如果两直线都和第三条直线平行，那么这两直线也互相平行...     

关于矩阵秩的一个定理

许多线性代数教材在处理“矩阵秩是矩阵中非零子式的最高阶数”的定理中,常用向量组线性相关、线性无关的知识来证明.本文我们尝试用矩阵分块乘法的方法来证明这个定理.     

面积关系在证明两直线平行中的运用

在平面几何中,证明两直线平行通常是运用平行线的有关判定定理,相似三角形或一些特殊图形的性质。如果从题设条件中不易发现这些关系,则可运用面积关系来考虑。为了说明它的应用,需引用“面积关系”中的两个重要结论:     

勾股定理的逆定理的几种证法

勾股定理及其逆定理在数学科技等方面都有着广泛的应用.对勾股定理的证明!现行初中教材已编排应用赵爽的“勾股方圆图注”和应用“直角三角形中成比例线段定理”等多种证法,但这个定理的逆定理的证明却极少论述,而且有关参数资料也未对此作出补充.为了填补教材的不足,现根据个人的教学实践,给出以下几种证法供参考. 勾股定理的逆定理:     

2010上海市中考数学压轴题解法与思考

2010年上海市中考数学第25题是一道以几何基础图形为素材的“压轴题”,主要是对等腰三角形、勾股定理、锐角三角比、三角形一边的平行线性质定理、垂径定理等知识点进行有机综合,通过三个相对独立的小问题,形成有一定梯度的综合应用题．     

“平行线分线段成比例定理”的导学设计——和谐提问的技巧

为行文方便 ,本文简称“平行线等分线段定理”为“引理”;简称“平行线分线段成比例定理”为“定理”.1　变更引理的叙述 ,为和谐地扩展开路 .图 1　　“引理”是在平行四边形和梯形的基础上提出的 .如图 1 ,直线 l1∥ l2 ∥l3,若 AB =BC,则DE =EF.T:你能换一种方式 ,重新叙述这个命题么 ?……T:AB =BC,就是 ABBC=1 .S1:可改叙成 :如图 1 ,直线 l1∥ l2 ∥ l3,则ABBC=DEEF=1 .这个定理给出了任意等分一条线段的方法 .因为它告诉我们 ,只要一组平行线在一条直线上能截得相等的线段 ,那么它们在其他的直线上也能截得相等的线段 .定…     

关于拉格朗日中值定理的证明

一般高等数学教材上,大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理,直接给出一个辅助函数,把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理,证明的关键是给出一个辅助函数.怎样构作这一辅助函数呢?我们来看:     

过三角形的顶点作对边的平行线

<正>在学习三角形的内角和定理时,如图1,过顶点A作BC的平行线MN,则有∠MAB=∠B,∠NAC=∠C,由于平角等于180°,从而∠MAB+∠BAC+∠CAN=180°.即∠B+∠A+∠C=180°.这条过△ABC的顶点A且平行于对边BC的辅助线,起到转移、集中的作用,非常简洁地证明课本中最重要的一个定理.从此以后,课本中再也没有添加如此的辅助线证明其它定理.我们采用此方法证明两个重要定理和解几个问题,展示它的力量.     

150"平行线分线段成比例定理"的导学设计--和谐提问的技巧

为行文方便,本文简称"平行线等分线段定理"为"引理";简称"平行线分线段成比例定理"为"定理".     

代数基本定理的一个新证明

§1.引言关于复数域的代数封闭性的定理(即通常所谓“代数基本定理”)自高斯开始已有了不少的证明;直到现在,尽管由于函数论和拓扑学的发展此定理所肯定的事实已变得十分明显,但数学家们对寻求新的证明仍未完全丧失与趣。如所周知,这一定理肯定任一复系数多项式均可在复数域上分解为线性因子的乘积.本文的目的是要给这个定理提供一个新的证明.在证明中将对多项式的次数作归纳法.证明所依据的都是分析和