柯西不等式的两个推论及应用

在中学数学中常遇到如下一个不等式:(n∑i=1xiyi)2≤(n∑i=1xi2)·(n∑i=1yi2),其中xi,yi为任意实数,且等号成立当且仅当xi=kyi(i=1,2,…,n),这就是著名的柯西不等式.推论1已知ai(i=1,2,…,n)是正数,xi∈R(i=1,2,…n)且n∑i=1ai=1,则n∑i=1aixi2≥(n∑i=1aixi)2.证∵ai∈R (i=1     

全矩阵环的一类基

设P是一个域,Fij(i,j=1,2,…,n)是全矩阵环Mn(P)中n2个n×n矩阵,且满足FijFkl=δjkFil(i,j,k,l=1,2,…,n),其中δij={1,i=j0,i≠j为Kronecker符号.则或者所有Fij(i,j=1,2,…,n)全为零,或者存在可逆矩阵T∈Mn(P),使得Fij=T-1EijT(i,j=1,2,…,n),其中Eij表示(i,j)位置是1,     

一个有趣的命题及其推论与应用

设X=(x1,x2,……,xk),记函数fi(X)=fi(x1,x2,…xk),又设f(X)为正值函数且其二阶偏导数连续(k≥2),其中i=1,2…n。将形如[(^n∑i=1)fi(X)]/n的函数称为fi(X)(i=1,2…,n)的均值函数;将^n√(^n∏i=1)fi(X)称为fi(X)(i=1,2…,n)的几何均值函数,由fi(X)(i=1,2…,n)的均值函数和fi(X)(i=1,2…,n)的几何均值函数可以得到均值不等式。     

五对角线性方程组求解的并行算法

引理。设 P_i=F_iF_(i-1)…F_1g,i=1,2,…,n,(16)其中F_i(i=1,2,…,n)为k阶矩阵,g为k维向量,则由(16)计算所有P_i(i=1,2,…,n),[T_klog_2(n+1)]步完成.所用处理机台数不超过[s_k(n+1)/2],这里T_k表     

布尼雅可夫斯基不等式的推广

定理:不等式 (sum from i=1 to m(a_(1i) a_(2i)…a_(ni)))~n≤≤sum from i=1 to m(a_(1i))~n sum from i=1 to m(a_(2i))~n…sum from i=1 to m(a_(ni))~n對於任意自然數n都成立,其中a_(ki)為正數(K=1,2,…,n,i=1,2,…,m). 證明: 設 A_K~n=sum from i=1 to m(a_(Ki))~n (K=1,2,…,n), x_(Ki)=a_(Ki)/A_K,(K=1,2,…,n i=1,2,…,m)則從n侗正數的幾何平均值小於或等於其算術平均值這個結果可得 x_(1i)x_(2i)…x_(ni)≤((x_(1i))~n+(x_(2i))~n+…+(x_(ni))~n)/n由此更推得a_(1i)a_(2i)…a_(ni)=A_1A_2…A_n(x_(1i)x_(2i)…x_(ni)≤     

多重线性关系模型的强相合估计

其中x_k(k=1,2,…,n)是m维非随机向量,真确地满足线性关系(1.1a),是不可观测的.ξ_k(k=1,2,…,n)是可观测的m维随机向量,其随机误差δ_k(k=1,2,…,n)是m维i.i.d随机向量,且满足     

一个不等式的推广

不等式1n∑i=n1aim≥(1n∑i=n1ai)m,其中m∈N ,ai>0,(i=1,2,…,n)可推广为:∑ni=1piaim≥(∑ni=1piai)m.(1)其中m≥1,ai>0,pi>0,(i=1,2,…,n)且∑ni=1pi=1,不等式1n∑i=n1aim≤(1n∑i=n1ai)m,其中00,(i=1,2,…,n)可推广为:∑ni=1piaim≤(∑ni=1piai)m.(2)其中0相似文献   

自由亚交换群的直积的检验元素

设Sri(i=1,2,…,n)为秩ri的自由亚交换群,G=Sr1×Sr2…×Srn为自由亚交换群的直积,本文证明了G有检验元素的充分必要条件为ri=2(i=1,2,…,n)．同时,还证明了g=(g1,g2,…,gn)为G的检验元素的充分必要条件是:gi∈S′2-1(i= 1,2,…,n),且{g1,g2,…,gn}为独立集．此外,我们给出了一类具体的检验元素．     

一个不等式链与一个连等式

本文拟出初等代数中一个新的不等式链,并获得一连等式。设a_1,a_2,…,a_n均是正实数,n≥2,且sum from i=1 to n a_i=n。记f(k)=1 a_k a_ka_(k 1) … a_ka_(k 1)·…·a_na_1·…·a_(k-2);f_i(k)表示和f(k)(自左至右)的第i个和项,i=1,2,…,n。令S_i=sum from i=1 to n (f_i(k)/f(k)),i=1,2,…,n, 则有不等式链     

常系数线性方程组的一种新解法

对于常系数线性微分方程组:dx/dt=Ax(A是n阶实常数矩阵)通过特征根λ和对应的特征行向量K:K~T(A-λE)=0将微分方程组化为线性方程组:1°当有n个互异的特征根λ_1,λ_2,…,λ_n,对应的线性无关的特征行向量为K_1,K_2,…,K_n,若记K_i=(k_1,k_2,…,k_n)(i=1,2,…,n),则有方程组:(n∑i=1 k_ix_i)′=λ_j(n∑i=1 k_ix_I)(j=1,2,…,n);2°当有不同的特征根λ_1,λ_2,…,λ_m其重数分别为n_1,n_2,…,n_m,n_1+n_2+…+n_m=n,对应的线性无关的特征行向量为K_i=(k_1,K_2,…,k_n)(i=1,2,…,m),则有方程组:(n∑i=1 k_rx_r)′=λ_k(n∑i=1 k_rx_r)((A-λ_jE)x_(n_i)=0;i=1),(n∑i=1 k_rx_r)′=λ_j(n∑i=1k_rx_r)+c_(n_i)e~(λ_jt)((A-λ_kE)x_(i-1)=Ex_i,i=2,…,n_i).     

关于m个相关回归方程系统回归系数的两步估计

一、前言 考虑m个回归方程系统如下yi=Xiβi εi(i=1,2,…,m),(1)其中在第i(i=1,2,…,m)个方程中,yi是n×1的随机观察值向量,Xi是秩为pi的n×pi阶矩阵,βi是pi×1的未知参数向量,而εi是n×1的误差向量。 惯常的方法是假定误差向量ε_1,ε_2,…,ε_m是互相独立地服从正态分布,其均值是E(εi)=0,方(协)差矩阵是D(εi)=σ_i~2I_n(i=1,2,…,m),这里I_n表示n阶单位阵,σ_i~2是未知参数。在这样的假定下,估计回归系数βi只须单从第i个方程求得其最小     

一类最优指派问题的动态规划解法

考虑一类指派问题 :欲把 m项工作指派 n个人去完成 ( m≥ n) ,要求每项工作只能由一个人来做 ,第 i个人可以同时做 bi 项工作 ,其中 bi( bi≥ 1)是待求的未知数 ,i=1,2 ,… ,n,满足 ni=1bi =m,假定已知第 i人做第 j项工作所用的时间 cij≥ 0 ,i=1,2 ,… ,n;j=1,2 ,… ,m。文中给出了求解上述问题最优指派 (即使总耗用时间最小 )的动态规划解法。     

巧用柯西不等式证不等式竞赛题

设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则(a12 a22 … a2n)(b12 b22 … b2n)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2(1)当且仅当且bi=λai(i=1,2,…,n)时,(1)式取等号.这就是著名的柯西不等式,它还有如下等价形式:设ai,bi>0(i=1,2,…,n),则a12b1 ab222 … ban2n>(ab11 ab22 …… abnn)2(2)当且仅当且ab11     

一个代数不等式的加强

近两年,在众多刊物上,载有不等式: multiply from i=1 to n(x_i+1/x_i)≥(λ/n+n/λ) (*)这里x_i∈R~+(i=1,2,…,n),x_1+x_2+…+x_n=λ≤n,仅当x_1=x_2=…=x_n时(*)式取等号。现在,我们给出(*)的一个加强: 定理设x_i∈R~+(i=1,2,…,n,n≥2),且sum from i=1 to n x_i=λ(常数)≤n,则 sum from i=1 to n(x_i+1/x_i)~(-1)≤n(λ/n+n/λ)~(-1) (1)当且仅当x_1=x_2+…=x_n时,(1)式中的等号成立。     

关于调和数的一个结论

设n是大于1的正常数,并且设n=pα11p2α2…ptαt,其中pi为素数,i=1,2,…,t,ω(n)表示n的不同素因子的个数,即ω(n)=t.若n的所有因子的倒数和为整数,即0≤∑ij≤αjj=1,2,…,t1p1i1pi22…ptit为整数,称n是调和数.证明了和调和数相关的一个结论.     

求解Nash均衡子问题的一个算法

n人有限博弈的混合策略组合（p1^*,…,pn^*)为Nash均衡,如果其中每一策略pi^*都是参与人i(i=1,2,…,n),对其它n-1个参与人策略组合（p1^*,…,pi 1^*,pi-1^*,…,pn^*)的最优反应,即存在n个概率向量p1^*,…,pn^*使得对i=1,2,…,n及任意k1维概率向量pi恒有vi(p1^*,…,pn^*…)小于vi(pi^*,…,pi-1^*,pi 1^*,…pn^*),其中vi为参与人i的支付函数,pi=(pil,…,piki)）为ki维概率向量,即满足条件,pij大于等于0,∑kij=1pij=1,ki是参与人i的策略空间中策略个数,i=1,2,…,n,由此,Nash均衡的求解可化为下列优化问题：求n个概率向量pi^*,…,pn^8,使得对i=1,2,…,n及任意ki维的概率向量pi满足maxxvi(P1^*,…,pi-1^*,pi,Pi 1^*,…,pn^*)=vi(P1^*,,…,Pn^*)。     

保Taylor联合谱的线性映射

设L(H),Lncom(H)分别是HilbertH上有界算子及n个两两交换的算子组的集合.设T∈Lncom(H),sp(T)表示Taylor联合谱,φi(i=1,2,…,n)是L(H)上满的线性映射且满足φi(Tl)φj(Tk)=φj(Tk)φi(Tl)当且仅当TlTk=TkTl,i,j=1,2,…,n.设T=(T1,T2,…,Tn)∈Lncom(H),φ=(φ1,φ2,…,φn),φ(T)=(φ1(T1),φ2(T2),…,φn(Tn)).文章证明了如果dimH<∞,对任意T=(T1,T2,…Tn)∈Lncom(H),sp(φ(T))=sp(T),则φi=φj,i,j=1,2,…,n.如果dimH=∞,T=(T1,T2,…Tn)∈Lncom(H),sp(φ(T))=sp(T),则φ是自同构或反自同构.     

一个不等式的逆向

文[1]证明了文[2]提出的一个猜想:说ai≥0,pi≥0,(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1,则n∑i=1piai≥n∏i=1aipi.本文将给出上述不等式的一个逆向不等式,从而得出一个不等式组.命题设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且p1 p2 … pn=1,则1∑ni=1piai≤n∏i=1aipi≤n∑i=1piai.证为了使命题证明     

一类最优指派问题的动态规划模型

考虑一类指派问题：欲指派m个人去做n项工作(m≥n)，要求每个人只做一项工作，第j项工作可以由b_j个人共同去做，其中，b_j(b_j≥1)是待求的未知数，j=1,2,…,n,满足．假定已知第i人做第j项工作的效益为c_ij≥0,i=1,2,…m;j=1,2,…,n.本文建立了求解上述问题最优指派（即使总的效益最大)的动态规划模型．     

坡上矩阵可逆的条件

坡S是一个元素满足条件s 1=1的交换半环．证明了坡S上n×n矩阵A可逆当且仅当∑k=1 n aik=1(i=1,2,…,n)且aikajk=0(i≠j,k=1,2,…,n)．在坡S中可定义补元,得到S上每一个可逆矩阵是一个置换矩阵当且仅当S不包含不同于0和1的有补元．