被积函数带有绝对值的积分方法

一、不定积分被积函数中含有绝对值的函数可表示为分段函数，故其原函数一般也为分段函数。但注意到原函数的连续性，特别是在分段点处的连续性，这是解决问题的关键。类型的积分求法如果人工）在其零点两侧不改变符号或无零点，容易将被积函数的绝对值去掉；如果人X）仅有一个零点X。，即当且仅当X—X。时，八x。）一0，且人x）在x二x。的两侧改变符号，不令F（X）为人X）的一个原函数，则注意到C，Q并非任意两个独立的常数川人X川的原函数在X—X。处连续，因此即G一ZF（X。）＋Q，将Q代人（1），则为所求的不定积分，当人X）有有…     

分段函数在分界点处求导及其常见错误分析

求分段函数在分界点处的导数,对于初学者是一个容易混淆的难点,经常出错.究其主要原因:一是对导数的概念理解得不透彻,二是搞不清连续与可导之间的关系,本文通过对一些典型例题的分析,简要说明分段函数不管在分界点处是否连续,其导函数都不可能简单地分段求导.     

关于连续分段函数不定积分的求法

对连续分段函数的不定积分进行比较深入的研究，通过构造例子，阐述连续分段函数不定积分的四种求法，即狭义上限函数法、广义上限函数法、方程（组）法和差分方程法．     

分段函数在分界点求导的一个方法

在求分段函数的导函数时,学生们往往借助其分界点的左右导函数的极限来讨论它在分界点的可导性.由于教材上没有相应的定理可依,学生常出一些错误.本文就此问题给予诠释.     

关于分段函数在分界点处导数问题的讨论

对分段函数,我们常见的一类问题是讨论它在分界点的可导性．按常规的做法,分段函数在分界点处的导数用定义去计算,但在学生学习中,有不少学生不愿也不易接受这种方法,而是采用对不同区间上函数求导来计算,这种做法在一定条件下是可行的,这里就这类问题通过一些实例分析说明．对分段函数f（X）,讨论在分界点X0X0的可导性,归纳一般步骤如下：1．若f（X）在点X0不连续,则它在点X0不可导;2．若f（X）在点工。连续,且在点X0左、右导数都存在且相等,则f（X）在点X0可导．对如上第二步中,左、右导数一般用定义计算,但在函数满足…     

用定义求解高等数学中的有关问题

应用导数的定义，为分段函数的分界点提供了一种行之有效的求导方法，利用微分的定义判断函数在分界点及其他特殊点的可微性，运用定和分的定义求一类特殊类型的极限．     

求分段函数不定积分的一些方法

求连续函数不定积分的关键是求其一个原函数,而连续函数在其连续区间内所对应的积分限函数就是它的一个原函数。所以可以用下面两种方法求解连续分段函数的不定积分。     

关于“分段点”可导性判定的一个定理

如何判断分段函数在分段点处可导性,并求出导数?通常的作法(1)先判断连续性,若不连续,必不可导.(2)如果连续,再按导数的定义求导,由于在分段点两侧,函数表达式可能不同,则一般要通过计算分段点处左右导数来判断.实际上,在函数连续的基础上,可借助导函数在分段点处的极限,来判定并求出分段点的导数.这是因为有如下的定理:     

导数的极限与单侧导数

求函数在某些特殊点，比如分段函数的分界点、区间端点处的导数，通常应按导数的定义求出函数在这些点处的单侧导数。但也有人取函数的导数在这些点处的单侧极限作为单侧导数，这样做常常出错。例如：在x＜0时，但f（x）在x=0处的左导数不存在，因为f（x）在x=0处左间断。在x＞0时，不存在，但按导教的定义可求得f（x）在x=0处的右导数有时这种方法也能凑效，关键是函数必须满足一些条件。我们有下面的求单侧导数的所谓“导数极限法”。导技极限法设函数人X）在X。处连续，在X。的左（右）邻域（X。一点八）［或（X。，X。十的」内可导，…     

分段函数的导数

分段函数是用几个解析式子表示的函数,对每个解析式于,如果是可导的,可用初等函数的求导法则求出它们的导数,而对分界点处的导数是否存在,如果存在,如何计算,这些问题一般都用导发定义来解决,但用定义来导数要作极限运算,一般比较繁琐.如果函数具备一定的条件,可不必用定义去求.     

关于求分段函数在分段点处导数的几种解法剖析

求分段函数在分段点处的导数，包括讨论它是否存在，一般都应根据导数的定义，并利用导数存在的充要条件，即“左、右导数均存在且相等”，才能确定函数在分段点处的导数是否存在。如存在，则可得到函数在该分段点处的导数值。笔者发现，经常出现不用导数定义讨论的情况。现举例剖析如下。1．盲目地用上“分段函数的导函数在分段点处连续”的条件。例1设函数问f（0）是否存在？解法一按导数定义，f（X）在X=0处的左、右导数分别为由于／－（0）一／＋（0）一0，所以／（0）存在，且／（0）一见解法二当X＜O时，／（X）一（X勺‘一ZX，所…     

不定积分计算方法注记

针对不定积分分部积分公式中各部分函数的选择问题，给出一个口诀，并通过实例加以验证。针对含根式被积函数不定积分换元法中换元变换的问题，给出一个注记。     

导数连续的一个条件

考虑分段函数在分界点处的可导性时,一个方法是:根据命题“函数f(x)在x=x_0处可导的必要充分条件是其左导数f_-~′(x_0)和右导数f_+~′(x_0)都存在且相等”,利用左、右导数定义考察左、右导数是否存在且相等.但是由定义求导数常使人感到不便.一些同学自然地想到用另一种方便的方法:先分别求x_0左右两段f(x)的导函数f′(x),再考察其左极限     

分段函数在分段点处可导性的判别方法

针对高等数学课程中分段函数可导性问题,基于函数可微的概念和泰勒公式给出一种新的分段函数在分段点处可导性的判别方法.该方法不需按照导数定义计算分段点处的导数,也不需求导函数在分段点处的极限.与它们相比,该方法更简单,同时加深了对可微概念的理解.     

关于函数分段点处导数的一点注记

函数在分段点的导数是微积分教学中的一个难点.剖析了学生在解涉及分段点的导数这类题目时常常会犯的一个错误,给出了函数在分段点处可导的一个充分条件,利用这一条件判断函数在分段点处的可导性比用定义判断要方便得多.     

分段函数的求导方法

分段函数f(x)的求导步骤可归结为:一、如果函数在各段开区间内可导,则可求出它在各开区间内的导数.二、判断分界点x_0处的可导性:1.若函数在x_0点不连续,则它在x_0点不可导.2.若函数在x_0点连续,且在x_0的邻域内(x_0除外)可导,则(1)当(?)f′(x)存在,设为A时,函数f(x)在x_0点可导,且f′(x_0)=A;     

函数y=f（x）在点X=X0处可导的一个充分条件

文章分析了分段函数在分段点处导数值的常见计算错误，给出了函数y=f（x）在点x=x0处可导的一个充分条件，使得计算分段函数的导数值变得准确，简便．     

利用定积分求分段表示的函数的不定积分

分段表示的函数的不定积分的求法通常采用逐段求其不定积分 ,但这样得出的结果会有几个积分常数 ,由于不定积分的任意常数只有一个 ,为求出最后结果 ,则要利用原函数必连续的条件 ,找出几个积分常数之间的关系 ,确定出不定积分的任意常数 (见 [1 ]) ,由于求函数 f(x)的不定积分∫f (x) dx =F(x) C,关键是求出它的一个原函数 F(x) .若注意到变上限函数 F(x) =∫xaf (t) dt满足 F′(x) =f (x) ,即 F(x)是 f (x)的一个原函数 ,则有∫f (x) dx =∫xaf (t) dt C于是 ,求函数 f(x)的不定积分问题 ,就可以转化为求定积分∫xaf (t) dt的问题 .…     

浅谈作反函数代换求不定积分

在求不定积分时,当被积函数中含有某已知函数的反函数时,若令反函数为积分变量,作换元积分法,往往使不定积分更容易求得.下面举例说明.     

关于反函数的不定积分的一种简便求法

反函数的不定积分比较困难，尤其当被积函数的次数较高时。计算很麻烦．利用分部积分法和换元积分法可以推导出关于反函数的不定积分的一种简便求法，使得被积函数的次数降低，运算简化．实例说明这种方法是可行的．