积分因子及其求法

微分方程：M（x，y）dx＋N（x，y）dy=0，若在单连通区域D内，M（x，y），N（x，y）有一阶连续偏导数，且满足则（1）为全微分方程，这时du=Mdx＋Ndy=0，得到（1）的通解为：u（x，y）=C。求全微分方程的通解，常用的有三种方法：1°，利用积分与路径无关，得出通解其中（X0，y0）是D内适当选定的点。2°，利用于得出通解”’”””如——”—”“”’a“””一”J””’”————叮3”，凑微方法。举例说明。＿。。。。＿＿，＿＿＿＿＿＿＿、吻，。。。、。一例1求微分方程（。osy＋cosx）甚一ysinx＋slny—0的通解。解将原方程改写…     

具无限时滞的积分微分方程的周期解的存在性、唯一性及稳定性

1引言考虑如下的Volterra积分微分方程其中t∈R，x∈Rn；A（t），C（t，s），C（t-S）都是n×n连续函数矩阵；f：R→Rn连续．关于方程（1．1）及（1．2）的周期解的存在性问题，已有不少研究工作[1-4]，例如[1]研究了当n＝1时方程（1．1）的周期解的存在性问题．得到了如下结果：定理A[1]如果下列条件满足：（i）A（t＋T），f（t＋T）=f（t），C（t＋T，s＋T）＝C（t；s）对t，s∈R成立，其中T＞0是常数．（ii）方程（1．1）具有“衰退记忆”．（iii）存在着常数K＞1及μ＞0使得A（t）＋K∫t-∞|C（t，s）|ds＜－μ则方程（1．1）…     

一类泛函方程的连续解

本文考虑泛函方程x（x（t））＋f（x（t）-t）=0，在f满足一定单调性的条件下讨论了此方程连续解的性质、解的存在性和延拓性．其结果对于求解相应的泛函微分方程具有直接的应用．     

二次函数迭代的一个问题初探

对二次函数f（x）=x^2＋bx＋c进行n次迭代，得到f^[n]（x），函数f（x）有无不动点（即方程f（x）=x有无实根）对方程f^[n]（x）=x的解的情况有何影响？文[1]探讨了这个问题，并提出未解决的问题：     

关于积分方程的求解

在高等数学中,积分方程求解的方法是通过将其求导一次或数次转化为微分方程来进行的.值得注意的是:这类方程的定解条件往往隐含在给定的积分方程中,因此需要把它挖掘出来,从而使积分方程转化为一个初始问题.下面通过举例予以说明.例1　求满足方程∫x0f(t)dt=x ∫x0tf(x-t)dt的函数f(x).解　本题中由于变量x同时出现在积分上限和被积函数内,应先通过变量替换使被积函数内不含x,再利用变上限定积分的求导消去积分符号.令x-t=u,则dt=-du.于是∫x0tf(x-t)dt=-∫0x(x-u)f(u)du=x∫x0f(u)du-∫x0uf(u)du原方程变形为∫x0f(t)dt=x x∫x0f(t)dt-∫x0…     

关于二次函数迭代的一个定理的简证

对二次函数f（x）=x^2＋bx＋c进行n次迭代，得到f^[n]（x），其中f^[1]（x）=f（x）．函数f（x）有无不动点（即方程f（x）=x有无实数根）对方程f^[n]（x）=x解的情况有何影响？文[1]、文[2]对此进行了探讨，得到一些颇有价值的结论．其中文[2]证明了下述结果：     

高等数学试题(二份)

1．西安电子科技大学（1996～1997学年第二学期）一、填空题（每小题5分，共30分）1．方程组在空间的几何图形是2微分方程的通解为。3．函数人在点处的全微分4.已知，则5．积分区域D为x2＋y2≤1，则6.设函数u（x，y）具有二阶连续偏导数，则当u（x，y）满足条件时，沿任意简单闭曲线L积分二、（1分）求微分方程xlnxdy＋（y－Inx）dx一0满足条件yi。～一1的特解。三、（1分）计算曲线积分nd＝ax＋z【x＋yin（x＋／ds－－－－）」力，其中L是一’””‘”——”””””J／52－－－－．－－“““”““”””’～由点A（。，0）沿曲线v一…     

一道高考试题的背景探究与推广

问题（2007年广东卷第21题）已知函数f（x）=x^2＋x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α〉β），f＇（x）是f（x）的导数；设。α1=1，αn＋1=αn-f（αn）/f＇（αn）（n=1，2，…）     

无穷限反常积分收敛时被积函数的极限状态

根据无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx收敛的柯西准则和定积分的性质,讨论被积函数f（x）当x→∞时。的极限状态,并得出当无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx收敛且f（x）在[a,＋∞）上连续,或者无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx绝对收敛时,存在数列{xn}∩[a,＋∞]且xn→＋∞（n→∞）,使limn→∞xnf（xn）=0.     

一道高考题的多角度审视

2007年广东高考数学卷理科第21题：题目已知函数f（x）=x^2＋x-1，α,β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数,设α1=1，αn＋1=αn-f（αn）/f′（αn）（n=1,2，…）．     

高等数学试题

一、填空（每小题5分）2．微分方程好的通解为3．曲面3在点（2，1，0）处的法线方程为4．过点（3，1，－2）且与直线垂直的平面方程为5．幂级数的收敛区间为答案：其中函数人g具有二阶连续导数，5、（10分）计算曲线积分I其中L为圆周x’＋y’一a’的逆时外方向。答案：－。四、（10分）试求球体x’＋y’＋z‘＜Zz的质量，已知球体上任一点的密度与该点到原点的距离平方成正比。答案：＊切，足是常数””””］q”’～’”一五、（10分）计算曲面积分是曲面X—X‘＋／（0＜Z＜1）的外侧。竺室．二“——’2六、（10分）设P（x，y）一xy’o…     

偏导数与偏微分方程

我们知道，n元函数关于某个自变量的偏导数可理解为：固定其余的x－1个自变量xl1…，xi－1，xi＋1，…，xn，即令这些自变量为常数，这样几x；，…，xn）就是关于xi的一元函数，天就是f关于xi的导数。这样我们将多元函数的偏导数概念和一元函数的导数之间建立了联系，然后可用求解常微分方程的方法求解一些简单的偏微分方程。以下树中均设未知函数是充分光滑的。例1已知u（0，y）＝y，未满足方程的函数y＝u（x，y）解：由于正可理解为固定y，即令y为常数时X关于X的导数，故方程两边对X积分可得C（C，…ZC＋C式中C为积分常数。由于y为常…     

第二类Feigenbaum函数方程凸解的构造

考虑第二类Feigenbaum函数方程{f（x）=1/λf（f（λx））,0〈λ〈1,f（0）=1,0≤f（x）≤1,x∈[0,1]对于给定的初始函数,利用构造性方法讨论上述方程的连续凸解、C^1-凸解和C^2-凸解的存在性及唯一性.     

“隐含条件”对确定微分方程解的作用

微分方程解的理论告诉我们：通解中任意常数的个数与方程的阶数相同，求得通解后，利用初始条件就可确定其特解。但对某些特殊问题，微分方程的通解中任意常数的个数多于微分方程的阶数或持解决定不出。我们认为这并不是解的理论出了问题，而是一些条件没有得到充分利用，笔者将其称为“隐含条件”。现举例说明如下：试求函数f（x）。解为：而一阶方程只含一个任意常数。分析可知：f（t）是方程的解，则存在。据可导必连续有人0”）一八百）定出口2＊一1．故所求通解为人X）一在这里f连续是“隐含条件”。例2求方程y”W4y一3sinx在卜一。，…     

用判别式解题谨防“三忽视”

1忽视分类讨论例lm为何值时，（m－1）xZ一地；；－1）x－1＜06成立？错解即时,原不等式恒成立,剖析不题打本指明卜；－1）x‘－3（；，；一回）l’一回为二双函数，因此。一1可为0，故四分类讨论．正解若，n—1—06d，属不署式但成正；琶m—1士06立，依副所述知，当三＜n。＜互的，原不等式压成立2忽视有解的前提条件例26程x‘＋（。n—2）x一（。n—3）＝0的两根为l’l，12，末x卜xg的极小盾错解困韦达定理自剖析上述解答忽视了方程有解的动提条件，即面一（m－2）’＋4（。n—3）＞0。；n＜－2人都”。ZZh而7）；＝1的，原方程无买根正…     

两类常见等式的证明

本文结合例题，说明两类常见等式的常用的证明方法。一、证明可微函数f（x）=C或等价于波形式的题目对于这类问题，我们可以通过证其等价命题f（X）=0来证明。例1特别地取a=1，代入上式得，即2例2证明：满足方程的函数是指数函数，其中为常数，C为任意常数。例3设周，x。是x’＋P（x）x2Q（x）的两个互异解，则对该方程的任一解人必有其中C为任意常数。又Y；yi、yZ、y是y‘＋p（2）y—Q（2）的解。由此可得：因而有二、证明某区间内存在一点e，满足F’（＄）—0或等价于该形的远目对于这类题目，我们可以以F（x）为辅助函数，在相应的…     

数学问题解答

1561 已知函数y=f（x）=ax^2＋bx＋c，其中a〉b≥0〉c，a＋b＋c=0，（1）试证：方程f（x）=-a有实数根，（2）设方程f（x）=-a的两实根为x1，x2，问能保证f（x1＋m）和f（x2＋m）中至少一个为正数的实数m是否存在？若存在，确定m的取值范围。     

2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx^2＋cx＋d，g（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根     

一个变限函数的隐含条件

针对涉及变上限函数求导的一道常见习题所引起的疑惑．指出其中具有容易被忽略的隐含条件．用分析的方法,通过定义一个定积分的变上限函数,可证明变上限函数F（x）=∫0^x（x—t）^nf（t）山必须满足的n＋1个隐含条件．     

无穷限反常积分收敛的必要条件

＋∞摘要将无穷限反常积分的敛散性与无穷级数的敛散性相联系,讨论反常积分∫a f （x）d x收敛的必要条＋∞件。若被积函数 f （x）在[a ,＋∞）上单调连续或其导函数有界,则limx→＋∞ f （x）＝0就是∫a f （x）d x收敛的必要条件。