非线性向量边值问题的奇异摄动

本文研究摄动边值问题dx/dt=f(x,y,t;ε),εdy/dt=g(x,y,t;ε),a₁(ε)x(0,ε)+a₂(ε)y(0,ε)=a(ε)b₁(ε)x(1,ε)+εb₂(ε)y(1,ε)=β(ε)这里x,f,β∈Em,y,g,a∈En,0<ε《1,a₁(ε),a₂(ε),b₁(ε),b₂(ε)为适当阶数的矩阵.在g_y(t)是非奇异矩阵及其它的适当限制下,证明了解的存在唯一性,作出了解的n阶渐近近似式,并得出余项估计.     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.在右图的数阵图中,如果每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字和相等,计算(x-y)²+(m-n)²的值.(北京含笑)2.将有理数1/2,1/3分别代入1/(-m+1)(m≠0,m≠1)运算求值,得到的结果记为a₁,b₁,再将a₁,b₁分别代入1/(-m+1)求值,得到的结果记为a₂,b₂,如此重复上述过程,(1) a₁=______,b₁=______;(2)a₁+b₁+a₂+b₂+a₃+b₃+…+a₅₄+b₅₄的值是______.     

阻尼板振动方程的紧致差分方法

<正>1引言考虑如下阻尼板振动方程初边值问题■其中?=(0, a)×(0, b)?R², T是时间总量,■μ(μ> 0)为阻尼系数,ρ为给定正常数, f (x, y, t)是已知函数,φ₁(x, y)和φ₂(x, y)是初值函数,ψ₁(y, t),ψ₂(y, t),ψ₃(x, t),ψ₄(x, t)和g₁(y, t), g₂(y, t), g₃(x, t), g₄(x, t)是边值函数.     

2023年天津高考数学数列题的解法及拓展

<正>今年高考结束后和一个天津考生交流,他说今年的第19题数列题“有点儿怪”．下面我们就来看看这道题．1原题及解法分析题目已知{a_n}是等差数列,a₂+a₅=16,a₅-a₃=4.(1)求{a_n}的通项公式和■     

2022年北京高考压轴题解法探究

<正>1真题呈现已知Q:a₁,a₂,……,a_k为有穷整数数列．给定正整数m,若对于任意的n∈{1,2,……,m},Q中存在a_i,a_i+1,……,a_i+j(j≥0),使得a_i+a_i+1+……+a_i+j=n,则称Q为m-连续可表数列．(1)判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由．(2)若Q:a₁,a₂,……,a_k为8-连续可表数列,求证：k的最小值为4.a₁,a₂,a₃……     

数学史视角下等比数列的前n项和公式的证明(续)

<正>3等比数列前n项和公式的几何证明欧几里得利用等比定律推导出等比数列的前n项和公式．我们可以将借鉴欧几里得思路而得到的改进方法用图形的形式表示出来,比如取前n项a₁,a₂,…,a_n-1,a_n的方法,图形表示如图1^[7].首先假设a₁>0,01,使得AA₁=a₁,再过点A₁作BC的平行线,交斜边于点B₁,易知A₁B₁=a₁q=a₂;     

关于q-近于凸函数类的泛函不等式

研究了经典的近于凸函数类,根据解析函数从属原理和q-导算子定义了开单位圆盘中q-近于凸函数类,然后利用解析函数展开式系数比较法估算q-近于凸函数前几项系数a₂和a₃以及a₄.进而得到相应的二阶Hankel行列式H₂(2),二阶和三阶Toeplitz行列式T₂(2),T₃(1)和Feteke-Szeg?不等式泛函上界估计.     

重建极性连续统理论的基本定律和原理(Ⅹ)——主均衡定律

通过对诸主均衡定律和应用Noether定理得出的守恒定律进行比较,自然地导出微极连续统力学的1个统一的主均衡定律和6个物理上可能的均衡方程．其中,通过扩展众所周知和惯用的能量动量张量的概念,得到相当一般的定名为能量-动量的、能量-角动量的和能量-能量的守恒定律和均衡方程．显然,在这后3种情况下的主均衡定律中,物理场量是难以凭借直觉假定出来的．最后,作为特殊情形,直接推演出若干现有的结果．     

两例对数即时定义赏析

<正>一、基于对数性质的新定义运算【例1】已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）,观察下列运算a₁×a₂=log₂ 3×log₃4=lg3/lg2×lg4/lg3=2,a₁·a₂·a₃·a₄·a₅·a₆=log₂3·log₃4……log₆7·log₇8=lg3/lg2·lg4/lg3……lg7/lg6·lg8/lg7=3,……     

一类数列不等式的巧证

数列不等式是高考中久考不冷的热点,此类题目技巧性强,思维量大,一般不容易突破.例如,有一类数列不等式a₁+a₂+…+a_nn进行放缩的方法为a_nn,而b_n是一个等比数列,即b_n=b₁q^n-1,接下去任务就是寻找公比q,a₁+a₂+a₃+…+a_n1+b₁q+b₁q²+…+b₁q^n-1=（b₁（1-qⁿ））/（1-q）1/（1-q）（这里01>0）,则有     

由一道课本习题想到的

<正>由人民教育出版社出版的A版必修五第61页有这样一道题目:已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和,S₃,S₉,S₆,成等差数列.求证:a₂,a₈,a₅成等差数列.     

柯西不等式中取等条件的妙用

设a₁,a₂,a₃,…,a_n,b₁,b₂,b₃,…,b_n是实数,则（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²,当且仅当b_i=0（i=1,2,…,n）或存在一个数k,使得a_i=kb_i（i=1,2,…,n）时,等号成立.以上不等式就是选修4-5《不等式选讲》中所介绍的柯西不等式（简记为"方和积不小于积和方"）,其应用十分广泛和灵活,善于挖掘等号成立的条件具有的潜在功能,可用于求代数式的值、解方程（组）、证明等式、判断三角形的形状、确定点的位置等.笔者分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.     

Fredholm第一种积分方程Ax=y的表示定理和一次迭代定理*

本文给出两个定理.表示定理指出:若具有界L₂核的Fredholm第一种积分方程Ax=y有唯一解,则其中,一次迭代定理指出:可由公式=x₀+g₀A*(y-Ax₀)一次迭代求得的充分和必要条件是满足下列条件之一:
     

对判别式法求二次分式函数值域的思考

众所周知,判别式方法适用于形如y=a₁x²+b₁x+c₁/a₂x²+b₂x+c₂（a₁²+a₂²≠0）①,定义域为全体实数或者缺失个别点的"几乎全体实数".若定义域为全体实数R,则将分式函数①转化为y（a₂x²+b₂x十c₂）=a₁x²+b₁x+c₁②,这个转化是等价转化,判别式法可以大胆使用,无需顾忌.但是,若定义域为缺失个别点的"几乎全体实数",则①转化为②就不是等价变形,需要考虑y可能的增根,否则易产生错误.1对值域产生增根的探究     

用整数函数求一类递推数列前n项和

<正>问题设数列{a_n}的前m项为a₁,a₂,…,a_m,且a₍n+m₌a_n+d（n=1,2,…）,d为非零常数,求数列{a_n}的前n项之和S_n.这类递推数列的求和问题,是求递推数列前n项和中难度最大的问题.为此,本文以实例来说明它的求     

递推数列的通项求法例析

在必修5《数列》P69T6:已知数列{a_n}中,a₁=5,a₂=2,a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?这是一道已知数列的递推式,求数列的通项公式,而且涉及到三个量的关系,它是本章内容的一个提升.本文试从这道题的类型展开加以研究.     

迷向表示分为6个不可约直和的旗流形上不变爱因斯坦度量

众所周知,计算广义旗流形G/K上不变爱因斯坦度量存在两个困难:(1)如何计算旗流形的非零结构常数;(2)如何计算旗流形爱因斯坦方程组的Grobner基.在这篇文章中用定理2.1来计算旗流形的非零结构常数,用Maple软件来计算旗流形爱因斯坦方程组的Gr?bnexr基.最后得到旗流形F_4/U~2(1)×SU(3),E_6/U~2(1)×SU(3)×SU(3),E_7/U~2(1)×SU(2)×SU(5),E_7/U~2(1)×SU(6),E_7/U~2(1)×SU(2)×SO(8)与E_8/U~2(1)×E_6上爱因斯坦度量.     

多重循环群的一个注记

设A是秩为n的自由Abel群.熟知A的自同构群Aut(A)=GL(n,Z).设f(λ)=λⁿ+a_n-1λ^n-1+…+a₁λ+a₀∈Z[λ]是不可约多项式,其中a₀=±1.设T=<α>是无限循环群,α通过多项式f(λ)的Frobenius相伴矩阵诱导的自同构作用在A上.设G=A ■ T.我们证明G是剩余有限p-群当且仅当p整除f(1).     

线性随机参变振动的谱分解法

本文是[1]文的一个发展.考虑如下的随机方程:(t)+2β?(t)+ω₀2Z(t)=(a₀+a_lZ(t)).I(t)+c,激励I(t)和响应到Z(t)都是随机过程,并设它们相互独立.如[1],设I(t)=a(t)I0(t),a(t)是已知的时间函数,IO(t)是平稳随机过程.本文考虑了以上随机方程的谱分解形式,数值求解方法以及一些特殊情况的解式.     

SU(2)规范场的恰当形式(欧空间)

应用数学机械化方法研究欧氏空间中SU(2)规范场的正规化问题.首先对Yang-Mills方程的表述进行了讨论,给出了一种具有物理和几何意义的YM-方程,称其为恰当的(exact)YM-方程.对于这种恰当的YM-方程,构造了一类线性微分变换,称之为SU(2)规范场的示性变换.经由示性变换,将非线性的恰当的YM-方程变为一组Laplace方程,实现了SU(2)规范场方程的线性化,即场方程的正规化.从而证明了SU(2)规范场存在3个独立的Yang-Mills规范场.