问题1与问题2

正问题1(供题者:北京大学杨家忠)设x_1,x_2,…,x_n,…依次为方程2020tanx=2021x的所有正根,试计算级数■的值.问题2(供题者:南京大学梅加强)设f为(-∞,+∞)上的连续函数,如果对每一个x,均有■.证明:f为常值函数.     

两题一解正误怎辨

题 1　设函数 y =f( x)的定义域为 R,且满足 f( a + x) =f ( b- x) ,求 y =f ( x)的图像的对称轴方程 .题 2　设函数 y =f ( x)的定义域为 R,求函数 y =f ( a + x)与 y =f ( b - x)的图像的对称轴方程 .解 1　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　 f ( t) =f( b + a - t) ,即 f ( x) =f( b + a - x) ,∴　 y =f ( x)的图像是轴对称图形 ,且对称轴方程为 x =b + a2 .解 2　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　函数 y =f ( a+ x)与 y =f ( b- x)的图像的对称轴即为 y =f ( t)与 y =f ( b+a - t)的图像的对称轴 ,…     

关于线性算子的高阶饱和

设f(x)∈C_(2π)。而f(x)～sum from k=0 ( )A_k(f_1k)≡α_0/2 sum from k=1 ( )(α_kcoskx b_ksinkx)。 又设 U_n(f,x)=1/πintegral from -πto π(f(x t)u_n(t)dt,) 其中u_n(t)=1/2 sum from k=1ρ_k~(n)coskt满足条件: integral from 0 to k(|u_n(t)|dt=O(1),)ρ_k~(n)→1(n→∞;k=1,2,…,)。设m是正整数,ρ_0~(n)=1。记~mρ_k~(n)=sum form v=0 to ∞ ((-1)~(m~(-v))(m v)ρ_k v~(n) (k=0,1,…,)。)T.Nishishiraho考虑了在ρ_k~(n)=O(k>n)的情况下U_n(f,x)的饱和问题,证明了。 定理A 设{_n}是收敛于0的正数列,使得     

一道西班牙竞赛题的奇异变式

在《数学通讯》网站论坛网友交流分坛上,网友searchbeyond发贴求教一个问题:题1已知(x~2 1 y)～(1/2)(y~2 1-x)～(1/2)=1,试判断x与y的大小关系.有网友提醒,《中学数学月刊》曾多次刊登这个问题的解法,笔者经过查证,发现该刊刊载的是第31届西班牙数学奥林匹克第2题:题2如果(x x2 1)(y y2 1)=1,那么x y=0.先看揭示此题本质的一个简证:证将条件式整理为x2 1 x=(-y)2 1 (-y),构造函数f(t)=t2 1 t(t∈R),∵f′(t)=tt2 1 1=t t2t 2 11>0,∴f(t)在R上单调递增,又f(x)=f(-y),∴x=-y,故x y=0.将题2中y换为-y,可得题2的一个等价问题:如果(x2 1 x)(y2…     

陕西省第六次大学生高等数学竞赛本科组初赛试题

一、填空题:(6×4′=24′)1·设[x]表示不超过x的最大整数,则limx→0sinx|x|-2[x]=1.2·d4dx42 x1-x2x=0=48.3·设函数f(x,y)可微,f(0,0)=0,fx(0,0)=m,fy(0,0)=n,φ(t)=f[t,f(t,t)],则φ′(0)=m mn n2.4·设ddx∫2xf(2t)dt=x(x>0),则∫f(x)dx=-61x3 c.5·设f(x)在区间[-π,π]上连续,且满足f(x-π)=-f(x),则f(x)的傅立叶系数a2n=0.6·设质点在变力F=(3x 4y)i (7x-y)j的作用下,沿椭圆ax2 y2=4的逆时针方向运动一周所作的功等于6π,则a=4.二、选择题(8×4′=32′)7·当x→0时,下列无穷小量中最高阶的无穷小量是(D)A·∫0x1n(1 t3/2)dt;B·ta…     

新题征展(40)

A　题组新编1.( 1)已知函数 f( x) =sin(ωx +φ)　 (ω >0、x∈ R)满足 f( x) =f( x + 1) -f( x + 2 ) ,若 A =sin(ωx +φ + 9ω)、B =sin( wω +φ- 9ω) ,则 A与 B的大小关系为.( 2 ) u( n)表示正整数 n的个位数 ,设 an=u( n2 ) - u( n) ,则数列 {an}前 2 0 0 0项之和 S2 0 0 0= .2 .( 1)点 P( 12 ,0 )到曲线 x =2 t2y =2 t(其中 t为参数 ,t∈ R)上的点的最短距离为 ;( 2 )对于抛物线 y2 =2 x上任意一点 Q,点 P( a,0 )都满足 | PQ|≥ | a| ,则 a的取值范围是 ;( 3 )点 P( a,0 )到抛物线 y2 =2 x上的动点 Q的最短距离为 .B　藏题…     

新题征展(27)

A　题组新编1 .( 1 )若函数 f ( x)的定义域为 [- 1 ,4 ],则 f ( x )的定义域为 ;( 2 )若函数 f ( x 1 )的定义域为[- 2 ,3) ,则 f ( 1x 2 )的定义域为 ;( 3)设 f ( 2 x - 1 ) =2 x - 1 ,则函数 f ( x)的定义域为 .2 .( 1 )已知 f ( x) =x2 2 x - 4,x∈[t,t 1 ],求 f ( x)的最小值 ;( 2 )已知 f( x) =( 4 - 3a) x2 - 2 x a,x∈ [0 ,1 ],求 f( x)的最小值 .(第 1～ 2题由陈廷茂供题 )3.( 1 )不等式 ( x - 3) x 3≥ 0的解集是 ;( 2 )不等式 | x2 - 9|≤ | x 3|的解集是;( 3)若 loga 16 x≤ loga 1( x2 9)对任意x∈ R恒成立 ,…     

用高数观点看2006年全国高考理科数学(陕西卷)22题

2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(陕西卷)22题:已知函数f(x)=x~3-x~2 x/2 1/4,且存在x_0∈(0,1/2),使f(x_0)=x_0.(Ⅰ)证明:f(x)是R上的单调增函数;(Ⅱ)设x1=0,xn 1=f(xn),y1=21,yn 1=f(yn),其中n=1,2,…,证明:xn相似文献   

数学竞赛之窗

第三届中国东南地区数学奥林匹克试题与解答希望联盟2006年度赛第一天(2006年7月27日,8:00—12:00,南昌)1.设a>b>0,f(x)=2(a b)x 2ab4x a b.证明:存在唯一的正数x,使得f(x)=(a13 b132)3.(李胜宏供题)解令t=(a13 b132)3,由t=2(a b)x 2ab4x a b,得[2(a b)-4t]x=t(a b)-2ab(1)为证     

新题征展(10)

A.题组新编1.(1)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(2-x)与y=f(x-4)的图象关于　　对称;(2)已知函数y=f(x)对于任意x∈R都有f(2-x)=f(x-4),那么函数y=f(x)的图象关于　　对称;(3)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(x)与y=-f(2-x)的图象关于　　对称.(廉万朝、孙荣供题)2.     

甩瓦累-布然平均逼近连续函数

<正> §1.总说§1.1 设 f(x)∈C_(2π),f(x)～a_0/2+sum form n=1 to ∞ a_ncosnx+b_nsin nx≡sum form n=0 to ∞ A_n(x)记 S_n(f,x)=sum form v=0 to n A_v(x).称σ_(n,p)(f,x)=1/p+1 sum form v=n-p to n S_v(f,x)为 f(x)的瓦累-布然平均.记△_u~kf(x)=sum form v=0 to k (-1)~v(?)f[x+(k-2v)u].称函数ω_k(f,t)=(?)|△~u_kf(x)|为 f(x)的 k 阶连续模.简记ω(f,t)=ω_1(f,t).假如 f(x)的共轭函数     

新题征展(23)

A.题组新编1 .设集合 M ={3,4,5},N ={6 ,7,8,9,1 0 }.( 1 )映射 f:M→ N ,使对任意的 x∈ M都有 x f( x) xf ( x)是奇数 ,这样的映射f的个数是 (　　 ) .( A) 2 5　　 ( B) 50　　 ( C) 75　　 ( D) 1 2 5( 2 )若映射 f :M→ N,使对任意的 x∈ M都有 x f( x) xf ( x)是偶数 ,这样的映射f的个数是 (　　 ) .( A) 0　　 ( B) 50　　 ( C) 75　　 ( D) 1 2 5(吴新华供题 )2 .函数 y =x 5- x的值域是;函数 y =x - 5- x的值域是.(向国华供题 )3.已知圆 C:( x - a) 2 ( y - a) 2 =a2 ,直线 l:3x 4 y 3=0 .( 1 )若圆上有…     

综合题新编选登

题130设定义在R上的函数f(x)=a0x4 a1x3 a2x2 a3x a4(a0,a1,a2,a3,a4∈R),当x=-1时,f(x)取极大值32,且函数y=f(x 1)的图象关于点(-1,0)对称.1)求f(x)的表达式;2)试在函数y=f(x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在[-2,2]上;3)设xn=2n2-n1,ym=2(13-m3m)(m,n∈N*),求证:|f(xn)-f(ym)|<34.解1)将y=f(x 1)的图象向右平移一个单位,得y=f(x)的图象,所以得f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)是奇函数,所以f(x)=a1x3 a3x.由题意,得f′(-1)=3a1 a3=0,f(-1)=-a1-a3=32,所以a1=31,a3=-1,f(x)=13x3-x.可以检验f(x)满足题…     

综合题新编选登

题155设f(n,p)=C2pn(n,p∈N,p≤2n).数列{a(n,p)}满足a(1,p) a(2,p) … a(n,p)=f(n,p).1)求证:{a(n,2)}是等差数列;2)求证:f(n,1) f(n,2) … f(n,n)=22n-1 21C2nn-1;3)设函数H(x)=f(n,1)x f(n,2)x2 … f(n,2n)·x2n,试比较H(x)-H(a)与2n(1 a)2n-1(x-a)的大小.解1)由a(1,2) a(2,     

凸函数的一个性质——关于2005年全国高考理科数学22题

2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题22题:(Ⅰ)设函数f(x)=xlog2x (1-x)log2(1-x)(0相似文献   

试题研讨(9)

题 1　 ( 2 0 0 2年 4月广州市一模题 )已知函数 f( x) =aa2 - 1( ax - a-x) ,其中 a >0 ,a≠ 1.( )判断函数 f ( x)在 ( -∞ ,+∞ )上的单调性 ,并根据函数单调性的定义加以证明 ;( )若 n∈ N且 n≥ 2 ,证明 f( n) >n.命题溯源　这道综合题与 1995年北京市崇文区二模第 2 6题 ,1996年天津市高中毕业班质量调查测试第 2 6题 ,1998年北京市西城区二模第 2 4题同源 .着重考查代数推理能力及分类思想 .原解思路　 ( )函数 f( x)在( -∞ ,+∞ )上是增函数 ,证明如下 :任取实数 x1 ,x2 且 x1 相似文献   

132一类恒成立的函数问题--数学研究性学习又一种组织方式

第一课时　初步提供一类问题资料 ,要求学生归纳整理 .向全班同学提供如下的一类问题的初步材料 (打印好发给他们 ) :( 1 )已知不等式x2 log24 ( a 1 )a - 2 xlog22 aa 1 log2 ( a 12 a ) 2 >0对所有实数 x恒成立 ,求实数 a的取值范围 .( 2 )设 f( x) =lg[1 x 2 x 3x … ( n- 1 ) x nxa],n∈ N,且 n≥ 2 ,当 x≤ 1时恒有意义 ,求实数 a的取值范围 .( 3)已知 a∈ [- 1 ,1 ],函数 f ( x) =x2 ( 3- a) x 2 a 1的取值恒为正数 ,求 x的取值范围 .( 4 )已知二次函数 y =f ( x)的定义域为R,f ( 1 ) =2 ,且函数在 x =t处取得…     

新题征展(31)

A　题组新编1 .( 1 ) f( x) =x2x - 1 ( x >1 )的最小值为.( 2 ) f ( x) =x3x - 1 ( x >1 )的最小值为.( 3) f ( x) =x3x2 - 1 ( x >1 )的最小值为.2 .( 1 )三棱锥的三个侧面中最多可能有个直角三角形 .( 2 )四棱锥的四个侧面中最多可能有个直角三角形 .( 3) n( n≥ 5)棱锥中 ,n个侧面最多可能有个直角三角形 .(第 1、2题由严根林供题并作答 )B　藏题新编　　 3.已知复数 z满足条件 | z| =1 ,求| z - i| .| z - 12 32 i|的最大值 .4 .椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 ( a >b>0 )的右焦点为 F,右准线 l与 x轴交于点 C,过点 F作弦 AB,作 AD⊥…     

Fejèr-Korovkin算子及一种内插线性算子的渐近展开

设f(x)∈C_(2π)。本文讨论两种线性算子对f(x)的逼近,全文分两个部分。 在第一部分中,我们考虑在正卷积型三角多项式线性算子中占重要地位的Fejr-Korovkin算子K_n(f,x)=1/π integral from -x to π (f(x+t)k_n(t)dt),其中k_n(t)≡1/2+sum from k=1 to n (ρ_k~((n)) cos kt)=1/2+sum from k=1 to n (F_n(k/n+2)coskt),F_n(x)=(1-x)cosπX+1/n+2 cot π/n+2·sinπx.由于它满足Korovkin条件:所以有下述结果:设f(x)∈C_(2π),f″(x)∈C_(2π)。那么,当n→∞时,成立着     

拟Hermite-Fejer插值多项式的逼近特性

设f∈C[-1,1],x_(h,n)=ciskπ/n+1,k=1,2…,n为第二类Chebyshev多项式U_n(x)=sin(n+1)θ/sinθ(x=cosθ)的零点。拟Hermite-Fejer插值多项式为O_n(f,x)=((1+x/2)f(1)+(1-x/2)f(-1))(U_n(x)/n+1)~n+