特殊化坐标法在向量中的应用

<正>向量兼具代数和几何的双重身份,体现了数形结合的数学思想.而向量问题的解决也因此而具有多种途径.下面结合例题加以说明.例1(2007年北京理科)已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2OA→+OB→+OC→=0→,那么( ).(A)AO→=OD→(B)AO→=2 OD→(C)AO→=3 OD→(D)2 AO→=OD→     

多边形的"向量重心"及其求作方法

人教A版必修4在《向量》一章中介绍了三角形重心的性质:若G是△ABC的重心,则→GA+→GB+→GC=→0,反之亦然. 　　因此我们可以认为△ABC的重心是这样定义的:若△ABC所在平面内一点G满足→GA+→GB+→GC=→0,则称点G为△ABC的重心.……     

不妨构造向量和来解答

<正>文[1]通过构造具有相同起点的两个向量之差,来进行解答三道历年高考数学题目,方法虽妙,但过程有些复杂,并不易为多数同学掌握.笔者品读后,尝试构造两个向量之和,发觉效果更好些,为便于同学们掌握,对文[1]中三题进行解答如下:例1(2008年全国卷一3)在△ABC中,△→AB=c,→AC=b.若点D满足→BD=2→DC,则→AD=().(A)23b+13c(B)53c-23b(C)23b-13c(D)13b+23c解析∵→BC=→BA+→AC=-→AB+→AC=-c+b,     

对一道高考适应性月考题的深度探究

题目(云南师大附中2014届高考适应性月考卷(八)理科第14题)已知△ABC中,AB=2,AC=3,BC=√7,其外接圆的圆心为O,则→AO·→BC=.本题重点考察向量的数量积、向量的运算、解三角形以及圆和三角形的外心的一些性质,本文将对其进行解法探究、拓展探究和变式探究.一、命题的解法探究(一)利用向量数量积的运算     

借助TI－Nspire CAS探究一道圆锥曲线定点问题

笔者借助TI-Nspire CAS图形计算器对2015学年上海市嘉定区二模测试第22题进行了一些粗浅探究,笔者试图说明的是:运用现代技术让探究更高效;技术推动了多角度数学规律的探究. 一、问题描述 已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,点B(0,b),过点B且与BF2垂直的直线交x轴负半轴于点D,且2→F1F2+→F2D=→0.     

活用三角形外心向量性质解向量问题

对于三角形的外心,有如下优美的向量性质：性质如图1,O为△ABC的外接圆的圆心,则→AO·→AC,1/2→AC,→CO·→CB=1/2→CB2,→BO·→BA→=1/2→BA2证明过点O作OD⊥AC于点D,则D为线段AC的中点.于是→AO·→AC =｜→AO｜·｜→AC｜cos∠OAC= （｜→AO｜·cos∠OAC）·｜→AC｜     

向量回路法简解竞赛题

例1(第23届"希望杯"全国数学邀请赛培训题高一41题)△ABC中,已知AB=4,BC=5,AC=6,若点O是△ABC的外心,则→AO.→AC的值是.分析标准解答给出的解法是应用余弦定理、正弦定理和向量数量积的定义,繁琐冗长.事实上,若注意到题设条件AC=6及向量回路A→M→O,便有如下简解.简解取AC的中点M,则必有MO⊥AC,     

新题征展(64)

A　题组新编1 .已知平面上不同的四点 A、B、C、D.( 1 )若 ( DB+ DC- 2 DA) .( AB - AC)= 0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( 2 )若 DB.DC+ CD .DC+ DA .BC=0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( 3)若　 ( DA - DB) .( BD + DC) .( | DB - DA| 2 - | DC - DB| 2 ) =0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( 4 )若 ( DA - DB) 2 =( DB - DC) 2 ,且DA .DB+ DB.DC- DA .DC- | DB| 2 =0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( A)直角三角形或等腰三角形( B)等腰直角三角形( C)等腰三角形但不一定是直角三角形( D)直角三角形但不一定是等腰三角形2 .( 1 )已知 A…     

一道中考题的评析与反思

题目(衢州市2004年中考压轴题)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-2,0),C(m,0),其中m>0,以OB,OC为直径的圆分别交AB于点E,交AC于点F,连结EF.(1)求证:△AFE∽△ABC.(2)是否存在m的值,使得△AFE的等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.(3)观察当点C在x轴上移动时,点F移动变化的情况,试求点C1(3,0)移动到点C2(33,0)时,点F移动的行程.解(1)证明:易证AO是两圆内的公切线,∴AO2=AE·AB=AF·AC,∴AEAF=ACAB,又∠FAE=∠BAC∴△AFE∽△ABC.(2)∵△AFE∽△ABC.∴AFAB=AEAC=FE…     

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ ABC,P为平面上的点 ,则( 1 ) P为外心 　 | PA| =| PB| =| PC| 1( 2 ) P为重心 　 PA PB PC =0→ 2( 3) P为垂心 　 PA . PB =PB . PC =PC . PA 3图 1　　　　　　　图 2证明　 ( 1 )如 P为△ ABC的外心 (图 1 ) ,则　 PA =PB =PC,即　 | PA| =| PB| =| PC| ,反之亦然 .( 2 )如 P为△ ABC的重心 ,如图 2 ,延长AP至 D,使 PD =PA,设 AD与 BC相交于E点 .由　 PA =PD PA PD =0→ ,由重心性质 　 PA =2 PE,PA =PD 　 E为 PD之中点 ,又 P为△ ABC之重心 E为 BC之中点 ,∴　四边形 PBDC为平行…     

一道高考试题的证明

2005年全国卷Ⅰ理(15)题:△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,→OH=m(→OA+→OB+→OC),则实数m=＿.……     

一道武汉市调考题的简解

武汉市2009届高中毕业生四月调研测试理科第14题是：已知△ABC内接于椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）,且△ABC的重心G落在坐标原点O,则△ABC的面积等于______。     

一道高考试题的证明

2005年全国卷Ⅰ理(15)题:△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,→OH=m(→OA+→OB+→OC),则实数m=＿.……     

两个锐角三角形外心性质的别证与拓展

<正>1性质呈现^([1])(1)如图1,O是锐角△ABC的外心,∠BAC是锐角,AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于点D、E、F,EF、FD、DE分别交AO、BO、CO于点D′、E′、F′,则1/OD-1/OD′=1/OE-1/OE′=1/OF-1/OF′.(2)如图2,O是锐角△ABC的外心,AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于点D、E、F,记∠ADC=α,∠BEA=β,∠CFB=γ,则BCcosα+ACcosβ+ABcosγ=0.     

从一道向量题出发复习向量题的各种解法

在涉及向量的填空题中,历年来都是考察的重点和难点,很多学生拿到向量题就感觉没方向,下面是我个人对一道经典向量题的剖析,仅供老师和同学们参考.题目已知O是△ABC的外心,AB=6,AC=10,若AO→=x·AB→＋y·AC→且2x＋10y=5,则cos∠BAC=.     

巧用欧拉线解题一例

文[1]中对2005年全国卷的一道向量题的解法进行了探究,原题如下:△ABC的外接圆圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA+OB+OC),则实数m=.图1由于该题涉及到三角形的外心和垂心,我们知道三角形的外心、重心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.这里笔者尝试想通过欧拉线来解决这道高考连A与BC中点D交OH于G,因为△ABC的重心既在中线AD上,又在欧拉线OH上,故G为△ABC的重心.又因为点O为外心,点H为垂心,所以OD⊥BC,AH⊥BC,则OD∥AH,所以△DOG∽△AHG.则AHOD=AGOG=2.所以OH=OA+AH=OA+2OD=OA+OB+O…     

新题征展(134)

A题组新编1.(1)设O为△ABC的外心,且3→OA+4→OB+5→OC=0则△ABC的内角C=___.     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷)数学(理工农医类)

一、本大题共8小题,共40分.1.已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是()A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角2.函数f(x)=3x(0相似文献   

两个三角形重心相同的充要条件

定理:在△ABC中,A1、B1、C1分别是直线BC、CQ、AB上的点,且有→AC1=→λC1B,→BA1=μ→A2C,→CB1=t→B1A,则△A1 B1 C1与△ABC有相同重心的充要条件是λ=μ=t,其中λ、μ、t均是不为-1的实数.……     

从一道向量题出发复习向量题的各种解法

<正>在涉及向量的填空题中,历年来都是考察的重点和难点,很多学生拿到向量题就感觉没方向,下面是我个人对一道经典向量题的剖析,仅供老师和同学们参考.题目已知O是△ABC的外心,AB=6,AC=10,若AO→=x·AB→+y·AC→且2x+10y=5,则cos∠BAC=.方法一(向量点积法)