从第二类梯度算子和第二类积分定理到Gauss（球面）映射不变量

将第二类梯度算子、第二类积分定理、Gauss曲率相关的积分定理和Gauss（球面）映射相结合,证明了一系列Gauss（球面）映射不变量．从这些不变量中,得到一系列从原始曲面到（Gauss单位）球面的变换．这些不变量和变换,在几何学、物理学、生物力学和力学中,都有潜在的用途．     

计算几何中几何偏微分方程的构造

平均曲率流、曲面扩散流和Willmore流等著名的几何流除了在理论方面有重要的意义之外,在计算机辅助几何设计、计算机图形学以及图像处理等领域也得到了广泛的应用．然而在解决实际问题时,人们经常要根据问题的特点构造其它具有指定性质的几何流．本文从统一的观点出发,对于参数曲面以及水平集曲面,给出了几类重要几何偏微分方程(包括L2梯度流、H-1梯度流以及H-2梯度流)的构造．这几类几何流的包容十分广泛,上述提到的几个几何流均为其特例．     

图的最大亏格的一个性质

本文所考虑的图均指有限元向图，没有解释的术语和记号同[1]．一个图称为简单图如果不含重边及环．曲面S这里指一个紧的，连通的，2－维闭流形（定向或不可定向），其亏格记为g（S）．连通图G在曲面S上的一个2－胞腔嵌入意指存在一个1－1连续映射h：G→S使得S＼h（G）的每个连通分支与圆盘拓扑同胚．连通图G的定向亏格γ（G）（或不可定向亏格γ（G））是指最小的整数k使得G在亏格为k的定向（或不可走向）曲面S上有2－胞腔嵌入；而图G的最大定向亏格，也常称之为最大亏格，记为γM（G）,是指最大的整数k使得G在亏格为k定向曲面S上有…     

在不可定向的流形网格曲面上计算测地距离的一般方法

不可定向的流形曲面不仅在拓扑学中占据重要的地位,在可视化和极小曲面等问题中也有很多的应用.从拓扑学的观点来看,二流形曲面的每个局部与圆盘同胚,该性质与曲面的全局可定向性无关.但在离散化的网格表示上,可定向的二流形曲面常用半边结构来表达,而不可定向的二流形曲面大多表达成若干多边形的集合,这给以可定向网格曲面为主要研究对象的数字几何处理带来很多不便.本文提出了把不可定向的二流形网格曲面上的测地距离问题转化到可定向曲面上进行处理的一般算法框架.该框架有望在不可定向的二流形网格曲面与传统数字几何处理方法之间搭起一座桥梁.为了展示该算法框架的普适性,本文将其应用于不可定向曲面上的三个重要场合,包括测地距离的求解、离散指数映射和最远点采样.     

Minkowski空间中定向曲面上的第二类松弛弹性线

在Minkowski空间中,定义了定向曲面上的第二类松弛弹性线,推导了在定向曲面上的第二类松弛弹性线的Euler-Lagrange方程．进一步阐明了,这些曲线是否落在曲率线上,最后给出相关的实例．     

常平均曲率超曲面的曲率估计与稳定性

本文估计了空间形式Ｎ^ｎ＋１（ｃ）中常平均曲率超曲面上共形度量的曲率上界,并用其研究了Ｎ^ｎ＋１（ｃ）中常平均曲率超曲面的强稳定性．     

常挠率运动曲线生成曲面上的贝克隆变换

该文给出由常挠率运动曲线生成曲面上的贝克隆变换,其中运动曲线的曲率满足修正KdV方程,从而得到著名的对于修正KdV方程贝克隆变换的一个几何实现.作为应用,取圆柱面作为种子曲面,构造了一些由周期运动曲线生成的新曲面,其中周期运动曲线在xy平面上的投影是闭曲线.     

αK bH=c曲面的Bcklund变换

本文首先对Ｇａｕｓｓ曲率Ｋ和平均曲率Ｈ满足线性关系ａＫ＋ｂＨ＝ｃ的曲面，证明了其ＧａｕｓｓＷｅｉｎｇａｒｔｅｎ公式不仅可看作曲面的Ｇａｕｓｓ－Ｃｏｄａｚｚｉ方程的Ｌａｘ对，而且给出了Ｂ¨ａｃｋｌｕｎｄ变换．然后，将著名的关于负常曲率的Ｂ¨ａｃｋｌｕｎｄ定理推广到主曲率ｋ１和ｋ２满足关系（ｋ１－ｍ）（ｋ２－ｍ）＝－ｌ２的曲面     

基于非局部应变梯度理论功能梯度纳米板的弯曲和屈曲研究

以纳米机器人等智能器件中的功能梯度纳米板结构为研究对象,基于非局部应变梯度理论,研究了其弯曲和屈曲问题.推导了一般情况下的功能梯度纳米板运动方程,弯曲和屈曲作为其特例可简化而成.分析了非局部尺度参数、材料特征尺度参数、梯度指数、纳米板尺寸等对弯曲挠度和临界屈曲载荷的影响.结果表明:不同高阶连续介质力学理论下的最大挠度都随梯度指数的增大而增大,正方形纳米板挠度较小,且板厚越大,弯曲挠度越小;最大挠度随非局部尺度参数的增大而增大,随材料特征尺度参数的增大而减小.临界屈曲载荷随梯度指数的增大而减小,随板厚、长宽比的增大而增大,随非局部尺度的增大而减小,随材料特征尺度的增大而增大.非局部应变梯度高阶弯曲和屈曲中存在结构软化与硬化机制,两个内特征参数之间具有耦合效应,当非局部尺度大于材料特征尺度时,非局部效应在功能梯度纳米板力学性能中占主导作用;当材料特征尺度大于非局部尺度时,应变梯度效应占主导作用.解析结果还证明了当非局部尺度等于材料特征尺度时,非局部应变梯度理论结果退化为经典结果.     

关于拉格朗日乘数法的几何意义

利用梯度和方向导数的概念讨论函数在曲线或曲面上的变化率,从而给出拉格朗日乘数法的一个直观的几何解释.     

坡度对坡面土壤侵蚀的影响分析

在运动波理论基础上,就影响土壤侵蚀的主要因素,包括降雨超渗净雨量,坡面流水深、流速和切应力,以及土壤抗冲蚀能力等随坡度的变化关系进行了理论分析。并进一步对坡面土壤侵蚀的坡度界限做了较细致分析,表明坡度界限是一个变量,随颗粒粒径、容重、坡面糙率、径流长度、降雨入渗差值(净雨量),以及土壤摩擦系数等因素的不同而改变,给出了界限坡度的变化规律,并得出一般情况下土壤侵蚀的坡度界限值应在415°～50°范围内的结论。     

一个求解非线性不等式约束优化问题的带有共轭梯度参数的广义梯度投影算法

本文提出一个求解非线性不等式约束优化问题的带有共轭梯度参数的广义梯度投影算法.算法中的共轭梯度参数是很容易得到的,且算法的初始点可以任意选取.而且,由于算法仅使用前一步搜索方向的信息,因而减少了计算量.在较弱条件下得到了算法的全局收敛性.数值结果表明算法是有效的.     

一类新的共轭投影梯度算法

本文利用[5]引进的共轭投影的概念,结合堵丁柱［3］中的思想,提出一类新的共轭梯度投影算法．在一定的条件下,证明了该算法具有全局收敛性和超线性收敛速度．     

Stiefel流形上的梯度下降法

基于Stiefel流形上算法的几何框架,本文提出了Stiefel流形上的梯度下降法.理论上给出了算法收敛性定理.三个数值仿真算例表明算法是有效的,与其他方法相比具有更快的收敛速度.     

A gradient flow for the prescribed Gaussian curvature problem on a closed Riemann surface with conical singularity

In this note, we prove that the abstract gradient flow introduced by Baird-Fardoun-Regbaoui [2] is well-posed on a closed Riemann surface with conical singularity. Long time existence and convergence of the flow are proved under certain assumptions. As an application, the prescribed Gaussian curvature problem is solved when the singular Euler characteristic of the conical surface is non-positive.     

Incremental Gradient Algorithms with Stepsizes Bounded Away from Zero

We consider the class of incremental gradient methods for minimizing a sum of continuously differentiable functions. An important novel feature of our analysis is that the stepsizes are kept bounded away from zero. We derive the first convergence results of any kind for this computationally important case. In particular, we show that a certain -approximate solution can be obtained and establish the linear dependence of on the stepsize limit. Incremental gradient methods are particularly well-suited for large neural network training problems where obtaining an approximate solution is typically sufficient and is often preferable to computing an exact solution. Thus, in the context of neural networks, the approach presented here is related to the principle of tolerant training. Our results justify numerous stepsize rules that were derived on the basis of extensive numerical experimentation but for which no theoretical analysis was previously available. In addition, convergence to (exact) stationary points is established when the gradient satisfies a certain growth property.     

Preconditioned Spectral Projected Gradient Method on Convex Sets

The spectral gradient method has proved to be effective for solving large-scale unconstrained optimization problems. It has been recently extended and combined with the projected gradient method for solving optimization problems on convex sets. This combination includes the use of nonmonotone line search techniques to preserve the fast local convergence. In this work we further extend the spectral choice of steplength to accept preconditioned directions when a good preconditioner is available. We present an algorithmthat combines the spectral projected gradient method with preconditioning strategies toincrease the local speed of convergence while keeping the global properties. We discuss implementation details for solving large-scale problems.     

Gradient Estimation Schemes for Noisy Functions

In this paper, we analyze different schemes for obtaining gradient estimates when the underlying functions are noisy. Good gradient estimation is important e.g. for nonlinear programming solvers. As error criterion, we take the norm of the difference between the real and estimated gradients. The total error can be split into a deterministic error and a stochastic error. For three finite-difference schemes and two design of experiments (DoE) schemes, we analyze both the deterministic errors and stochastic errors. We derive also optimal stepsizes for each scheme, such that the total error is minimized. Some of the schemes have the nice property that this stepsize minimizes also the variance of the error. Based on these results, we show that, to obtain good gradient estimates for noisy functions, it is worthwhile to use DoE schemes. We recommend to implement such schemes in NLP solvers.We thank our colleague Jack Kleijnen for useful remarks on an earlier version of this paper and Gül Gürkan for providing us with relevant literature. Moreover, we thank the anonymous referee for valuable remarks.     

关于黎曼流形上的一个扩散方程的一些梯度估计

我们给出关于黎曼流形上的扩散方程θtu=Δu-▽φ·▽u（这里φ是一个C^2函数）的一些梯度估计。这推广了R.Hamilton和Qi S.Zhang关于热方程的一些梯度估计。     

Adaptive Two-Point Stepsize Gradient Algorithm

Combined with the nonmonotone line search, the two-point stepsize gradient method has successfully been applied for large-scale unconstrained optimization. However, the numerical performances of the algorithm heavily depend on M, one of the parameters in the nonmonotone line search, even for ill-conditioned problems. This paper proposes an adaptive nonmonotone line search. The two-point stepsize gradient method is shown to be globally convergent with this adaptive nonmonotone line search. Numerical results show that the adaptive nonmonotone line search is specially suitable for the two-point stepsize gradient method.