关于积的三个三角恒等式的推广

一易证下列三个恒等式成立: (1)sinθsin(θ+π/ 3)sin(θ+2π/ 3) =sin3θ/4; (2)cosθcos(θ+π/3)cos(θ+2π/3) =-1/4cos3θ; (3)tgθtg(θ+π/3)tg(θ+2π/3) =-tg3θ。本文把上述三个恒等式予以推广,其一般形式为: (Ⅰ) multiply form j=1 to n sin(θ+(j-1)/nπ)=sinnθ/2~(n-1); (Ⅱ) multiply form j=1 to n cos(θ+(j-1)/nπ) =(-1)~(n-2) sinnθ/2~(n/1) (n为偶数), (-1)~(n-1)~2 cosnθ/2~(n-1)(n为奇数);     

高维Pedoe不等式的一个加强

设Ω(A_n),Ω(A'_n)是n维欧氏空间E~n(n≥3)中的两个n维单形,棱长分别为a_i,a'_i(i=1,2,…,C_(n+1)~2),体积为V_n,V'_n,各棱长的乘积分别为P_n,P'_n对θ∈(0,2],本文证明 sum from i=1 to C_(n+1)~2 (a'_i~θ(sum from j=1 to C_(n+1)~2 (a_i~θ-2a_i~θ))≥((n(n+1)(n~2+n-47))/8)·[2~n(n!)~2/n+1]~(θ/n)[(P'_n/P_n)~(2θ/n(n+1))V_n~(2θ/n)+(P_n/P'_n)~(2θ/n(n+1))V'_n~(2θ/n)]等号成立当且仅当n(A_n),n(A'_n)均为正则单形。     

要重视角的范围的讨论

三角题常常涉及到角的范围问题,稍不留意,就会失误,因此在三角学习中,要重视对角的范围的讨论。一、挖掘隐含条件,明确角的范围有时已知条件没有直接告诉角的范围,需要认真分析已知条件,进行综合推理,得出角的范围。例1 如果θ是第二象限角,且 cos(θ/2)-sin(θ/2)=(1-sinθ)~(1/2),那么θ/2是第几象限的角? 解∵2kπ π/2<θ<π 2kπ(k∈Z), ∴kπ π/4<θ/2<π/2 kπ。即2nπ π/4<π/2 2 2nπ(n∈Z) 或2nπ 5π/4<θ/2<3π/2 2nπ (1) 又cos(θ/2)-sin(θ/2)=(1-sinθ)(1/2)即cos(θ/2)-sin(θ/2)=|cos(θ/2)-sin(θ/2)|,     

min{max|x~n a_1 x~(n-1) a_2 x~(n-2) … a_(n-1) x a_n|}(x∈A)问题

引理1设n∈N,且n≥2则cosnθ=12n-1cosnθ q1·cos(n-2)θ q2·cos(n-4)θ …(1)(其中q1,q2,……均为与n有关的常数)说明:文[1]给出了余弦的n(n≥2,n∈N)次降幂公式:cosnθ=12n-1nk=0Ckncos(n-2k)θ.将上式整理即有:cosnθ=12n-1cosnθ 12n-1C1ncos(n-2)θ 12n-1C2ncos(n-4)θ     

等距节点三角插值的Lebesgue常数的渐近展开

设 f(x)是以2π为周期的一个周期函数,我们知道对于[0,2π]上的2n 1个节点 θ_k=k(2π/(2n 1)),k=0,1,2,…,2n,(1)存在唯一的n次三角多项式L_n(f,θ),满足L_n(f,θ_k)=f(θ_k),k=0,1,2,…,2n。这里     

关于Kumar和Mathur一文的注记

1°记T_n(x)=cosθ(x=cosθ)为多项式,x_k=cosθ_k=cos(2k-1/2n)π(k=1,…,n)是它的n个零点。以(1-x~2)T_n(x)的零点为节点的Lagrange插值多项式有如下形式:     

拟Hermite-Fejer插值多项式的逼近特性

设f∈C[-1,1],x_(h,n)=ciskπ/n+1,k=1,2…,n为第二类Chebyshev多项式U_n(x)=sin(n+1)θ/sinθ(x=cosθ)的零点。拟Hermite-Fejer插值多项式为O_n(f,x)=((1+x/2)f(1)+(1-x/2)f(-1))(U_n(x)/n+1)~n+     

联系三个n维单形体积的不等式

设∑_A,∑_B,∑_C是n维欧氏空间E~n(n≥3)中三个n维单形,它们的棱长分别是a_i,b_i,c_i(i=1,2,…,c~2_(n+1)),体积分别是V_A,V_B,V_C。本文证明了下列定理。设实数α≥0,β≤an(n≥3)且α,β不全为零。(1)如果θ_1,θ_2,θ_3∈[0,1],那末(1)并且(1)中等号成立当且仅当Σ_A,Σ_B,Σ_C都是正则单形,(2)当θ_1∈(1,2],θ_2,θ_3∈(0,1]且Σ_A的的每一个三角形侧面都是锐角三角形时,不等式(1)仍成立。     

数学问题解答

20 0 4年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 1 6　正方形A1 A2 A3A4的中心为O ,边长为 2a ,在以O为圆心 ,半径为R的圆上任取一点P ,设P到A1 A2 ,A2 A3,A3A4,A4A1 的距离分别为d1 ,d2 ,d3,d4,求证 :dn1 +dn2 +dn3+dn4≤ 2 [(a+ R2 ) n+ (a- R2 ) n](n∈N)当且仅当n=1 ,2 ,3时取等号证明　建立如图所示的直角坐标系 ,并设P(Rcosθ,Rsinθ) ,则有d1 =a +Rsinθ ,d3=a-Rsinθ,d2 =a -Rcosθ,d4=a+Rcosθ若用 [n2 ]表示 n2 的整数部分 ,则由二项式定理得dn1 +dn2 +dn3 +dn4 =(a+Rsinθ) n + (a-Rsinθ) n + (a +Rcosθ) n …     

正多边形的最优染色分割问题

任意将边长为1的正m边形及其内部每点染n种颜色Y1,Y2,…,Yn中的一种颜色.分别记染色为Y1,Y2,…,Yn的点组成的集合为Sm 1,Sm 2,…,Sm n,这样的剖分称为Sm的n-染色剖分,并以T(m,n)表示.以dm i表示集合Sm i(i=1,2,…,n)的直径.记D(m,n)=m ax{dm 1,dm 2,…,dm n}及θ(m,n)=in fT(m,n){D(m,n)}.证明了θ(6,2)=132,θ(6,3)=32,θ(6,4)=3-3.最后提出了猜想和问题.     

连通区域的最优分割与最优染色分割

Ψ(∑,n)和θ(Σ,n)分别表示连通区域∑的n-分割最优值和n-染色分割最优值,记g(Σ,n)=(Ψ(Σ,n))/(θ(Σ,n)).对于由某些连通区域构成的连通区域集(?),记g(θ,n)=sup{g(Σ,n)}.证明:若θ_1为连通凸区域集,则g(θ_1,3)≥3/2.∑∈θ     

广义超特殊p-群的自同构群(Ⅱ)

重新确定了广义超特殊p-群G的自同构群的结构.设|G|=p~(2n+m),|ζG|=p~m,其中n≥1,m≥2,Aut_cG是AutG中平凡地作用在ζG上的元素形成的正规子群,则(i)若p是奇素数,则AutG=〈θ〉×Aut_cG,其中θ的阶是(p-1)p~(m-1);若p=2,则AutG=〈θ_1,θ_2〉×Aut_cG,其中〈θ_1,θ_2〉=〈θ_1〉×〈θ_2〉≌Z_(2m-2)×Z_2.(ii)如果G的幂指数是p~m,那么Aut_cG/InnG≌Sp(2n,p).(iii)如果G的幂指数是p~(m+1),那么Aut_cG/InnG≌K×Sp(2n-2,p),其中K是p~(2n-1)阶超特殊p-群(若p是奇素数)或者初等Abel 2-群.特别地,当n=1时,Aut_cG/InnG≌Z_p.     

一种方式分组随机模型中估计方差分量的最小风险设计

§1.引言一种方式分组随机模型:y_(ij)=β α_i ε_(ij),i=1,…,n,j=1,…,m_i,(1.1)其中 ε_(ij)(i=1,…,n,j=1,…,m_i)是相互独立的随机误差,α_i(i=1,…,n)是独立的随机变量.Eα_i=Eε_(ij)=0,varε_(ij)=θ_1>0,varα_i=θ_2≥0,cov(α_i,ε_(ij))=0.β、θ_1、θ_2是未知参数,β∈R~1,(θ_1,θ_2)~T∈Θ(?){θ_1>0,θ_2≥0}.     

含根式不等式的处理方法

含根式不等式因技巧性较强,历年来颇受命题者喜爱,下面请欣赏几例. 一、三角代换例1 已知xi≥0,x0=0,sum from i=0 to nxi=1.求证:sum from i=1 to n xi/(1+x0+…+xi-1)(xi+…+xn)~(1/2)<π/2.证明 令x0+…+xi-1=sinθi-1,0=θ0≤θ1≤θ2≤…≤θn=π/2.则原式=sum from i=1 to n sinθi-sinθi-1/cosθi-1     

截尾寿命试验中参数的 MLE 的收敛速度

本文所考虑的截尾寿命试验是一种包含定时和定数截尾的混合型寿命试验。它的做法是从总体中随机抽取 n 个个体,同时进行寿命试验。如果在时刻 T 之前观察到 r_n 个个体“寿终”,则试验就在第 r_n 个寿终的时刻停止,否则就进行到时刻 T 为止。确切地,设 n个样品的寿命为 X_1(ω),X_2(ω),…,X_n(ω),它们均取值于(0,∞),为样本空间((?),(?),P_θ∶θ∈Θ)上相互独立同分布的随机变量。P_θ{X_i(ω)x}=F(x,(?)θ)(1≤i≤n),且F(x,θ)具有密度函数 f(x,θ)。这里θ∈Θ,Θ是 m 维欧氏空间中非空开集。设 X_1~(n)(ω)≤X_2~(n)(ω)≤…≤X_n~(n)(ω)是 X_1(ω),X_2(ω),…,X_n(ω)的从小到大的变叙。令     

关于线性型的一个转换定理

<正> 命θ_1,…,θ_n为一组实数,n≥2;1,θ_1,…,θ_n信在有理数域上线性无关.对实数x,命 ‖x‖=min(x-[x],[x]+1-x),x=max(1,|x|).ε表示任意给定的正数,c_1,c_2表示仅依赖于ε,n,θ_1,…,θ_n的正常数.     

一般损失下k近预测条件风险的指数界

<正> 设(X,θ)为R~d×R~1上随机变量.(X_1,θ_1),…,(X_n,θ_n)为它的独立同分布样本.设X的值已观测,记Z_n=((X_1,θ_1),…,(X_n,θ_n)),要用X和Z_n的值去预测θ的值.设‖·‖为R~d中欧氏距离或最大分量模距离,将X_1,…,X_n重排为X_(n1),…,X_(nn).使得‖X_(n1)‖-X‖≤‖X_(n2)-X‖≤…≤‖X_(nn)-X‖,以θ_(n1),…,θ_(nn)记相应的匹     

一道竞赛试题解法探究

例 1　 ( 1995年数学冬令营第五题 )设xi >0 ,∑ni =1xi=1(i =1,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni =1xi1+ (x1+x2 +… +xi- 1)xi+xi+ 1+… +xn≤ π2 .证　令sinθi=∑ik =1xk ,θ0 =0 (i =1,2 ,… ,n) ( 0<θi≤ π2 ) ,则∑ni=1xi1+ (x1+x2 +… +xi - 1)xi+xi + 1+… +xn=∑ni =1sinθi-sinθi- 11+sinθi - 11-sinθi- 1=∑ni =12sin θi-θi - 12 cosθi+θi- 12cosθi - 1≤∑ni =12sinθi-θi - 12<∑ni =1(θi-θi - 1)=θn -θ0 =π2 .例 1的命制及解法均含有高等数学中的思想方法 ,为了说明问题 ,我们给出如下两个结论 .定理 1　设 f(x) 是区…     

多参数同时估计的容许性

令 X_1,…,X_n 是一串独立随机变量,且 X_1～P_(θ_i)θ_i∈(?)_i,(i=1,2,…,n),假设估计θ_i 的损失函数为 L(θ_i,d_i),δ_i(X_i)是仅依赖 X_i,θ_i 的一个容许估计(i=1,2,…,n).现在我们要同时估计(θ_1,…,θ_n)′(?)θ,其损失函数取为 sum from i=1 to n L(θ_i,d_i),那么(δ_i(X_1),…,δ_n(X_n))′是θ的容许估计吗?早在50年代,Stein 就证明了,在 n≥3,X_i～N(θ_i,1),L(θ_i,d_i)=(θ_i-d_i)~2条件下,上述结论不成立.近20余年,很多作者也研究了这个问题,指出 Stein 的现象对许多分布,例如 Poisson 分布,Gama 分布,负二项分布及位置参数估计皆存在.但在什么条件下,(δ,(X_1),…,δ_n(X))′是容许的则很少研究,仅仅有少数特殊情况下的结果(见[3]).本文给出了相当一般的充分条件(定理1.1),利用定理1.1,研究了 L(θ_i,d_i)=λ(θ_i)(g(θ_i)-d_i)~2时,结论成立的充分条件(定理2.1).还给出了多个位置参数,Pitman 估计为容许的充分条件.最后一节给出了五个具体例子,它包括在平方损失下,多个正态密度及分布函数的容许估计;参数自然区间 为有限区间之指数族分布,在平方损失下,同时估计多个均值的线性容许估计;若 X_i～Poisson 分布 P_(2_i),i=1,2,…,n(a_1x_1,…,a_nx_n)′在损失函数sum from i=1 to n     

广义超特殊p-群的自同构群Ⅲ

确定了广义超特殊p-群G的自同构群的结构.设|G|=p~(2n+m),|■G|=p~m,其中n≥1,m≥2,Aut_fG是AutG中平凡地作用在Frat G上的元素形成的正规子群,则(1)当G的幂指数是p~m时,(i)如果p是奇素数,那么AutG/AutfG≌Z_((p-1)p~(m-2)),并且AutfG/InnG≌Sp(2n,p)×Zp.(ii)如果p=2,那么AutG=Aut_fG(若m=2)或者AutG/AutfG≌Z_(2~(m-3))×Z_2(若m≥3),并且AutfG/InnG≌Sp(2n,2)×Z_2.(2)当G的幂指数是p~(m+1)时,(i)如果p是奇素数,那么AutG=〈θ〉■Aut_fG,其中θ的阶是(p-1)p~(m-1),且Aut_f G/Inn G≌K■Sp(2n-2,p),其中K是p~(2n-1)阶超特殊p-群.(ii)如果p=2,那么AutG=〈θ_1,θ_2〉■Aut_fG,其中〈θ_1,θ_2〉=〈θ_1〉×〈θ_2〉≌Z_(2~(m-2))×Z_2,并且Aut_fG/Inn G≌K×Sp(2n-2,2),其中K是2~(2n-1)阶初等Abel 2-群.特别地,当n=1时...