Decay of Solutions to 2-Dimensional Navier Stokes Equations

In this paper we want to establish sharp rates of both L~2 and L~∞ decay of glo-bal solutions to the initial value problems for 2-dimensional incompressible Navier-Stokes equations, with, initial data U_0(x)∈L_1∩L~2. U_t + U·U -△U + p = 0,·U = 0,U(x,0) = U_0(x), (1)where U = U(x,t) = (U_1(x,t),U_2(x,t)) is a real vector valued function, △is 2-di-mensional Laplace operator, is gradient operator. We will present a simple method for establishing the decay results.     

一类无静差和结构无静差系统的结构性质

一、问题的叙述 假设给定开环控制系统其中,y(·)∈R~m,是系统的分状态;u(·)∈R~r,是系统的控制输入;f(·)∈R~q,是系统的干扰输入;y_o(·)∈R~m,是系统的参考输入;e(·)∈R~m,是系统的跟踪误差,R~m表示m维欧氏空间。P_o(D)∈R[D]~(m×m),R_o(D)∈R[D]~m×r,M(D)∈R[D]~(m×q),D表示微分算子,R[D]~(m×r)表示m×r阶D的实系数多项式矩阵的全体。     

赋Day范数的c0（Г,X）的某些性质

设Г为一非空集，（X1||·||）为Banach空间，本主要结果如下：（1）U（C0（Г，X），p）为稳定的当且仅当U（X）是稳定的。（2）设Г为无限集，那么下列三条等价：（a)(c0(Г,X),p)有λ-性质，（b)(c0(Г,X),p)有一致λ-性质，（c)(X1||·||）有一致λ-性质。（3）设Г为有限集，那么（c0(Г,X),p)有λ-性质（相应地，一致λ-性质）当且仅当（X1||·||）有λ-性质（相应地，一致λ-性质）。（4）（C0（Г，X），p)有Kadets性质（相应地，Kadets-Klce性质）当且仅当（X1||·||）有Kadeta性质（相应地，Kadets-Klee性质）。（5）w∈S（Cp(Г,X),p)是U（c0(Г,X),p)的可凹点（相应地，PC）当且仅当对于任意的t∈S（w),w(t)是(x∈X:||x||≤||w(t)||）的可凹点（相应地，PC）。     

分布参数与集中参数耦合系统的极点配置问题

设 H 是可分的 Hilbert 空间,A 是空间 H 中的线性算子,b∈H 是非零元.考察空间H 中的一阶发展方程描述的控制系统(dx)/(dt)=Ax+bu(t),x(0)=x_0,(1)这里 u(t) 是控制量,是一数值函数.考察反馈控制律u(t)=〈x(t),g〉,(2)这里 g∈H 是非零元,〈·,·〉是 H 上的内积.     

不定常耦合型偏微分方程组非协调元方法的稳定性和收敛性

(1)a_(ij)~(k)(x)充分光滑,A~(k)(x)对x∈Ω为一致正定、有界的对称矩阵。 (2)对(x,p)∈Ω×R~2,D_1(x,p),一致有界且关于p满足Lipschitz条件。对(x,t,p)∈Ω×[0,T]×R~2,F(x,t,p)对P满足Lipschitz条件,F(x,t,0)∈L~∞([0,T];L~2(Ω)×L~2(Ω))。     

Schrdinger方程的解的概率表示

设{x(t),t≥,0}是 R~d(d≥1)中的 Brown 运动,P_x(·)是自 x 出发的 Brown 运动所产生的 Wiener 测度,E_x(·)表示关于 P_x 的积分,D 是 R~d 中的一个给定的有界区域,τ_D 是 Brown运动 x(t)首出 D 的时刻,q 是 D 内的一个给定的有界 Hlder 连续函数.为了简单起见,我     

有点作用的抛物型方程解的控制

本文讨论状态由右端有空间点作用的抛物型偏微分方程确定的控制问题。具体地说,给定Ω(Ω为R~n的开集)中的点b,以及(0,T)上的函数v=v(t),状态y=y_(v,b)(x,t)是下列方程的解: (y/t)+Ay=v(t)δ_b(t),x∈Ω,t∈(0,T),这里假设y的初值和边值都是零,δ_b是支点为b的Dirac函数,A是x的二阶椭圆型偏微分算子.被极小化的代价泛函为 其中z给定在Ω中,N>0。 这一问题是由Lions首先提出并研究的(也参看[10]-[12],[14],[15]).本文对此又作进一步系统讨论,特别是改正了原来的一些不准确的结果.例如,引入空间 U_b={v|v∈L~2(0,T),y_v,b(·,T)∈L~2(Ω)}.本文指出而不是以前所指出的本文也指出,Green公式一般也不成立,而应该是这里Q=Ω×(0,T),∑为Q的边界,A~*为A的共轭算子,v_A是关于A的外法线方向. 同时,本文还讨论了最优性的一阶必要条件,正则性结果;引入 (b)=inf J(v,b),v∈U_b.还讨论了对b的连续性、可导性、导数在边界上的性态以及对控制问题的应用等。     

抽象空间中 q 过程的唯一性准则

<正> 设(?)是一可测空间,(?)含(?)的一切单点集.称 q(x)-q(x,A)(x∈(?),A∈(?))是一对 q 函数,如果固定 A∈(?),q(·,A)与 q(·)都是 x 的(?)可测非负实值函数,固定x∈(?),q(x,·)是(?)上的有限测度且 q(x,(?))≤q(x),q(x,{x})=0.特别地,若 q(x)≡q(x,(?)),(x∈(?)),则称 q 函数是保守的.称马尔可夫过程(定义见[5]定义1.1)P(t,x,A)(t≥0,x∈(?),A∈(?))是一个 q 过程,如果     

On the Order of Affine Wavelet Approximation

Suppose h∈L~2(R), α_0>1, b_0>0 and h_(mn) (x) =α_0~(-m/2)h(α_0~(-m)x - nb_0),m,n∈Zand suppose that {h_(mn)} is a frame with frame bounds A,B>0,where <·,·> is the standard inner product on L~2(R) and ||·|| is the L~2 norm on R .Wecall {h_(mn)} the affine frame. Denote its dual frame by {h_(mn)} .It is well known that forany f ∈L~2 (R),     

加权弱型Hardy不等式

设1≤p,q<∞,f(x,y),U(x,y),V(x,y)是(0,∞)×(0,∞)上的非负可测函数。     

一类泛函微分方程的全局吸引性及应用

采用一种新方法研究时滞泛函微分方程x(t) a(t) (1 x(t) )ln(1 x(t) ) (1 x(t) )F(t,x(·) ) =0 ,的全局吸引性 ,并将所得结果应用于动物体内红血球生长模型 ,得到的全局吸引的充分条件 ,推广和改进了已有的结果     

非负定函数正则的充要条件

§0.引言为了下面解释的方便起见,我们首先给出如下几个定义:定义1 称一个连续实变复值函数φ(t)为一个非负定函数,如果对任何 n≥1,实数t_1,…,t_n 及复数λ_1,…,λ_n,有 sum from i,k=1 to n λ_iλ_kφ(t_i-t_k)≥0.而当φ(0)=1时,此φ(t)被称为标准非负定函数(实际上就是概率论中的特征函数).定义2 称非负定函数φ(t)是正则的,如果存在 f(x)∈L~1(-∞,∞),使φ(t)为f(x)的 L~1-Fourier 变换.而称产 f(x)为φ(t)的密度函数.定义3 设 g(t)是 L~1(-∞,+∞)中某函数的 L~1-Fourier 变换,若     

一类半整数自由度级的非线性共振及其在电力系统中的应用

本部分讨论下列两自由度实系统:(?) (1)其中“·”代表 d/(dt),λ_1>0,λ_2>0,ε为正小参数,k_1(t) 和 k_2(t) 是周期为(2x)/v 的周期函数.同时假设,f_1(x),f_2(x),k_1(t),k_2(t)都是足够光滑的.系统(1)包括双机电力系统为其特例.在§4中将叙述本文的结果在双机电力系统上的应用.本文关心的问题是在状态 x_1和 x_2之间,是否会发生周期与 k_1(t),k_2(t) 的周期相同的振动现象,以及具体的计算方法.为此,需要有 x 的方程.在 λ_1=λ_2时问题特别简单,     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

二阶非齐次微分方程属于极限圆型的判定

§1.引言 考虑二阶非齐次微分方程 (r(t)x′)′+p(t)x′+(q_1(t)+ q_2(t))x=f(t) (1)(这里 r(t)>0是[a,∞)上的绝对连续函数,p(t),q_1(t),q_2(t),f(t)是[a,∞)上局部可积的实函数),方程(1)称为极限圆型的,若方程(1)的所有解都属于L~2[a,∞)(简记为L.C.);方程(1)称为拉格朗日稳定,若方程(1)的所有解均属于L~∞[a,∞)(简记     

具边界反馈时滞的粘弹方程的能量衰减(英文)

考虑如下具边界反馈时滞的粘弹方程ut(x,t)-Δu(x,t)+∫0tg(t-s)Δu(x,s)ds=0,x∈Ω,t0,u(x,t)=0,x∈Γ0,t0,?u /?v=∫0tg(t-s)/vu(s)ds-μ1ut(x,t)-μ2ut(x,t-τ),x∈Γ1,t0,u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈Ω,ut(x,t-τ)=f0(x,t-τ),x∈Ω,0tτ,其中Ω∈Rn(n≥1)是具C2类边界Ω的有界域.此外,g是所谓的"记忆核",μ1,μ2是两个实数,τ为时滞.在假设|μ2|μ1下,通过构造合适的Lyapunov函数,证明上述问题能量的一般衰减性,使得指数型衰减和多项式衰减仅仅是其特殊情况.     

数学奥林匹克问题选登

1992年6月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 25.证明因为不等式(*)关于x,y,z对称,所以不妨设x≤y≤z,令y=x+m,z=x+m+n(x≥0,m≥0,n≥0),代入不等式(*)两边得 x·(x+2m+n)~2+(x+m)·(x+n)~2+(x+m+n)·(x-n)~2     

一类反应扩散差分方程组及有关的离散生态模型

§1.前言基于生物学中的离散模型,文章[1—5]研究了反应扩散差分方程的性质。反应扩散差分方程组,可由如下定解问题 LU=F(x.U),xΩ,t∈[0,T],Ω■R~n, U(x,t)=H(x,t),x∈■Ω,t∈(0,T],(1.1) U(x.0)=U~0(x),x∈Ω=Ω∩■Ω,     

关于逆转布朗运动的某些极限定理(Ⅱ)

设B={B_t,t≥0}是d≥2维的标准布朗运动,对a≥0,令S_a={x:|x|≤a},(?)S_a={x:|x|=a},以T_a表示首次命中(?)S_a的时间,令T=T_a∧T_b,对t>0令如上集空。L_a(t)=t-γ_a(t),L(t)=L_a(t)∧L_b(t),γ(t)=γ_a(t)∨γ_b(t)本文用时间逆转的方法研究了过程和(其中△(?)R~d)的泛函关于E~y(·|B_t=x)的条件期望在t趋于∞时的极限关系,推广了在d=1情况下所得到的各种结果。     

含有三角函数的一个积分公式

定理:设f(x)在La,a十ZT〕上可积(T>0)甲(x)在〔a,a十T〕上可积,且满足条件:了(Za+一{f(t)己‘+2,一)一,(二)+,(二),贝。有{f(二)‘:- O}T{叫‘)dr{:‘T,“’“’证明:J了(·)‘一{:‘’,(·)‘·十{口+2个f(x)‘:.在右端第二个积分中,令‘=2a+ZT一‘,‘任〔a,a+TJ一则当:二a+T时,t=a+T;二二a+2少时,t=a;又由条件:f(2。+ZT一t)=一f(t)+p(t),因此{:‘’r了(·)‘一{:‘r,‘·,‘二 实用中验证函数满足条件f(Za+ZT一劝二一f(x)+中(x)井不困难,因为我们总可取p(x)二f(Za+ZT一:)+f仁).问题在于甲(:)是否容易积分.而当甲(:)为零,常数或…