关于一类和式的估值

设｛ａｎ｝为递增的正项等差数列：ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，ｎ∈Ｎ，其中ｄ，ａ１＞０，本文讨论和式ｎｋ＝１１ａｋ＝１ａ１＋１ａ２＋…＋１ａｎ的估值，并解决文［１］中遗留的问题．定理１设ｄ≤２ａ１，则对任意ｎ∈Ｎ有ｍｎ≤ｎｋ＝１１ａｋ＜Ｍｎ①其中Ｍｎ...     

一个使用公式a_n=S_n-S_(n-1)应注意的条件

一个使用公式ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１应注意的条件陆志昌（山西太原幼儿师范学校０３００２７）１问题的提出已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ与ａｎ有下列关系：ａ１＝３，ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１，求ａｎ．解ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１（１）ａｎ＝２Ｓｎ－１＋２ｎ－...     

复合等差(比)数列的通项公式及其应用

我们看两类函数（１）｛ａｆ（ｎ）｝　（ｎ＝１,２,…）（２）｛ｆ（ａｎ）｝　（ｎ＝１,２,…）如果数列（１）、（２）是等差（比）数列,那么我们把它们称为复合等差（比）数列．于是,ａｆ（ｎ）＝ａｆ（１）＋（ｎ－１）ｄ或ａｆ（ｎ）＝ａｆ（１）ｑｎ－１．例１　数列｛ａｎ｝满足２Ｓ２ｎ＝２ａｎＳｎ－ａｎ（ｎ≥２）,ａ１＝２,求ａｎ及Ｓｎ．解　将ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１（ｎ≥１）代入等式,得　　　　２ＳｎＳｎ－１＝Ｓｎ－１－Ｓｎ．因为ａ１＝２≠０,故Ｓｎ≠０,上式可变为１Ｓｎ－１Ｓｎ－１＝２,∴　数列｛１Ｓｎ…     

1999年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题１．给定公比为ｑ（ｑ≠１）的等比数列｛ａｎ｝,设ｂ１＝ａ１＋ａ２＋ａ３,ｂ２＝ａ４＋ａ５＋ａ６,…,ｂｎ＝ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ,…,则数列｛ｂｎ｝（　　）．　（Ａ）是等差数列　　（Ｂ）是公比为ｑ的等比数列　（Ｃ）是公比为ｑ３的等比数列　（Ｄ）既非等差数列又非等比数列解　由题设,ａｎ＝ａ１ｑｎ－１,则　ｂｎ＋１ｂｎ＝ａ３ｎ＋１＋ａ３ｎ＋２＋ａ３ｎ＋３ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ＝ａ１ｑ３ｎ＋ａ１ｑ３ｎ＋１＋ａ１ｑ３ｎ＋２ａ１ｑ３ｎ－３＋ａ１ｑ３ｎ－２＋ａ１ｑ３ｎ－１＝ａ１ｑ３…     

一个不等式的推广及应用

若ａ∈Ｒ,则ａ２≥２ａ－１①当且仅当ａ＝１时等号成立．将此不等式推广到一般,有定理若ａ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａ２≥ｎａ－（ｎ－１）②当且仅当ａ＝１时等号成立．证由均值不等式,有ａ２＋（ｎ－１）＝ａｎ＋１＋１＋…＋１ｎ－１个≥ｎａ,∴ａｎ≥ｎａ－（...     

数学问题解答

１１６６１９９８年１２月号问题解答（解答由问题提供人给出）１．对任意自然数ｎ,试证：１２＋２２＋３２＋…＋ｎ２＜２证明构造数列｛ａｎ｝：ａ０＝２,ａ１＝ａ２０－１２,ａ２＝ａ２１－２２,…,ａｎ＝ａ２ｎ－１－ｎ２．下面数学归纳法证明：ａｎ＞ｎ２．显然...     

变通公式 巧妙解题

变通公式巧妙解题２５１７００山东惠民县一中吴庆余等差数列（ａｎ）：ａｎ＝ａ１十（ｎ－１）ｄ公式可巧妙地将ａｎ与Ｓｎ转换，用此公式处理ａｎ与Ｓｎ关系思路清新，功效独到．例１等差数列ａｎ前ｎ项和Ｓ。一５；ｌ’＋３ｎ求通项ａ。（例２在等差数列｛ａ。｝中，前...     

关于数列性质的探讨

一、等差数列根据等差数列的通项公式易得下面性质：性质１若数列｛ａｎ｝是等差数列，则ａ１＋ａｎ＝ａ２＋ａｎ－１＝…＝ａｒ＋ａｎ－ｒ＋１＝…，即与两端等距离的两项之和均相等．性质２若数列｛ａｎ｝是等差数列，则当ｍ＋ｎ＝ｋ＋ｔ时（ｍ，ｎ，ｋ，ｔ∈Ｎ），有ａ...     

两类数列变换在解题中的应用

利用数列｛ａｎ｝的如下两类变换：ａｎ＝ａ１＋（ａ２－ａ１）＋（ａ３－ａ２）＋…＋（ａｎ－ａｎ－１）及ａｎ＝ａ１ａ２ａ１ａ３ａ２…ａｎａｎ－１（ａｉ≠０,ｉ＝１,２,…,ｎ－１）不仅能简便地推导出等差数列和等比数列的通项公式,而且灵活运用它们还能简捷、...     

高阶等比数列的划分

文［１］研究了（一阶）等比数列的高阶等差划分的问题,证明了等比数列的均匀划分仍为等比数列,一阶等差划分为３阶等比数列,并猜想ｋ阶等差划分为２ｋ＋１阶等比数列．本文证明：定理　ｓ阶等比数列的ｔ阶等差划分数列为ｓｔ＋ｓ＋ｔ阶等比数列．为了阅读方便,我们先简述一下有关概念．设｛ａｎ｝＝｛ａ（０）ｎ｝为任一数列（ａｎ≠０）．记ａ（１）ｎ＝ａ（０）ｎａ（０）ｎ＋１,…,ａ（ｓ）ｎ＝ａ（ｓ－１）ｎ＋１ａ（ｓ－１）ｎ,则｛ａ（ｓ）ｎ｝称为｛ａｎ｝的ｓ阶商数列．若ａ（ｓ）ｎ＝ｑ（非１常数）,对ｎ∈Ｎ均成立,则｛…     

一类数列问题的解答辩析

一类数列问题的解答辩析常绪珠王晓刚（湖北钟祥一中４３１９００）很多资料对一类求数列通项的问题的解答是错误的．现举一例，与大家共同商讨．例数列｛ａｎ｝满足２ａＳｎ＝ａｎ＋１，求通项ａｎ．解∵Ｓｎ＝ａｎ＋１，∴ａ１＝１．∵２Ｓ１＝ａｎ＋１，∴４Ｓｎ＝（ａ...     

关于两类分式不等式问题

文［１］例６试图将一道ＩＭＯ试题推广为“若ｎ（ｎ≥３）个非负实数ａ１,ａ２,…,ａｎ满足ａ１ａ２＋ａ２ａ３＋…＋ａｎａ１＝１,及ｎｉ＝１ａｉ＝ｓ,且ｍ≥１,则ｎｉ＝１ａｍｉｓ－ａｉ≥ｎ（３－ｍ）／２ｎ－１①当且仅当ａ１＝ａ２＝…＝ａｎ＝１ｎ时取等...     

n阶时滞差分方程的边值问题

本文研究ｎ阶时滞差分方程的边值问题：ｘ（ｋ＋ｎ）＝ｆ（ｋ，ｘｋ（），ｘ（ｋ），ｘ（ｋ＋１），…，ｘ（ｋ＋ｎ－１）），ｋ∈ＩＴ，ｘ（ｍ）＝φ（ｍ），ｍ∈Ｉ－ｒ，ｘ（１）＝ａ１，ｘ（２）＝ａ２，…，ｘ（ｎ－２）＝ａｎ－２，ｘ（Ｔ）＝Ａ，｛得到了解的存在性和唯一性的结果．     

巧构函数解一类三角问题

定理设ｆ（ｘ）＝ａ１ｓｉｎ（ｘ＋α１）＋ａ２ｓｉｎ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｓｉｎ（ｘ＋αｎ）（或ｆ（ｘ）＝ａ１ｃｏｓ（ｘ＋α１）＋ａ２ｃｏｓ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｃｏｓ（ｘ＋αｎ））（ａｉ,αｉ是常量,ｉ＝１,２,…,ｎ）．如果对ｘ１,ｘ２（ｘ１－ｘ２...     

一组互相关联的不等式命题

大家知道，由ｎ元均值不等式可方便地得到如下一个不等式：设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），则∑ｎｉ＝１ａｉ∑ｎｉ＝１１ａｉ≥ｎ２；（１）不等式（１）相当有用，对它作适当代换，可引出一组互相关联的不等式命题；首先，对（１）作代换（Ｓ－ａ１，Ｓ－ａ２，…，Ｓ－ａｎ）→（ａ１，ａ２，…，ａｎ），其中Ｓ＝∑ｎｉ＝１ａｉ，得命题１　设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），∑ｎｉ＝１ａｉ＝Ｓ，则∑ｎｉ＝１１Ｓ－ａｉ≥ｎ２（ｎ－１）Ｓ　；（２）证明　由（１），∑ｎｉ＝１（Ｓ－ａｉ）∑ｎｉ＝１１Ｓ－…     

也谈实二次域类数的可除性

设ｄ无平方因子，ｈ（ｄ）是二次域Ｑ（ｄ）的类数，本文证明了：若１＋４ｋ２ｎ＝ｄａ２，ａ，ｋ＞１，ｎ＞２为正整数，且ａ＜０．９ｋ３５ｎ或ｎ的奇素因子ｐ和ｋ的素因子ｑ均适合（ｐ，ｑ－１）＝１，则除（ａ，ｄ，ｋ，ｎ）＝（５，４１，２，４）以外，ｈ（ｄ）≡０（ｍｏｄｎ）．同时，我们猜测：上述结果中的条件（ｐ，ｑ－１）＝１是不必要的．     

有限域上一类方程的解数公式

本文给出有限域Ｆｑ上一类方程ａ１ｘ１ｄ１１…ｘｎｄ１ｎ＋ａ２ｘ１ｄ２１…ｘｎｄ２ｎ＋…＋ａｓｘ１ｄｓ１…ｘｎｄｓｎ＝ｂ的解数公式，这里ｄｉｊ＞０，ａｉ∈Ｆｑ，ｉ＝１，…，ｓ，ｊ＝１，…，ｎ．特别当ｓ＝ｎ，ｇｃｄ（｜ｄｉｊ｜，ｑ－１）＝１时，得到了简明的解数公式．     

对一道探索性问题的质疑

对一道探索性问题的质疑徐鸿迟（江苏省泰州中学２２５３００）张必华在［１］中对“已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝５６，ａｎ＋１＝１３ａｎ＋（１２）ｎ＋１（ｎ１），并且数列｛ａｎ＋１－１２ａｎ｝是公比为１３的等比数列，求通项ａｎ”的《问题》进行了探索，并指出...     

等比数列前n项和公式的七种推导方法

［题目］　在等比数列｛ａｎ｝中,已知首项ａ１和公比ｑ,求前ｎ项和Ｓｎ．［方法１］——先让学生演算Ｓ１,Ｓ２,Ｓ３,Ｓ４,然后启发学生猜想结论,让学生在探索过程中发现公式,培养学生的探索精神．当ｑ≠１时,Ｓ１＝ａ１＝ａ１（１－ｑ）１－ｑＳ２＝ａ１＋ａ１ｑ＝ａ１（１－ｑ）１－ｑ（１＋ｑ）＝ａ１（１－ｑ２）１－ｑＳ３＝ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ２＝ａ１（１－ｑ２）１－ｑ＋ａ１ｑ２（１－ｑ）１－ｑ＝ａ１（１－ｑ３）１－ｑＳ４＝ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ２＋ａ１ｑ３＝ａ１（１－ｑ３）１－ｑ＋ａ１ｑ３（１－ｑ）１－ｑ＝…     

算术——几何平均不等式的简捷证明

算术——几何平均不等式是一个有着广泛应用的重要不等式．证明这个不等式有多种方法,但都较繁．本文给出一个比较简捷的证明方法．定理设ａ１,ａ２,…,ａｎ是ｎ个（ｎ∈Ｎ且ｎ≥２）正数,则１ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）≥ｎａ１ａ２…ａｎ,当且仅当ａ１＝ａ２＝…...