环面趣谈

日常生活中我们最常见的封闭曲面,除了球面以外,就要数轮胎面了,轮胎面在数学上叫做环面,游泳圈和救生圈的表面都是环面．环面的几何性质,既有一些与球面相同,也有一些与球面不同．首先从生成看,环面和球面一样也是旋转曲面,且都是由圆绕一条直线旋转而成,不过球面是由圆绕其直     

关于庞加莱（Poincare）猜想

法国人庞加莱（Henri Poincare）是科学史上的一位奇才，在数学、物理学方面都有卓越的贡献．在他的丰富科学遗产中，有一个拓扑学的命题，这就是困扰数学家一个世纪的“庞加莱猜想”．     

Clifford环面Sm(√m/n)×Sn-m(√n-m/n)的刚性定理

设 M 为 n 1 维单位球面sn 1(1) 中的一个极小闭超曲面,如果 n≤S≤n 2/3,则有 S=n 且 M 与某一 Clifford 环面Sm(√m/n)×Sn-m(√(n-m)/n)等距.     

美《科学》杂志评出2006年十大科学进展证明“庞加莱猜想”列榜首

2006年12月22日出版的美国《科学》杂志评出了本年度十大科学进展,证明“庞加莱猜想”名列首位.该杂志称,科学家们在2006年完成了“数学史上的一个重要章节”,这个“有关三维空间抽象形状”的问题终于被解决.这一数学猜想属于拓扑学分支,1904年由法国数学家庞加莱提出:“在一个     

等参函数及相关问题研究

著名的Yau 猜想断言单位球面中的紧致嵌入极小超曲面的Laplace 算子的第一特征值等于其维数. 近年来有许多几何学家致力于对Yau 猜想的研究, 但是到目前为止, 已有的结论只是一些关于第一特征值估计的不等式. 作为本文的一个主要结果, 本文证明了对于单位球面中的等参极小超曲面,Yau 猜想是正确的. 进一步地, 对于等参超曲面的焦流形(实际上是球面的极小子流形), 本文还证明了在一定维数条件下, 它的第一特征值也是其维数.
作为本文的第二个主要结果, 以著名的Schoen-Yau-Gromov-Lawson 的关于数量曲率的手术理论为出发点, 本文在一个Riemann 流形的嵌入超曲面处作手术, 构造了一个新的具有丰富几何性质的流形, 称为double 流形. 特别地, 本文在单位球面的极小等参超曲面处实行了这一手术, 发现得到的double 流形不仅有很复杂的拓扑(但其示性类有精确描述), 还存在数量曲率为正的度量, 更重要的是保持了等参叶状结构.
比Willmore 曲面更广泛的定义是Willmore 子流形, 即Willmore 泛函在球面中的的极值子流形.单位球面中的Willmore 子流形的例子在已有文献中是非常罕见的. 作为本文的另外两个主要结果, 通过深入挖掘单位球面上的OT-FKM- 型等参函数的焦流形的性质, 本文发现其极大值对应的焦流形是单位球面的一系列Willmore 子流形; 之后, 本文用几何办法统一证明了单位球面中具有4 个不同主曲率的等参超曲面的焦流形都是单位球面的Willmore 子流形. 这些新的Willmore 子流形是极小的,但一般不是Einstein 的.     

Clifford 环面 Sm(\sqrt{\frac{m}{n}})×Sn-m(\sqrt{\frac{n-m}{n}})的刚性定理

\small\zihao{-5}\begin{quote}{\heiti 摘要:} 设$M$为$n+1$维单位球面$S^{n+1}(1)$中的一个极小闭超曲面，如果 $ n \le S \le n+\frac{2}{3}$, 则有 $S=n$ 且 $M$ 与某一Clifford 环面 $S^m(\sqrt{m/n}) \times S^{n-m}(\sqrt{(n-m)/n})$等距.     

4维Lorentz空间形式中的类空Willmore曲面

本文研究4维Lorentz空间形式中的类空Willmore曲面.
这是Lorentz共形几何中与$S^4$中的Willmore曲面理论相对应的一个主题.
对每一个类空Willmore曲面定义了两类变换,
导出左/右polar曲面和伴随曲面.
这些新的曲面都是与原来曲面共形的Willlmore曲面,
并且它们满足一些有趣的对偶定理.
应用这些对偶定理, 我们分类了4维Lorentz空间形式中的类空Willmore球面. 最后作为例子, 构造了一族齐性类空Willmore环面.     

开曲面的凸性判别条件(二)

<正> 在本文(一)中我们给出了一个开曲面为凸曲面的充分必要条件.现在我们试图给出另一个判别条件.这里的记号以及局部凸的定义都与本文(一)的相同.我们先证明一个引理: 引理 设π为单连通的曲面,以γ为其周界,π是点点局部凸的.假设对于任一属于int π的点P,都至少有一个局部支持平面,记作S_p,使得S_p对周界γ有γS_p∪S_p~-.那么我们有γγ.当γ不在一个平面上时,γ~°是三维欧氏空间中的凸区域.这时γ°上     

突破维数障碍——天才数学家斯梅尔

<正>史蒂文·斯梅尔(Steven Smale,1930.7.15⁾是美国数学家,当今世界上最杰出的数学家之一,长期任贝克利大学教授.他在微分拓扑、动力系统、混沌理论、非线性分析、计算复杂性、数理经济学和学习理论等众多领域都做出了重要贡献.他成功解决了微分拓扑学中"广义庞加莱猜想",并创立了现代抽象微分动     

单位球面S~6中的Blaschke等参超曲面

单位球面中的一个无脐点浸入子流形称为Blaschke等参子流形如果它的Mbius形式恒为零并且所有的Blaschke特征值均为常数.维数m4的Blaschke等参超曲面已经有了完全的分类.截止目前,Mbius等参超曲面的所有已知例子都是Blaschke等参的.另一方面,确实存在许多不是Mbius等参的Blaschke等参超曲面,它们都具有不超过两个的不同Blaschke特征值.在已有分类定理的基础上,本文对于5维Blaschke等参超曲面进行了完全的分类.特别地,我们证明了S6中具有多于两个不同Blaschke特征值的Blaschke等参超曲面一定是Mbius等参的,给出了此前一个问题的部分解答.     

一类循环图在射影平面上的嵌入北大核心CSCD

嵌入的联树模型是研究图的曲面嵌入的一种有效方法,尤其能方便快捷地研究图在球面,环面,射影平面,Klein瓶上的嵌入。此方法通过合理选择生成树,得到联树和关联曲面,然后对关联曲面进行计数,计算出图在曲面上的嵌入个数.本文利用嵌入的联树模型得出了循环图C(2n+1,2)(n>2)在射影平面上的嵌入个数.     

一个关于球面和环面上嵌入图的近-三角剖分嵌入的内插定理(I)

一个近-三角剖分嵌入是指一个曲面上的嵌入图使得几乎所有的面都是三角形,至多只有一个可能的例外.文中作者证明了如下结论:如果一个图G 在球面S₀(或环面S₁)上有近-三角剖分嵌入,那么G在每一个可定向曲面S_k有近-三角剖分嵌入,其中k=h,h+1,\cdots ,\lfloor\frac{\beta(G)}{2}\rfloor$, 而h=0(或1)并且β(G)是图G的Betti数.特别地,G是上可嵌入的.     

空间形式中具有两个线性相关平均曲率函数的超曲面

在空间形式中, 我们构造了一类泛函, 其临界点包括极小与r 极小超曲面. 给出了临界超曲面的代数、微分和变分刻画. 我们证明了Simons 类不存在定理: 在单位球面中不存在稳定的临界超曲面. 同时证明了Alexandrov 类存在性定理: 在欧氏空间中球面是唯一的稳定的临界超曲面.     

关于球面中具常数量曲率的紧致极小超曲面的一个注记

设M是单位球面S~(n+1)中的一个n维紧致极小超曲面.k表示它的第二基本形式,S表示h的长度的平方.由Gauss方程可知S是内在的且由下式决定 S=n(n—1)—R,这里R是M的数量曲率,由此可知S为常数的充要条件是M具常数量曲率. 估计S的值域是一个十分引人注意的问题.Naoya Doi在[1]中给出了一个新的积分不等式,利用这一不等式,他证明了:若M的截面曲率以1为上界,则M是大球面或S≥2(2n—3).本文用另一简便方法证明了上述积分不等式并且改进了Naoya Doi的     

平方图的汉米尔顿性

一个图 G 的平方图(记作 G~2),是在 G 中把所有距离为2的点对用边相邻接而形成的图.本文主要结果是:定理.如果 G 是连通,无 S(K_(1,3))导出子图的图,则 G~2是顶点泛圈图.这样,Gould 和 Jacobson 提出的两个猜想得到证明.结合这一方向上已有的工作,平方图的汉米尔顿问题基本上得到满意的解决.     

球面展开轮设计

§1 问题的提出 在文[1]中,我们已经设计了一种球面展开轮。它由一对中心对称的曲面(圆锥面)组成。它与球面形成的系统满足下列三个条件: (1)当展开轮绕固定轴线z转动时,它的每一曲面与球面始终有一个接触点,球心O′只在OO′联线上运动,即在x轴上运动; (2))由此产生的球面转动的瞬时轴线在由O′以及球面与展开轮的两个接触点所决定的平面上;     

关于莫比乌斯带

在分析和拓扑学中,有一类称之为单侧曲面的,所谓单侧曲面,是指在曲面上任取一点D,引在这点的法线,这法线有两个可能的方向,我们认定其中一个方向,沿曲面画一个起自D又回到D的闭道路,并假定它不越过曲面的边界,令点D沿着这个闭路环行一周再回到D     

de Sitter空间中的类空超曲面在平均曲率下的形变

本文考虑了deSitter空间中紧致的类空扭曲面在平均曲率下的形变,证明了如果初始曲面满足某一Pinching条件,超曲面将收敛到一个球面．这一结论类似于球面上超曲面的情形,而与欧氏空间中的超曲面完全不同．     

Clifford极小超曲面的一个特征

1.引言 设M是单位球面S~(n 1)的紧致极小浸入超曲面,h表示共第二基本形式,S表示h长度的平方.由Gauss方程可知 S=n(n-1)-R,这里R是M的数量曲率.因而S是内在的.Chern,Do Carmo,Kobayashi和Lawson会证明,如果S=n,则M是一Clifford极小超曲面,其中k为小于n的正整数.这给出了Clifford极小超曲面的一个特征.     

纯量曲率和平均曲率成线性关系的完备超曲面

本文首先讨论纯量曲率R和平均曲率H满足R=kH,k=Const。的完备曲面帮超曲面。证得:R~3中这样的曲面是球面、柱面或平面;R~(n 1)中这样的超曲面当它是凸的且R有上界时是超球面、超平面或广义圆柱面;R~(2 p)(p≥1)中这样的曲面在一定附加条件下是包括球面和平面在内的四种曲面,最后讨论类似的子流形。这些结果改进或推广了[5,6,7]的结果。