构建复杂系统的解景观

很多交叉科学的实际问题在数学上都可以被归为求解具有多个变量的非线性函数或泛函的极小值问题,如何有效地寻找其能量景观的全局极小和如何找到不同极小之间的关系是计算数学领域两个长久以来尚未解决的重要科学问题.本文着重介绍近年来提出的“解景观”概念和方法.我们将回顾解景观的概念、构建解景观的鞍点动力学方法、以及解景观在液晶和准晶方面的应用.     

一类分数阶多项延迟微分方程的Jacobi谱配置方法

本文利用Jacobi谱配置方法数值求解了一类分数阶多项延迟微分方程,并证明了该方法是收敛的,通过若干数值算例验证了相应的理论结果,结果表明Jacobi谱配置方法求解这类方程是非常高效的,同时也为这类分数阶延迟微分方程的数值求解提供了新的选择,对分数阶泛函方程的数值方法的研究有一定的指导意义.     

几类分数阶多项比例延迟微分方程的Jacobi配置方法

本文利用Jacobi配置方法数值求解几类分数阶多项比例延迟微分方程初值问题,给出相应的误差分析,并利用若干数值算例验证了相应的理论结果,表明Jacobi配置方法求解这几类分数阶比例延迟方程是高效的.同时,也为分数阶泛函微分方程的数值算法提供新的研究思路.     

The Legendre Collocation Spectral Method for the Ground State Solutions of the Bose-Einstein Condensates北大核心CSCD

近年来,有关Bose-Einstein凝聚态基态解的实验研究已经取得了一系列重要的成果.该文在相关研究成果的基础上,首先通过降维和无量纲化方法将Bose-Einstein凝聚态基态解问题转换成能量泛函极值问题,在离散该泛函时,尝试使用Legendre配置谱方法离散该能量泛函的一维和二维情形.其次,对该能量泛函极小值问题进行了数值模拟.最后,通过分析实验数据结果和图像得出,针对非旋转的Bose-Einstein凝聚态的基态解问题可以使用Legendre配置谱方法来求解,且数值结果的误差较小.     

非线性泛函微分与泛函方程线性θ-方法的渐近稳定性

将线性θ-方法用于求解一类非线性泛函微分与泛函方程,结果表明:在问题真解渐近稳定的条件下,A-稳定的线性θ-方法(即1/2≤θ≤1)是渐近稳定的.数值试验的结果验证了所获理论的正确性.     

刚性Volterra泛函微分方程梯形方法的B-理论

最近,李寿佛建立了刚性Volterra泛函微分方程Runge_Kutta方法和一般线性方法的B-理论,其中代数稳定是数值方法B-稳定与B-收敛的首要条件,但梯形方法表示成Runge—Kutta方法的形式或一般线性方法的形式都不是代数稳定的,因此上述理论不适用于梯形方法.本文从另一途径出发,证明求解刚性Volterra泛函微分方程的梯形方法是B-稳定且2阶最佳B-收敛的,最后的数值试验验证了所获理论的正确性.     

具有梯度限制的四阶障碍问题的增广Lagrange迭代方法

基于加罚方法和增广Lagrange泛函, 本文给出了一种求解具有梯度限制的四阶障碍问题的增广Lagrange迭代方法, 并证明了算法的收敛性.通过采用非协调有限元离散的数值实验表明, 该算法是行之有效的.     

机械多体系统动力学非线性最优控制问题的Noether理论

基于群不变性原理求解了机械多体动力学系统非线性最优控制问题的Noether型守恒定律.该文主要研究一类理想完整约束下的受控机械多刚体系统,通过增广向量法将动力学Euler-Lagrange方程以状态空间形式表示,利用变分法得到最优控制问题最优解的状态方程、伴随方程和控制方程,对系统性能指标泛函进行包含时间、状态变量、协态变量和控制变量的Noether对称无限小变换,进而得到最优解方程组的守恒量,使最优解关系以一组代数方程形式表达,为最优解的积分方法以及各种数值算法都奠定了坚实基础.最后,以基础振动下机械臂非线性动力学的能量最优控制实例分析,说明了该文对称性方法的正确性.     

转子动力学的非线性数值求解

将Euler(欧拉)角表示引入转子动力学系统,用以描述转子的非线性旋转运动,并与时间有限元相结合,进而提出了包含非线性因素的转子动力学保辛数值求解方法.以此方法为基础,分析了悬臂梁-圆盘转子系统的涡动行为.数值结果证明该数值解法的有效性与正确性,可用于各种转子系统涡动行为分析.     

求解洛伦兹力系统的一个任意高阶的能量守恒格式

本文旨在提出一种求解带电粒子系统的任意高阶能量守恒格式.在使用能量不变二次化方法将原始哈密顿能量泛函转化为一个二次形式后,辛龙格-库塔方法被用来构造了一种新的能量守恒格式来求解洛伦兹力系统.新格式不仅能保持能量守恒,而且可以达到任意高阶.通过与经典的Boris方法和另一个二阶能量守恒方法对比,数值实验验证了所提算法的显著优越性.     

基于变分法对一类非线性扩散方程解析解研究

本文分别针对一类扩散系数为非线性指数函数和幂函数的扩散方程,基于变分原理中的泛函极值理论分别提出了求解该方程Dirichlet边界和Neumann边界问题解析解的新方法,并证明了新方法是泛函问题极值解的充要性.以非饱和土壤水分运动问题为背景,给出了积水和恒通量条件下水平吸渗问题的解析解,并通过数值算例将解析解与数值解进行了比较分析,结果表明本文方法得到的解析解能够准确预测非饱和土壤水分水平吸渗问题的土壤含水量分布,是一种有效方法。因此本文方法为求解这一类非线性扩散方程提供了一种有效的新方法.     

测地线活动轮廓模型的图像分割快速算法

从最优化理论的角度来看,目前求解图像分割的测地线活动轮廓(geodesic active contour,GAC)模型大多采用固定步长的最速下降算法.而众所周知,该算法收敛速度较慢,这在能量泛函的梯度较小时尤为明显.对求解GAC模型的快速算法进行了研究.首先,回顾了GAC模型的演化方程;随后,将共轭梯度(conjugate gradient,CG)算法引入到GAC模型的求解中,形成一种新的求解图像分割问题的数值方法,即GAC模型的CG算法;最后,通过试验对比传统的数值方法,表明CG算法具有良好的收敛性.     

求解波场变换反演问题的连续正则化方法

本文研究波场变换反演问题.利用连续正则化方法求解波场变换反演问题,构造展平泛函,基于已经正则化的变分问题用差分法作有限维逼近.利用偏差原理和Newton三阶迭代收敛格式选出最优的正则化参数,实施数值求解.通过对数值计算结果与已知波场函数对比,证明该方法的有效性和可行性.与离散正则化算法相比,本文的连续正则化算法具有保结构和收敛速度快等优点.     

带非局部边界条件的非线性抛物方程的隐式差分解法

在准静态弹性力学中常遇到求解带有非局部边界条件的抛物方程初边值问题.本文构造了一个数值求解带有非局部边界条件的非线性抛物方程的隐式差分格式,利用离散泛函分析的知识和不动点定理证明了差分解是存在的,且在离散最大模意义下关于时间步长一阶收敛,关于空间步长二阶收敛,并给出了数值算例.     

类Hartree-Fock方程的数值方法

本文的主要目的是介绍近年来大基组下的类Hartree-Fock方程数值求解的一些进展.类Hartree-Fock方程出现在Hartree-Fock理论和含杂化泛函的Kohn-Sham密度泛函理论中,是电子结构理论中一类重要的方程.该方程在复杂的化学和材料体系的电子结构计算中有广泛地应用.由于计算代价的原因,类Hartree-Fock方程一般只被用在较小规模的量子体系（含几十到几百个电子）的计算.从数学角度上讲,类Hartree-Fock方程是一个非线性积分-微分方程组,其计算代价主要来自于积分算子的部分,也就是Fock交换算子.通过发展和结合自适应压缩交换算子方法（ACE）,投影的C-DⅡS方法（PC-DⅡS）方法,以及插值可分密度近似方法（ISDF）,我们大大降低了杂化泛函密度泛函理论的计算代价.以含1000个硅原子的体系为例,我们将平面波基组下的杂化泛函的计算代价降至接近不含Fock交换算子的半局域泛函计算的水平.同时,我们发现类Hartree-Fock方程的数学结构也为一类特征值问题的迭代求解提供了新的思路.     

Markovian跳变不确定时滞分布参数系统的鲁棒控制

基于线性矩阵不等式方法对一类含Markovian跳变的不确定时滞分布参数系统的鲁棒控制进行了研究.通过构造恰当的Lyapunov泛函,计算弱无穷小算子,以一组线性矩阵不等式给出系统鲁棒镇定的充分条件.该充分条件易通过Matlab进行求解,方便实际应用.最后,数值例子验证了方法的有效性.     

中立型时滞系统的稳定性改进判据

研究了含有时变时滞的不确定中立系统的时滞相关稳定性问题.假定不确定参数是范数有界的,通过构造新的Lyapunov泛函和使用更一般的时滞分解方法,得到了基于LMI新颖的时滞相关稳定条件,并且用Matlab LMI工具箱很容易地求解.数值实例表明本文方法所得结果优于现有文献中的结果.     

非线性中立型泛函微分方程Runge-Kutta 法的稳定性和收敛性

本文涉及Runge-Kutta 法变步长求解非线性中立型泛函微分方程(NFDEs) 的稳定性和收敛性.为此, 基于Volterra 泛函微分方程Runge-Kutta 方法的B- 理论, 引入了中立型泛函微分方程Runge-Kutta 方法的EB (expanded B-theory)-稳定性和EB-收敛性概念. 之后获得了Runge-Kutta 方法变步长求解此类方程的EB - 稳定性和EB- 收敛性. 这些结果对中立型延迟微分方程和中立型延迟积分微分方程也是新的.     

三维电阻抗成像的体积元方法的数值模拟和分析

电阻抗成像是一类椭圆方程反问题,本文在三维区域上对其进行数值模拟和分析.对于椭圆方程Neumann边值正问题,本文提出了四面体单元上的一类对称体积元格式,并证明了格式的半正定性及解的存在性;引入单元形状矩阵的概念,简化了系数矩阵的计算;提出了对电阻率进行拼接逼近的方法来降低反问题求解规模,使之与正问题的求解规模相匹配;导出了误差泛函的Jacobi矩阵的计算公式,利用体积元格式的对称性和特殊的电流基向量,将每次迭代中需要求解的正问题的个数降到最低.一系列数值实验的结果验证了数学模型的可靠性和算法的可行性.本文所提出的这些方法,已成功应用于三维电阻抗成像的实际数值模拟.     

区间时变时滞Markov跳变系统的一种改进稳定性分析方法

采用一种新型的Lyapunov-Krasovskii泛函对线性时变时滞Markov跳变系统的稳定性进行研究.提出一种基于交叉项和积分项与标量函数乘积的新型增广LyapunovKrasovskii泛函.该函数中含有更多独立增广变量,有利于减小系统稳定性相对于时滞的保守性.利用二次凸组合、交叉项估计推导出系统随机渐近稳定时滞依赖的充分条件,并进一步求解线性矩阵不等式.数值算例说明所提方法的正确性和有效性.