对一个几何不等式猜想的证明

刘健老师在文［１］中曾提出了一个难度较大的几何不等式猜想，即Ｓｈｃ２７在锐角△ＡＢＣ中，证明或否定∑ｗｂｗｃｂｃ≥９４．（１）本文将证明（１）式成立．我们在文中约定如下符号：△ＡＢＣ的三边长为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，其对应边上的角平分线分别为ｗ...     

关于莫莱三角形两个猜想的修正

文［１］首先证明了莫莱三角形的一条性质：性质１　将△ＡＢＣ各内角三等分,每两个角的相邻三等分线相交得△ＰＱＲ,∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的平分线分别与ＱＲ、ＲＰ、ＰＱ交于点Ｘ、Ｙ、Ｚ,则ＰＸ、ＱＹ、ＲＺ三线共点．最后猜想：性质１中三点Ａ、Ｘ、Ｐ;Ｂ、Ｙ、Ｑ;Ｃ、Ｚ、Ｒ分别共线;进而猜测△ＡＢＣ与其内莫莱△ＰＱＲ对应顶点的连线：ＡＰ、ＢＱ、ＣＲ共点,且该点为△ＡＢＣ的内心．经探究,笔者发现：上述两个猜想并不成立．现修正为如下两个命题．命题１　在性质１的条件下,Ａ、Ｘ、Ｐ;Ｂ、Ｙ、Ｑ;Ｃ、Ｚ、Ｒ分别共线的充要…     

关于Fermat点的一个猜想不等式

设△ＡＢＣ的各内角都小于１２０°，Ｆ是△ＡＢＣ内部一点，且使∠ＢＦＣ＝∠ＣＦＡ＝∠ＡＦＢ，则称Ｆ是△ＡＢＣ的Ｆｅｒｍａｔ点．陈计先生在文［１］末尾提出如下猜想设△ＡＢＣ的旁切圆半径是ｒａ，ｒｂ，ｒｃ，角平分线长是ｗａ，ｗｂ，ｗｃ，中线长是ｍａ，ｍｂ，...     

一个猜想的加强及其证明

一个猜想的加强及其证明５１１４００广州市番禺中学严运华匡继昌先生所著《常用不等式》一书中附录《１００个未解决的问题》中列出了角平分线的如下猜测：设面ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ．其对应的角平分线为人、ｔ。、ｔｃ，ＷＪＪ二十二十二＞二十二—一二（）贵刊１９...     

涉及三角形折中点的一个性质

设Ｆｘ为△ＡＢＣ的三边ａ,ｂ,ｃ中除ｘ边的另两边所在折线的中点,称Ｆｘ为相对于ｘ边的折中点．对于△ＡＢＣ的折中点,有如下 定理 如图 １,设Ｆｘ是△ＡＢＣ的折中点,Ｉｘ是△ＡＢＣ中ｘ边对角的平分线与ｘ边的交点,ｘ∈｛ａ,ｂ,ｃ｝,ａ≥ｂ≥ｃ,则ＦａＩａ、ＦｂＩｂ、ＦｃＩｃ三线共点的充要条件是ａ＝ｂ或ｂ＝ｃ． 定理的证明需用到如下引理： 引理 １ 条件同定理,则ＩａＩｂ／／ＦａＦｂ且 证明 如图１,由内角平分线性质得 从而同理有于是,且有 引理 ２ 如图２,Ｐ,Ｑ为△ＡＢＣ边ＡＢ,ＡＣ上的点,ＰＱ ／／ ＢＣＪ…     

问题征解

编者按　杨学枝老师提出下述四个猜想，并自费为之设奖．对最先完整给出解答者，每一题奖给５０元，奖金由杨学枝直接寄给解答者（解答请寄３５００１５福建省福州市第二十四中学）．正确解答将在本刊刊出．猜想　在非钝角△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，ｍａ、ｍｂ、ｍｃ与ｔａ、ｔｂ、ｔｃ分别为边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的中线与角平分线．１．若ａ最大，试求使不等式（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥λ（ｍｂ－ｍａ）（ｍｃ－ｍａ）成立的最大常数λ．猜想λｍａｘ＝４９（３－２２）（７＋２１０）；２．若ａ最大，试求使不等式（ａ－ｂ…     

一个猜想的否定

１９６７年，Ｖ．Ｏ．Ｃｏｒｄｏｎ建立了三角形的边长与高之间的不等式∑ａ２ｈ２ｂ＋ｈ２ｃ≥２．［１］文［２］把上述不等式加强为∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥２（ｔａ、ｔｂ、ｔｃ为△的内角平分线长，ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的边长，∑表示对ａ、ｂ、ｃ循环求和），并提出猜想∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥Ｒｒ（Ｒ、ｒ分别为△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径）．本文否定这一猜想，并由此得不等式链：２≤∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≤Ｒｒ（当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时等号成立）．证明　由角平分线长公式，有ｔ２ａ＝ｂｃ（ｂ＋ｃ）２·（ａ＋ｂ＋…     

三角形外心的一个性质

定理 若点 Ｄ在△ＡＢＣ的边 ＡＢ上,且∠ＣＤＢ＝α,Ｍ１、Ｍ２、Ｍ 分别 为 △ＡＤＣ、△ＤＢＣ、△ＡＢＣ的外心则 证明（１）建如图１所示的平面直角坐标系．设Ａ（α,０）,Ｄ（ｄ,０）,Ｂ（ｂ,０）,Ｃ（０,ｃ）,则线段ＡＤ、ＤＢＪＢ的垂直平分线方程分别 易得线段ＡＣ书Ｃ的垂直平分线方程分 ０ＭＩ和ＯＭ;的连心线ＭＩＭＺ垂直平分其公共弦ＣＤ．三角形外心的一个性质@胡斌$山东省惠民师范学校!251700     

角平分线的运用

角平分线在几何题中经常出现 .熟悉角平分线的处理方法是解决与角平分线有关问题的关键 .本文仅以 2 0 0 2年两道竞赛题的多种证法为例 ,说明角平分线的运用技巧 .一、用角平分线的定义图 1如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0°,∠ＡＣＢ的平分线ＣＤ和∠ＡＢＣ的平分线ＢＥ交于点Ｇ .求证 :ＧＥ =ＧＤ .( 2 0 0 2年重庆市初中数学决赛试卷Ｂ卷 )证明　连结ＡＧ .∵　角平分线ＢＥ、ＣＤ交于Ｇ ,∴　ＡＧ是∠ＣＡＢ的平分线 .又　∠ＣＡＢ =6 0°,∴∠ 3 =∠ 1 +∠ 2 =12 ( 1 80°-6 0°) =6 0°.∴　∠ＤＧＥ =1 2 0°.故　∠ＣＡＢ +∠ＤＧＥ …     

三、一个几何不等式的证明

三、一个几何不等式的证明石世昌（浙江新昌中学３１２５００）文［１］提出了如下猜想：设Ｐ，Ｑ，Ｒ分别位于西ＡＢＣ的边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上，且将同界三等分，则ｏＲ‘“ＲＰ‘＋Ｐｏ‘＞２－‘（ＢＣ‘＋ＣＡ‘＋ＡＢ＊）（１）其中ｋ是正整数．文【Ｚｊ证明了当Ｐ，...     

关于角平分线的几个不等式

关于角平分线的几个不等式福州二十四中杨学枝本文将用初等方法提出并证明若干个新近发现的关于三角形角平分线的不等式，这些不等式形式优美，内容深刻．在行文中为了避免重复，本文规定引用以下记号；凸ＡＢＣ三边长为ＢＣ－ａ，ＣＡ－ｂ，ＡＢ－Ｃ，其外接圆半径、内切...     

有关三角形内心性质命题的评注

文［１］介绍了有关三角形内心性质的如下一个命题：设△ＡＢＣ的内角平分线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ相交于Ｉ,求证：　　　ＡＩＤＩ＋ＢＩＥＩ＋ＣＩＦＩ≥６．①无独有偶,文［２］用三角形的有关心距公式对第３２届ＩＭＯ的一道试题给出了解答．题目为：设Ｉ为△ＡＢＣ的内心,ＡＩ、ＢＩ、ＣＩ分别交对边于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′,则　　　　ＡＩＡＡ′·ＢＩＢＢ′·ＣＩＣＣ′≤８２７．②图１实际上,这两个问题都可以用共边比例定理简捷地解决．先证明①式．证明　如图１,设△ＢＩＣ面积为Ｓ１,△ＡＩＣ面积为Ｓ２,△ＡＩＢ面积为Ｓ３,△Ａ…     

关于三角形不等式的一个猜想

关于三角形不等式的一个猜想安徽省肥西师范学校朱玉扬数学通讯于１９８９年第８期登载陈计与高海明同志所撰《一道征解题的拓广和加强》［１］一文提出如下颇有意义的猜想：设Ｐ、Ｑ、Ｒ分别位于ＡＢＣ的ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上．且将周界三等分，则ＡＢｋ）．其中ｋ是正整数...     

两道赛题的联系、深化和推广

１两道联赛题 例 １ 给定一圆内接△ＡＢＣ,设 Ａ＇Ｂ＇和Ｃ＇分别是连结Ａ＇Ｃ＇Ａ＇Ｂ＇分别交ＡＢ、ＡＣ于Ｄ、Ｅ．求证：ＤＥ//ＢＣ,且ＤＥ经过△ＡＢＣ的内心． 这是全俄第五届（１９６５年）数学竞赛的一道试题［１］,现给一简明的证法如下． 证明 连结 Ａ＇Ｂ、ＢＣ＇,设Ｆ是ＢＣ与Ａ＇Ｃ＇的交点,如图１．Ａ＇Ｂ＝Ａ＇Ｉ．同理 Ｃ＇Ｂ＝Ｃ＇Ｉ, Ａ＇Ｃ是线段ＢＩ的中垂线． ＢＩ平分 Ｂ, ＢＩ是ＤＦ的垂直平分线, ＤＢＦＩ是菱形, ＤＩ//ＢＦ,即 ＤＩ//ＢＣ． 同理可证 ＩＥ//ＢＣ, 故 ＤＥ//ＢＣ,且ＤＥ过△ＡＢＣ的内…     

一个猜想题的简证

题目△ＡＢＣ中,求证：ｈａｍｂ＋ｍｃ＋ｈｂｍｃ＋ｍａ＋ｈｃｍａ＋ｍｂ≤３２．此题是华东交大刘健老师在１００个待解决的问题中的一道猜想题．本文应用面积方法给出此猜想的一个简证．供参考．证明如图,在△ＡＢＣ中,ＢＣ＝ａ,ＡＣ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ,高ＡＤ＝ｈａ,...     

数学问题解答

数学问题解答１９９８年４月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１２６证明任意三角形内必存在一点，使其关于三边的对称点构成正三角形．作法作给定三角形ＡＢＣ的内角平分线ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ，外角平分线ＡＭ，ＢＮ，ＣＬ，分别以ＤＭ，ＥＮ，ＦＬ为直径作圆，三圆交...     

关于角平分线的两个不等式的注记

关于角平分线的两个不等式的注记李鸿祥（上海铁道学院）本刊１９９４年第５期上的文［１］说：“用初等方法提出并证明若干新近发现的三角形角平分线的不等式”．文中给出定理３在西ＡＢＣ中，有当且仅当面ＡＢＣ为正三角形时，（１）式取等号．我们指出，上述定理是易于...     

第三周几何能力训练二

说明　此组题是几何能力训练一的补充,主要训练识图、画图、计算、逻辑推理能力．　　一、填空（１～６小题各３分,７～１０小题各５分,共３８分）１．目测图中全等的三角形可能有对．（如图Ｃ－１６）图Ｃ－１６图Ｃ－１７２．如图Ｃ－１７,ＡＢ＝ＡＣ,点Ｄ、Ｆ是∠ＢＡＣ的平分线上两点,ＡＤ、ＤＦ满足关系时,Ｓ△ＡＤＣ＝Ｓ△ＢＤＦ．３．画图,并回答．从△ＡＢＣ的顶点Ｂ作∠Ａ的平分线的垂线段ＢＤ,垂足为Ｄ,过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ,交ＡＢ于点Ｅ．图中的直角三角形是,等腰三角形有．图Ｃ－１８４．如图Ｃ－１８,ＡＤ∥ＢＣ,…     

Safta猜想的证明

Ｓａｆｔａ猜想的证明山东省济宁市实验中学苗相军１９８１年，Ｓａｆｔａ猜测：设ＡＡ１，ＢＢ１，ＣＣ１是△ＡＢＣ的三条任意Ｃｅｖｉａｎ线，若ＡＡ１∩Ｂ１Ｃ１＝Ｐ，ＢＢ∩Ａ１Ｃ１＝［１］将此问题列为《１００个未解决的问颗》大一本寸证明Ｓａｆｔａ清根成立．证...     

一道第38届IMO试题新证及推广

贵刊１９９７年第９期登载了“第３８届国际数学奥林匹克题解”,其中问题２是道平面几何题,解答用到了正弦定理,比较繁琐．笔者经过仔细研究后,找到了一种较简捷的纯几何证法．并通过证明过程的分析,将原问题作了进一步的推广．问题２　设∠Ａ是△ＡＢＣ中最小的内角．①点Ｂ和Ｃ将这个三角形的外接圆分成两段弧．设Ｕ是落在不含Ａ的那段弧上且不等于Ｂ与Ｃ的一个点．②线段ＡＢ和ＡＣ的垂直平分线分别交线段ＡＵ于Ｖ和Ｗ,直线ＢＶ和ＣＷ相交于Ｔ．③图１ＢＭＯＶＴＵＣＤＮＷＡＥ求证：ＡＵ＝ＴＢ＋ＴＣ．证明：如图１所示．因为点Ｖ…