一个几何不等式的加强

一个几何不等式的加强周才凯（湖南省炎陵县一中４１２５００）文［１］给出了如下不等式：设△ＡＢＣ的三条边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，的平分线长分别为ｔａ，ｔｂ，ｔｃ．若其外接圆半径和内切圆半径分别为Ｒ，ｒ，则在△ＡＢＣ中，如我们用ｍａ，ｍｂ，ｍｃ分别表示边Ｂ...     

一个猜想题的简证

题目△ＡＢＣ中,求证：ｈａｍｂ＋ｍｃ＋ｈｂｍｃ＋ｍａ＋ｈｃｍａ＋ｍｂ≤３２．此题是华东交大刘健老师在１００个待解决的问题中的一道猜想题．本文应用面积方法给出此猜想的一个简证．供参考．证明如图,在△ＡＢＣ中,ＢＣ＝ａ,ＡＣ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ,高ＡＤ＝ｈａ,...     

一个三角形中线不等式

一个三角形中线不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）△ＡＢＣ中，边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ．这三边上对应中线分别为ｍａ、ｍｂ、ｍｃ，对应高线分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，△表示此三角形面积．用∑表示循环和．定理在△ＡＢＣ中，有当且仅当△ＡＢＣ为等腰...     

shc32的解决

ｓｈｃ３２的解决吴跃生（中国计量学院基础部３１００３４）设△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ；ｗａ，ｗｂ，ｗｃ分别是∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的内角平分线；ｍａ，ｍｂ，ｍｃ分别是相应边上的中线；Ｒ和ｒ分别是△ＡＢＣ的外接圆和内切圆半径．刘健在文［１］中...     

关于三角形中线的一组不等式

笔者在文［１］中曾经介绍过一个关于中线的不等式,即命题在△ＡＢＣ中,三边长及面积分别为ａ、ｂ、ｃ及△,ｍａ、ｍｂ、ｍｃ为三边上的中线,则ａｂｃｍａｍｂｍｃ≥１２△（ｂ２ｃ２＋ｃ２ａ２＋ａ２ｂ２）（１）当且仅当△ＡＢＣ为等腰三角形时,（１）式取等号．最...     

由三角形中线“生成”的正三角形

由三角形中线“生成”的正三角形２１４１０２江苏省无锡县仓下中学邹黎明笔者在研究三角形中线性质时，发现了一条美妙的性质．介绍如下．在ΔＡＢＣ中，记ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，三条中线ＡＤ＝ｍａ，ＢＥ＝ｍｂ，ＣＦ＝ｍｃ．∠ＢＧＣ＝θ１，∠ＡＧＣ＝θ２∠...     

新题征展(19)

Ａ．题组新编 １．（１）以六棱柱的顶点为顶点的五棱锥共有 个; （２）以五棱柱的顶点为顶点的四棱锥最多有 个; （３）以四棱柱的顶点为顶点的三棱锥有 个;．（曹大方 供题） ２．已知△ＡＢＣ的三内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａｂ、ｃ （Ｉ）若ａ、ｂ、ｃ成等差数列时．不等式,ｍ＋ｓｍ２Ｂ＜恒成立．求实数。ｍ的 取值范围． （Ⅱ）若 ａ、ｂ、ｃ成等比数列时,不等式 ｍ ＋ ｓｉｎ２Ｂ ＜ 恒成立,求实数ｍ的 取值范围． （Ⅲ）若ａ、ｂ、ｃ的倒数成等差数列时,不等式ｍ＋ ｓｍ２Ｂ＜—ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）＋恒成立,求实数ｍ的取值范…     

因式分解教与学

第１课　提公因式法（一）一、启发提问我们学习了整式乘法：（１）ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ（２）（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２把（１）（２）式反过来写,就是（３）ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）（４）ａ２－ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）在等式（１）（２）中,由两因式的积变成多项式叫做整式乘法,在等式（３）（４）中,由多项式变成几个整式的积叫什么？怎样进行？二、读书自学（Ｐ２～Ｐ５）１把一个化成几个的积的形式,叫做把这个多项式．２一个多项式中各项都有的因式,叫做这个多项式的,多项式ｍａ＋…     

不等式研究成果集锦(9)

１０１．在△ＡＢＣ与△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇中,有其中ａ、ｂ、ｃ与Ｒ分别为△ＡＢＣ三边长及外接圆半径,等号当且仅当两三角形均为正三角形时取得． （宋庆．１９９９,３） １０２．设△ＡＢＣ的中线是 ｍａ、ｍｂ、ｍｃ,外接圆与内切圆半径分别为Ｒ与ｒ,则当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时取等号． 注：这是杨学枝同志对《数学通讯》１９９９年第１期“问题征解栏”中 １６０［１９９６,６］猜想题作出的解答． （杨学枝．１９９９,３） １０３．在△ＡＢＣ中,三边长为ａ、ｂ、ｃ,半周长为ｓ,其对应边上的高线、中线、角平分线分别为ｈａ…     

一个不等式猜想的否定

一个不等式猜想的否定７１３４００陕西永寿县中学安振平记△ＡＢＣ的三边长和内切圆半径分别为ａ、ｂ、ｃ、ｒ，以它的三中线ｍａ、ｍｂ、ｍｃ为边长的三角形内切圆半径为ｒｍ．贺斌在《数学通讯》１９９６年第２期Ｐ２５上提出是否值成立着：代入①变形得不等式②与①是...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年１０月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０９６若ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边，且ｃｔｇＡ，ｃｔｇＢ，ｃｔｇＣ成等差数列，则ａ２，ｂ２，ｃ２成等差数列．证明由ｃｔｇＡ＝ｃｏｓＡｓｉｎＡ，Ｓ＝１２ｂｃｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－...     

一个猜想的否定

１９６７年，Ｖ．Ｏ．Ｃｏｒｄｏｎ建立了三角形的边长与高之间的不等式∑ａ２ｈ２ｂ＋ｈ２ｃ≥２．［１］文［２］把上述不等式加强为∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥２（ｔａ、ｔｂ、ｔｃ为△的内角平分线长，ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的边长，∑表示对ａ、ｂ、ｃ循环求和），并提出猜想∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥Ｒｒ（Ｒ、ｒ分别为△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径）．本文否定这一猜想，并由此得不等式链：２≤∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≤Ｒｒ（当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时等号成立）．证明　由角平分线长公式，有ｔ２ａ＝ｂｃ（ｂ＋ｃ）２·（ａ＋ｂ＋…     

一个几何不等式的再加强和推广——兼答shc44

一个几何不等式的再加强和推广——兼答ｓｈｃ４４吴跃生（中国计量学院基础部３１００３４）设△ＡＢＣ的三边分别为ａ，ｂ，ｃ；ｍａ，ｍｂ，ｍｃ是相应边上的中线；ｒａ，ｒｂ，ｒｃ是相应边上的旁切圆半径．１９９１年，杨任尔证明了不等式［１］：∑ｒａｍａ≥３①其...     

与匹多不等式有关的一个等式

与匹多不等式有关的一个等式方明（四川平昌二中６３５４００）约定ａ，ｂ，ｃ，△和ａ′，ｂ′，ｃ′，△′分别表示△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′的边长和面积，Ｈ＝ａ′２（ｂ２＋ｃ２－ａ２）＋ｂ′２（ｃ２＋ａ２－ｂ２）＋ｃ′２（ａ２＋ｂ２－ｃ２）．著名的匹多不等式...     

对一个几何不等式猜想的证明

刘健老师在文［１］中曾提出了一个难度较大的几何不等式猜想，即Ｓｈｃ２７在锐角△ＡＢＣ中，证明或否定∑ｗｂｗｃｂｃ≥９４．（１）本文将证明（１）式成立．我们在文中约定如下符号：△ＡＢＣ的三边长为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，其对应边上的角平分线分别为ｗ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年３月号问题解答（解答由问题提供人给出）１００１已知ΔＡＢＣ中，三内角为Ａ，Ｂ，Ｃ．试证：ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ＝１．证明容易知道在ΔＡＢＣ中成立：（其中ａ，ｂ，ｃ是ΔＡＢＣ的三边长）ａ＝ｂ...     

涉及三角形中线的一个十分有用的变换

涉及三角形中线的一个十分有用的变换贺斌（湖北谷城教师进修学校４４１７００）本文约定：△ＡＢＣ的三边长、三中线之长、面积、半周长、外接国半径、内切圆半径、三傍切圆半径分别为ａ，ｂ，ｃ，ｍａ，ｍｂ，ｍｃ，△，Ｐ，Ｒ，ｒ，ｒａ，ｒｂ，ｒｃ．对于△Ａ’Ｂ’Ｃ...     

十二省市(辽宁、云南、湖南、乌鲁木齐、昆明、哈尔滨、山西、广西、西宁、河南、嘉兴等、甘肃)选择题集萃

数与式１．若ａ≠０,则下列运算正确的是（　）．（Ａ）ａ４·ａ２＝ａ８　　（Ｂ）ａ２＋ａ２＝ａ４（Ｃ）（－３ａ４）２＝９ａ６（Ｄ）（－ａ）４÷（－ａ）２＝ａ２２．下列各式中计算错误的是（　）．（Ａ）ａｂ＝ａｃｂｃ（ｃ≠０）（Ｂ）ａ＋ｂａｂ＝ａ２＋ａｂａ２ｂ（Ｃ）０．５ａ＋ｂ０．２ａ－０．３ｂ＝５ａ＋１０ｂ２ａ－３ｂ（Ｄ）ｘ－ｙｘ＋ｙ＝ｙ－ｘｙ＋ｘ３．化简１２－３的结果是（　）．　　（Ａ）－２＋３　　（Ｂ）－２－３（Ｃ）２＋３（Ｄ）２－３４．２ｘ２·３ｘ３等于（　）．（Ａ）６ｘ５　（Ｂ）６ｘ６　（Ｃ…     

巧用三角形证不等式

巧用三角形证不等式熊佩英（湖南益阳财税学校４１３０５４）很多不等式与三角形有着直接或间接的联系，如能想到这一点．往往能收到事半功倍之效．例１正数ａ，ｂ，ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，满足ａ＋Ａ＝ｂ＋Ｂ＝ｃ＋Ｃ＝ｋ，求证ａＢ＋ｂＣ＋ｃＡ＜ｋ２．（图１）证明构造图形如...     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年１月号问题解答（解答由问题提供人给出）８７１已知，求证：证明由平均不等式可知解因为数列的通项将（３）式减去（２）式得将上式代入（１）式得８７３四面体ＡＢＣＤ棱长ＤＡ＝ＢＣ＝ａ；ＤＢ＝ＣＡ＝ｂ，ＤＣ＝ＡＢ＝ｃ；求其体积Ｖ，外接球半...