三、一个几何不等式的证明

三、一个几何不等式的证明石世昌（浙江新昌中学３１２５００）文［１］提出了如下猜想：设Ｐ，Ｑ，Ｒ分别位于西ＡＢＣ的边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上，且将同界三等分，则ｏＲ‘“ＲＰ‘＋Ｐｏ‘＞２－‘（ＢＣ‘＋ＣＡ‘＋ＡＢ＊）（１）其中ｋ是正整数．文【Ｚｊ证明了当Ｐ，...     

加权Steiner问题与加权GP猜想

加权Ｓｔｅｉｎｅｒ问题与加权ＧＰ猜想贝清泉（汕头大学数学系，汕头５１５０６３）已给平面上三定点Ａ，Ｂ，Ｃ，求点Ｐ使ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ极小，这就是古典的Ｓｔｅｉｎｅｒ树问题．如令：ｆ（Ｐ’）一Ｐ’Ａ＋Ｐ’Ｂ＋Ｐ’Ｃ；ｋ＝ｄｒｉｎ什（Ｐ’ｎ＝ｍｉｎＪ＊’Ａ...     

一个猜想题的简证

题目△ＡＢＣ中,求证：ｈａｍｂ＋ｍｃ＋ｈｂｍｃ＋ｍａ＋ｈｃｍａ＋ｍｂ≤３２．此题是华东交大刘健老师在１００个待解决的问题中的一道猜想题．本文应用面积方法给出此猜想的一个简证．供参考．证明如图,在△ＡＢＣ中,ＢＣ＝ａ,ＡＣ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ,高ＡＤ＝ｈａ,...     

数学问题解答 1998年7月号问题解答

１４１已知△ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｃ＝２Ｂ，ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ，（Ⅰ）试求ｋ的取值范围；（Ⅱ）求ｃｏｓＡ－Ｃ２的值．解不难得知Ｂ＝６０°．（Ⅰ）命Ａ＝６０°－α，Ｃ＝６０°＋α（０°≤α＜６０°），此时ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ...     

关于三角形角平分线一个猜想的证明

关于三角形角平分线一个猜想的证明２２４００１江苏盐城师范周甫林刘健先生在本刊９５年第８期上提出了如下猜想：其中ｗａ、ｗｂ、ｗｃＳ、ｒ分别为任意ΔＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的内角平分线、半周长和内切圆半径．笔者证明了上述猜想（１）是正确的．今证明如下...     

初三(上)期末数学测试题

一、一元选择题（每小题３分，共４５分）１．方程３ｘ２－４＝０的一次项系数是（　）（Ａ）－４　（Ｂ）０　（Ｃ）１　（Ｄ）３图Ａ－８２．如图Ａ－８，在Ｒｔ△ＡＢＣ，∠Ｃ＝９０°，那么ｃｔｇＢ＝（　）（Ａ）ＡＣＢＣ　（Ｂ）ＢＣＡＢ（Ｃ）ＡＣＡＢ　（Ｄ）ＢＣＡＣ３．已知ｋ是不等于零的常数，在下列函数中，一次函数是（　）（Ａ）ｙ＝ｋｘ２＋１　（Ｂ）ｙ＝ｘｋ＋１（Ｃ）ｙ＝ｋ＋１ｘ　（Ｄ）ｙ＝ｋｘ＋１４．△ＡＢＣ的外心是三角形的（　）（Ａ）三条高的交点（Ｂ）三边的垂直平分线的交点（Ｃ）三条内角平分线的交点（Ｄ…     

数学问题解答

20 0 1年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 91　在△ＡＢＣ中 ,ＢＣ=ａ ,顶点Ａ在平行于ＢＣ且与ＢＣ相距为ａ的直线上滑动 .求 ＡＢＡＣ的取值范围 .(江西永修一中　宋庆　 330 30 4 )解　令ＡＣ =ｘ ,ＡＢ=ｋｘ(ｘ>0 ,ｋ >0 ) ,则ａｓｉｎＡ =ｘｓｉｎＢ,且ｓｉｎＢ=ａｋｘ.于是 ,ａ2 =ｋｘ2 ｓｉｎＡ .在△ＡＢＣ中 ,由余弦定理可得ｘ2 ｋ2 ｘ2 -ｋｘ2 ｓｉｎＡ=2ｋｘ2 ｃｏｓＡ ,∴ｋ 1ｋ =ｓｉｎＡ 2ｃｏｓＡ=5ｓｉｎ(Ａ ａｒｃｔｇ2 )≤ 5,∴ｋ 1ｋ ≤ 5,∴ｋ2 - 5ｋ 1 ≤ 0 ,∴ 5- 12 ≤ｋ≤ 5 12 ,∴ 5- 12 ≤ ＡＢＡ…     

k－Bounded Space On－line装箱中AFB_k算法的界

Ｊ．Ｃｓｉｒｉｋ与Ｄ．Ｓ．Ｊｏｈｎｓｏｎ针对带ｋ－箱限制的在线装箱问题提出了四种装入和关闭法则，并利用这些法则给出了四种相应的算法．其中ＢＢＦｋ，ＮｋＦ和ＡＢＦｋ算法的紧界在文［１－３］中分别进行了很好的研究．但对算法ＡＦＢｋ来讲，其紧界仍是一个公开问题．本文给出了ＡＦＢｋ算法性能比的一个上界，即．同时，本文提出了一个新的关闭法则，对ＡＦＢｋ算法进行了修改，使修改后的算法ＡＦＢｋ的性能比不超过１．７（ｋ３）     

问题征解

编者按　杨学枝老师提出下述四个猜想，并自费为之设奖．对最先完整给出解答者，每一题奖给５０元，奖金由杨学枝直接寄给解答者（解答请寄３５００１５福建省福州市第二十四中学）．正确解答将在本刊刊出．猜想　在非钝角△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，ｍａ、ｍｂ、ｍｃ与ｔａ、ｔｂ、ｔｃ分别为边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的中线与角平分线．１．若ａ最大，试求使不等式（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥λ（ｍｂ－ｍａ）（ｍｃ－ｍａ）成立的最大常数λ．猜想λｍａｘ＝４９（３－２２）（７＋２１０）；２．若ａ最大，试求使不等式（ａ－ｂ…     

94 平行线分线段成比例定理

１　换一个视角,提出了猜想Ｔ：由我们学过的平行线等分线段定理知,如图１,直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３,直线ｌ４、ｌ５分别被ｌ１、ｌ２、ｌ３所截,如果ＡＢ＝ＢＣ,那么ＤＥ＝ＥＦ．换一个视角,对于图１,如果ＡＢＢＣ＝１,那么ＤＥＥＦ＝１;还有如果ＡＣＢＣ＝２,那么ＤＥＥＦ＝２;如果ＡＢＡＣ＝１２,那么ＤＥＤＦ＝１２．由此可以引出什么样的猜想呢？图１　　　　　　　　　图２如图２,直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３,直线ｌ４、ｌ５分别被ｌ１、ｌ２、ｌ３所截,那么有ＡＢＢＣ＝ＤＥＥＦ,ＡＢＡＣ＝ＤＥＤＦ．２　通过一个个图式、比…     

二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式

对于二元二次多项式ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ（其中Ａ，Ｂ，Ｃ不全为零），设ｈ＝２ＣＤ－ＢＥＢ２－４ＡＣ，ｋ＝２ＡＥ－ＢＤＢ２－４ＡＣ，Ｆ１＝ｆ（ｈ、ｋ）＝１２Ｄｈ＋１２Ｅｋ＋Ｆ，△＝２ＡＢＤＢ２ＣＥＤＥ２Ｆ＝－２（Ｂ２－４Ａ...     

一类数列的一种求和方法

一类数列的一种求和方法２２６４０６江苏如东县栟茶中学张必华设ｒ为不等于０，１的常数．由我们猜想Ａ０，…，Ａｍ，Ｃ均为常数且Ａｍ≠０．为了证实猜想，我们来考察将ｆ（ｋ），Ｆ（ｎ）表达式代入，展开整理，比较ｋｍ，ｋｍ－１，…，ｋ０两边的系数，我们得到田（...     

关于莫莱三角形两个猜想的修正

文［１］首先证明了莫莱三角形的一条性质：性质１　将△ＡＢＣ各内角三等分,每两个角的相邻三等分线相交得△ＰＱＲ,∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的平分线分别与ＱＲ、ＲＰ、ＰＱ交于点Ｘ、Ｙ、Ｚ,则ＰＸ、ＱＹ、ＲＺ三线共点．最后猜想：性质１中三点Ａ、Ｘ、Ｐ;Ｂ、Ｙ、Ｑ;Ｃ、Ｚ、Ｒ分别共线;进而猜测△ＡＢＣ与其内莫莱△ＰＱＲ对应顶点的连线：ＡＰ、ＢＱ、ＣＲ共点,且该点为△ＡＢＣ的内心．经探究,笔者发现：上述两个猜想并不成立．现修正为如下两个命题．命题１　在性质１的条件下,Ａ、Ｘ、Ｐ;Ｂ、Ｙ、Ｑ;Ｃ、Ｚ、Ｒ分别共线的充要…     

巧用三角形证不等式

巧用三角形证不等式熊佩英（湖南益阳财税学校４１３０５４）很多不等式与三角形有着直接或间接的联系，如能想到这一点．往往能收到事半功倍之效．例１正数ａ，ｂ，ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，满足ａ＋Ａ＝ｂ＋Ｂ＝ｃ＋Ｃ＝ｋ，求证ａＢ＋ｂＣ＋ｃＡ＜ｋ２．（图１）证明构造图形如...     

Safta猜想的证明

Ｓａｆｔａ猜想的证明山东省济宁市实验中学苗相军１９８１年，Ｓａｆｔａ猜测：设ＡＡ１，ＢＢ１，ＣＣ１是△ＡＢＣ的三条任意Ｃｅｖｉａｎ线，若ＡＡ１∩Ｂ１Ｃ１＝Ｐ，ＢＢ∩Ａ１Ｃ１＝［１］将此问题列为《１００个未解决的问颗》大一本寸证明Ｓａｆｔａ清根成立．证...     

关于一个三角形不等式猜想的证明

关于一个三角形不等式猜想的证明３１２５００浙江省新昌中学石世昌匡继昌先生在《常用不等式》（湖南教育出版社．１９９３年５月第二版）一书的附录（１００个未解决的问题》中题５９（Ｇａｒｆｕｎｋｅｌ猜想）是：设Ａ、Ｂ、Ｃ”为△ＡＢＣ”的三个内角．则在本文中，...     

关于Caragea猜想

关于Ｃａｒａｇｅａ猜想单壿（南京师范大学数学系）文家金（四川安岳一中）设Ｏ是△ＡＢＣ内一点，Ｏ到ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的距离分别为ｈ１、ｈ２、ｈ３，顶点Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，相应的高为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，又ｐ．１９６８年，Ｃａｒａｇｅａ在文献［１...     

抛物线的内接梯形

设抛物线Γ :ｙ2 =2 ｐｘ ( ｐ >0 ) ,本文讨论Γ的内接梯形的性质 .我们需要下面的引理 .引理　梯形两底的中点 ,两对角线的交点 ,两腰延长线的交点 ,四点共线 .(证略 )性质　设抛物线Γ的内接梯形ＡＢＣＤ ,ＡＤ∥ＢＣ ,ＡＣ ,ＢＤ交于Ｎ ,两腰ＡＢ ,ＣＤ的延长线交于Ｔ ,过Ｔ作Γ的二切线 ,切点为Ｐ1 ,Ｐ2 ,如图 1,则1 Ｐ1 Ｐ2 ∥ＡＤ ;2 Ｐ1 ,Ｎ ,Ｐ2 三点共线 ;3 1)若ＡＣ ,Ｐ1 Ｐ2 ,ＢＤ与ｘ轴不垂直 ,则ｋＡＢ,ｋＰ1Ｐ2 ,ｋＢＤ成调和数列 ;2 )若Ｐ1 Ｐ2 ⊥ｘ轴 ,则ｋＡＣ ｋＢＤ=0 ;3)若ＡＣ⊥ｘ轴 ,则ｋＰ1Ｐ2 =2ｋＢＤ;图 1　抛…     

关于Fermat点的一个猜想不等式

设△ＡＢＣ的各内角都小于１２０°，Ｆ是△ＡＢＣ内部一点，且使∠ＢＦＣ＝∠ＣＦＡ＝∠ＡＦＢ，则称Ｆ是△ＡＢＣ的Ｆｅｒｍａｔ点．陈计先生在文［１］末尾提出如下猜想设△ＡＢＣ的旁切圆半径是ｒａ，ｒｂ，ｒｃ，角平分线长是ｗａ，ｗｂ，ｗｃ，中线长是ｍａ，ｍｂ，...     

对一个几何不等式猜想的证明

刘健老师在文［１］中曾提出了一个难度较大的几何不等式猜想，即Ｓｈｃ２７在锐角△ＡＢＣ中，证明或否定∑ｗｂｗｃｂｃ≥９４．（１）本文将证明（１）式成立．我们在文中约定如下符号：△ＡＢＣ的三边长为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，其对应边上的角平分线分别为ｗ...