初三(上)期末数学测试题

一、一元选择题（每小题３分，共４５分）１．方程３ｘ２－４＝０的一次项系数是（　）（Ａ）－４　（Ｂ）０　（Ｃ）１　（Ｄ）３图Ａ－８２．如图Ａ－８，在Ｒｔ△ＡＢＣ，∠Ｃ＝９０°，那么ｃｔｇＢ＝（　）（Ａ）ＡＣＢＣ　（Ｂ）ＢＣＡＢ（Ｃ）ＡＣＡＢ　（Ｄ）ＢＣＡＣ３．已知ｋ是不等于零的常数，在下列函数中，一次函数是（　）（Ａ）ｙ＝ｋｘ２＋１　（Ｂ）ｙ＝ｘｋ＋１（Ｃ）ｙ＝ｋ＋１ｘ　（Ｄ）ｙ＝ｋｘ＋１４．△ＡＢＣ的外心是三角形的（　）（Ａ）三条高的交点（Ｂ）三边的垂直平分线的交点（Ｃ）三条内角平分线的交点（Ｄ…     

两道赛题的联系、深化和推广

１两道联赛题 例 １ 给定一圆内接△ＡＢＣ,设 Ａ＇Ｂ＇和Ｃ＇分别是连结Ａ＇Ｃ＇Ａ＇Ｂ＇分别交ＡＢ、ＡＣ于Ｄ、Ｅ．求证：ＤＥ//ＢＣ,且ＤＥ经过△ＡＢＣ的内心． 这是全俄第五届（１９６５年）数学竞赛的一道试题［１］,现给一简明的证法如下． 证明 连结 Ａ＇Ｂ、ＢＣ＇,设Ｆ是ＢＣ与Ａ＇Ｃ＇的交点,如图１．Ａ＇Ｂ＝Ａ＇Ｉ．同理 Ｃ＇Ｂ＝Ｃ＇Ｉ, Ａ＇Ｃ是线段ＢＩ的中垂线． ＢＩ平分 Ｂ, ＢＩ是ＤＦ的垂直平分线, ＤＢＦＩ是菱形, ＤＩ//ＢＦ,即 ＤＩ//ＢＣ． 同理可证 ＩＥ//ＢＣ, 故 ＤＥ//ＢＣ,且ＤＥ过△ＡＢＣ的内…     

三角形目标检测题(A)

一、填空（１～５小题各３分,６～８小题各４分,９、１０小题各５分,共３７分）１．按角分类,三角形可分为、和．２．△ＡＢＣ的边ＡＢ＝６ｃｍ,ＡＣ＝４ｃｍ,则第三边ＢＣ的范围是＜ＢＣ＜．图Ａ－１３．如图Ａ－１,ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分线,ＡＢ＝ＡＣ．若∠Ａ＝５０°,则∠１＝．４．在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°,ＡＢ＝１３ｃｍ,ＡＣ＝５ｃｍ,则ＢＣ＝ｃｍ．图Ａ－２５．如图Ａ－２,已知线段ＡＢ,用尺规作ＡＢ的垂直平分线．（保留作图痕迹）６．等腰三角形的一个顶角比底角小３０°,则它与顶角相邻的外角等于．７．如图…     

有关三角形内心性质命题的评注

文［１］介绍了有关三角形内心性质的如下一个命题：设△ＡＢＣ的内角平分线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ相交于Ｉ,求证：　　　ＡＩＤＩ＋ＢＩＥＩ＋ＣＩＦＩ≥６．①无独有偶,文［２］用三角形的有关心距公式对第３２届ＩＭＯ的一道试题给出了解答．题目为：设Ｉ为△ＡＢＣ的内心,ＡＩ、ＢＩ、ＣＩ分别交对边于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′,则　　　　ＡＩＡＡ′·ＢＩＢＢ′·ＣＩＣＣ′≤８２７．②图１实际上,这两个问题都可以用共边比例定理简捷地解决．先证明①式．证明　如图１,设△ＢＩＣ面积为Ｓ１,△ＡＩＣ面积为Ｓ２,△ＡＩＢ面积为Ｓ３,△Ａ…     

三角形的伴内心及其性质

设△ＡＢＣ的三条内角平分线为ＡＤ,ＢＥ,ＣＦ,内心点为Ｉ,点Ｄ关于ＢＣ边中点的对称点为Ｄ′,Ｅ关于ＣＡ边中点的对称点为Ｅ′,Ｆ关于ＡＢ边中点的对称点为Ｆ′,则我们有 引理 三条直线ＡＤ′、ＣＦ′、ＢＥ′共点． 证明 由于ＢＤ′＝ＣＤ,ＣＤ′＝ＢＤ,ＣＥ′＝ＡＥ,ＡＥ′＝ＣＥ,ＡＦ′＝ＢＦ,ＡＦ＝ＢＦ′,由Ｃｅｖａ定理及ＡＤ、ＥＢ、ＤＦ共点知 由Ｃｅｖａ逆定理得ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′共点．记此点为Ｉ′,我们称之为△ＡＢＣ的伴内心． 性质 １ 设厂为么ＡＢＣ的伴内心,则 ＡＩ（ｂ ＋ ｃ）ＢＩ（ｃ＋ａ） ７７＝…     

与三角形主要线段有关的命题

初中《九义》教材，几何第二册第三章一开始，介绍了三角形的角平分线，三角形的中线及三角形的高。本文例说与三角形的这些主要线段有关的命题，供同行在几何复习教学时参考。命题１若Ｉ为△ＡＢＣ的内角平分线的交点，ＡＩ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｄ，则：①ＤＩ...     

关于五边形的两个基本不等式的证明

设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ是平面上任意五点,若记△ＥＡＢ、△ＡＢＣ、△ＢＣＤ、△ＣＤＥ和△ＤＥＡ的面积分别为α、β、γ、δ、ε,则五边形ＡＢＣＤＥ的面积Ａ（此处不要与点Ａ混淆）满足Ｍｏｂｉｕｓ－Ｇａｕｓｓ公式Ａ２－（α＋β＋γ＋δ＋ε）Ａ＋（αβ＋βγ＋γδ＋δε＋εα）＝０．①文［１］中提到①式,顺便以此证明ｍｉｎ｛α,β,γ,δ,ε｝≤２Ａ５＋５≤ｍａｘ｛α,β,γ,δ,ε｝．②最后,又提出如下猜想：５αβγδε≤２Ａ５＋５≤１５（α２＋β２＋γ２＋δ２＋ε２）;③③式显然是②的加强,证明自然更…     

涉及直角三角形一命题的面积证法

文［１］中给出了：命题　在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ为直角,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ,△ＡＤＣ和△ＣＤＢ的内心分别为Ｏ１、Ｏ２,Ｏ１Ｏ２与ＣＤ交于Ｋ,则１ＢＣ＋１ＡＣ＝１ＣＫ．图１文［２］给出了上述命题的纯平几证法．但其证法需添作复杂的辅助线后,再构造相似三角形解题．尽管初中学生能够接受,但给问题增加了神秘感,其构图思路让学生难以捉摸．为此,现给出命题的一种面积证法,供读者参考．证明　如图１,设Ｏ１Ｏ２的双向延长线分别与ＡＣ、ＢＣ相交于Ｍ、Ｎ,又设∠ＡＣＤ＝α,则∠ＢＣＤ＝９０°－α,　　ｓｉｎα＋ｃｏｓα…     

1998年高中联赛一道试题的几种证法

９９８年全国高中数学联赛加试卷第一题为：如图，Ｏ，Ｉ分别为△ＡＢＣ的外心和内心，ＡＤ是图１ＢＣ边上的高．Ｉ在线段ＯＤ上．求证：△ＡＢＣ的外接圆半径等于ＢＣ边上的旁切圆半径．试题组提供的答案是用三角法证明．本文介绍几种不同的证法．证明［方法１］记ＡＢ＝...     

1999年全国初中数学联合竞赛(Ⅰ)试题及参考答案

第一试选择题１．计算１１－４３＋１１＋４３＋２１＋３的值是（）．（Ａ）１（Ｂ）－１（Ｃ）２（Ｄ）－２解原式＝２１－３＋２１＋３＝４１－３＝－２．答：（Ｄ）．２．△ＡＢＣ的周长是２４,Ｍ是ＡＢ的中点,ＭＣ＝ＭＡ＝５,则△ＡＢＣ的面积是（）．（Ａ）１２（...     

三角形一个重要公式及其应用

在三角形中，我们把角的顶点与其对边上一点的连线称作这个角的分角线．下面给出分角线长的一种公式．定理　如图１，Ｄ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上一点，设ＡＢ、ＡＣ分别为ｃ、ｂ，∠ＢＡＤ＝α，∠ＣＡＤ＝β，图１则　　　　ＡＤ＝ｂｃｓｉｎ（α＋β）ｃｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ．（１）当ＡＤ是∠Ａ的平分线时，　　　ＡＤ＝２ｂｃｃｏｓＡ２ｂ＋ｃ；（２）当ＡＤ是中线时，　　ＡＤ＝ｂｓｉｎ（α＋β）２ｓｉｎα＝ｃｓｉｎ（α＋β）２ｓｉｎβ；（３）当ＡＤ是高线时，　　　ＡＤ＝ｃｃｏｓα＝ｂｃｏｓβ＝ｂｃｓｉｎＡａ．（４）证明　在…     

不等式研究成果集锦(10)

１１６ 设任意△ＨＢＣ中,Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的内点,△ＤＥＦ、△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＥＤ 的周长分别记为ｍ０、ｍ１、ｍ２。ｍ３,　＝ｍｉｎ｛Ａ、Ｂ、Ｃ｝,则 上述命题可向平面ｎ边形推广,另猜测,在任意△ＡＢＣ中,有 （吴善和．１９９９,４） １１７ 如果△ＡＢＣ内的三个圆都与三角形的内切圆相切,并且每个圆与△ＡＢＣ的两边相切,设ｒ、ｒａ．ｒｂ、ｒｃ分别为内切圆及其余三个圆的半径,则 （赵长健．１９９９,４） １１８ 在交叉四边形 ＡＢＣＤ中,ａ、ｂ、ｃ／及Ｓ分别表示其边长和面…     

借助线段计算解一道全国联赛题

９９８年全国高中数学联合竞赛加试题一是：如图,Ｏ、Ｉ分别为△ＡＢＣ的外心和内心,ＡＤ是ＢＣ边上的高,Ｉ在线段ＯＤ上．求证：△ＡＢＣ的外接圆半径等于ＢＣ边上的旁切圆半径．注：△ＡＢＣ的ＢＣ边上的旁切圆是与ＡＢ、ＡＣ的延长线以及边ＢＣ都相切的圆．解分别连...     

第三周几何能力训练二

说明　此组题是几何能力训练一的补充,主要训练识图、画图、计算、逻辑推理能力．　　一、填空（１～６小题各３分,７～１０小题各５分,共３８分）１．目测图中全等的三角形可能有对．（如图Ｃ－１６）图Ｃ－１６图Ｃ－１７２．如图Ｃ－１７,ＡＢ＝ＡＣ,点Ｄ、Ｆ是∠ＢＡＣ的平分线上两点,ＡＤ、ＤＦ满足关系时,Ｓ△ＡＤＣ＝Ｓ△ＢＤＦ．３．画图,并回答．从△ＡＢＣ的顶点Ｂ作∠Ａ的平分线的垂线段ＢＤ,垂足为Ｄ,过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ,交ＡＢ于点Ｅ．图中的直角三角形是,等腰三角形有．图Ｃ－１８４．如图Ｃ－１８,ＡＤ∥ＢＣ,…     

圆内接星形的一种奇特属性

本文揭示圆内接星形的一种非常奇特的属性．为此,先给出如下概念和引理：图１定义１从点Ｃ向有向线段ＡＢ引垂线（图１）,交ＡＢ或其延长线于Ｄ．设有向线段ＣＤ的数量为ｄ,则ｄ称为点Ｃ到线段ＡＢ的有向距离．当点Ｃ位于ＡＢ所指方向的左侧时,ｄ＝｜ＣＤ｜＞０;当点...     

第39届IMO-5的简证

题目　设Ｉ为△ＡＢＣ的内心,Ｋ、Ｌ、Ｍ分别为△ＡＢＣ的内切圆在ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的切点,已知通过点Ｂ与ＭＫ平行的直线分别与直线ＬＭ及ＬＫ交于Ｒ、Ｓ两点,求证∠ＲＩＳ为锐角．证明　记△ＡＢＣ的内切圆半径为ｒ,∵　ＲＳ∥ＭＫ且△ＭＫＬ为切点三角形,故　∠ＲＳＫ＝∠ＭＫＬ＝∠ＬＭＡ,∴　Ｓ、Ｌ、Ｍ、Ｂ四点共圆．故　ＲＢ·ＲＳ＝ＲＭ·ＲＬ．但Ｒ是圆Ｉ外一点,ＲＭ·ＲＬ＝ＲＩ２－ｒ２,∴　　ＲＢ·ＲＳ＝ＲＩ２－ｒ２（１）同理可知　ＳＢ·ＳＲ＝ＳＩ２－ｒ２（２）由（１）、（２）有ＲＩ２＋ＳＩ２－２ｒ２＝ＲＳ…     

二次曲线分线段的比及其应用

二次曲线分线段的比及其应用西安市西光中学刘康宁为了叙述方便，我们把二次曲线方程Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０（Ａ、Ｂ、Ｃ不全为零）记作Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，经过代换所得方程命题设经过Ｍ（ｘ１，ｙ１）、Ｎ（ｘ２，ｙ２）两点的直线与二次曲线Ｆ（ｘ...     

有关线段成比例问题的两种模型

在平面几何中,合理添加辅助线,构造恰当模型,往往成为顺利解题的关键,而在证明有关线段成比例的定理中,常用的有两个,下面用模型表示：图１１°　若ＤＥ∥ＢＣ,则ＤＡＡＣ＝ＥＡＡＢ,△ＤＡＥ∽△ＣＡＢ．２°　若ＤＥ∥ＢＣ,则ＡＤＡＢ＝ＡＥＡＣ,ＡＤＤＢ＝ＡＥＥＣ,△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ．我们不妨把１°的模型叫Ｘ型,２°的模型叫Ａ型,这两种模型在证明有关线段成比例的问题上,能帮助我们快速、有效地作出辅助线．下面结合一道命题对此作出阐述．命题　过△ＡＢＣ的顶点Ｃ任意作一条直线,与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于Ｆ、Ｅ…     

三角形单元目标测试(B)卷(45分钟完卷,满分100分)

一、选择（每小题４分，共２０分）１、△ＡＢＣ的ＡＢ＝５ｃｍ，ＡＣ＝７ｃｍ，ＢＣ边的长度范围是（）（Ａ）５＜ＢＣ＜７（Ｂ）２＜ＢＣ＜１２（Ｃ）２≤ＢＣ＜１２（Ｄ）２＜ＢＣ≤１２２、△ＡＢＣ中，ＢＥ、ＣＦ分别是∠Ｂ和∠Ｃ的平分线，且ＢＥ＝ＣＦ，那么△ＡＢ...     

sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ的几何简证

ｓｉｎ（α±β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ±ｃｏｓαｓｉｎβ的几何简证２２５２１１江苏省江都市大桥中学党庆寿本文给出恒等式ｓｉｎ（α±β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ±ｃｏｓαｓｎｉβ的一个几何简证．如图１，△ＡＢＣ为Ｒｔ△，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ在线段ＢＣ的延长线上．...