广义Rudin－Shapiro函数及其性质

为获得动力系统的高阶谱数［１２］，Ｑｕｅｆｆｅｌｅｃ引入了广义（ｑ阶ｑ≥３）Ｒｕｄｉｎ－Ｓｈａｐｉｒｏ序列｛ｒｋ｝，起关键作用的指数和的不等式为：回一１其中常数Ｃ取值为，本文对广义Ｒｕｄｉｎ－Ｓｈａｐｉｒｏ序列进行了进一步研究，引入了广义Ｒｕｄｉｎ－Ｓｈａｐｉｒｏ函数，将以上系数Ｃ改进为，并证明了是Ｒ上一个连续但几乎处处不可微的周期为１的函数，取值于与之间，使得     

Rudin—shapiro函数的Bouligand维数

设Ｐｎ，Ｑｎ为Ｒｕｄｉｎ－Ｓｈａｐｉｒｏ多项式，ψ为相应的Ｒｕｄｉｎ－Ｓｈａｐｉｒｏ函数，本文引入ψ的伴随函数△与ψ，讨论ψ的分析性质与算术性质，为讨论ψ的分形性质，我们确定了△及ψ的Ｈｏｌｄｅｒ指数，利用该结果及插值技巧确定了ψ的函数图象的Ｂｏｕｌｉｇａｎｄ维数与Ｐａｃｋｉｎｇ维数均为３／２，从而，该函数可作为一维Ｂｒｏｗｎ运动的模拟。     

Rndin─Shapiro函数的Bouligand维数

设Ｐｎ，Ｑｎ为Ｒｕｄｉｎ－Ｓｈａｐｉｒｏ多项式，ψ为相应的Ｒｕｄｉｎ－Ｓｈａｐｉｒｏ函数，本文引入ψ的伴随函数△与，讨论ψ的分析性质与算术性质。为讨论ψ的分形性质，我们确定了△及的Ｈｏｌｄｅｒ指数，利用该结果及插值技巧确定了ψ的函数图象的Ｂｏｕｌｉｇａｎｄ维数与ｐａｃｋｉｎｇ维数均为３／２．从而，该函数可作为一维Ｂｒｏｗｎ运动的模拟。     

1999年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题１．给定公比为ｑ（ｑ≠１）的等比数列｛ａｎ｝,设ｂ１＝ａ１＋ａ２＋ａ３,ｂ２＝ａ４＋ａ５＋ａ６,…,ｂｎ＝ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ,…,则数列｛ｂｎ｝（　　）．　（Ａ）是等差数列　　（Ｂ）是公比为ｑ的等比数列　（Ｃ）是公比为ｑ３的等比数列　（Ｄ）既非等差数列又非等比数列解　由题设,ａｎ＝ａ１ｑｎ－１,则　ｂｎ＋１ｂｎ＝ａ３ｎ＋１＋ａ３ｎ＋２＋ａ３ｎ＋３ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ＝ａ１ｑ３ｎ＋ａ１ｑ３ｎ＋１＋ａ１ｑ３ｎ＋２ａ１ｑ３ｎ－３＋ａ１ｑ３ｎ－２＋ａ１ｑ３ｎ－１＝ａ１ｑ３…     

等比数列前n项和公式的七种推导方法

［题目］　在等比数列｛ａｎ｝中,已知首项ａ１和公比ｑ,求前ｎ项和Ｓｎ．［方法１］——先让学生演算Ｓ１,Ｓ２,Ｓ３,Ｓ４,然后启发学生猜想结论,让学生在探索过程中发现公式,培养学生的探索精神．当ｑ≠１时,Ｓ１＝ａ１＝ａ１（１－ｑ）１－ｑＳ２＝ａ１＋ａ１ｑ＝ａ１（１－ｑ）１－ｑ（１＋ｑ）＝ａ１（１－ｑ２）１－ｑＳ３＝ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ２＝ａ１（１－ｑ２）１－ｑ＋ａ１ｑ２（１－ｑ）１－ｑ＝ａ１（１－ｑ３）１－ｑＳ４＝ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ２＋ａ１ｑ３＝ａ１（１－ｑ３）１－ｑ＋ａ１ｑ３（１－ｑ）１－ｑ＝…     

一个反应扩散过程的门槛结果

本文讨论反应扩散方程Ｃａｕｃｈｙ问题（ｕｔ－△ｕ＝ｕ＾ｐ－ｕ＾ｐ－ｕ，Ｘ∈Ｒ＾ｎ，ｔ∈（０，Ｔ），ｕ（ｘ，０）＝ｕ０（ｘ）≥０，Ｘ∈Ｒ＾ｎ，解的整体存在性，渐近性质和Ｂｌｏｗ－ｕｐ问题，其中１＜ｑ＜ｐ＜ｎ＋２／ｎ－２，ｎ≥３或者１＜ｑ＜ｐ＋∞，ｎ＝２．得到门槛结果。     

Jacobi多项式零点为结点的Lagrange插值多项式之逼近

对于可微函数ｆ∈Ｃｑ［－１，１］，本文研究以Ｊａｃｏｂｉ多项式Ｊ（α，β）ｎ（ｘ）的零点为结点组之Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式对ｆ及其导数的同时逼近，证明不等式Ｌ（ｓ）ｎ（ｆ，α，β，ｘ）－ｆ（ｓ）（ｘ）＝Ｏ（１）Δ－ｓｎ（ｘ）Δｑｎ（ｘ）ω（ｆ（ｑ），Δｎ（ｘ））ｌｏｇｎ｛＋（１－ｘ＋ｎ－１）－α－１２ｎ－ｑω（ｆ（ｑ），ｎ－１）｝，在［０，１］上对于ｓ＝０，１，２，…，ｑ一致成立，其中Δｎ（ｘ）＝ｎ－１１－ｘ２＋ｎ－２     

'98高中数学联赛试题新议别解

１９９８年高中数学联赛推出了很多情景新颖的题目,从而也就给我们的解题研究留下了广阔的空间,作为初步的考虑,我们提出９道题目异于标准答案的解法,包括所有的解答题．例１　（’９８高中数学联赛第一（３）题）各项均为实数的等比数列｛ａｎ｝前ｎ项之和记为Ｓｎ,若Ｓ１０＝１０,Ｓ３０＝７０,则Ｓ４０等于（　　）．　（Ａ）１５０　　　　　　　（Ｂ）－２００　（Ｃ）１５０或－２００（Ｄ）４００或－５０解法１　由Ｓ３０＝Ｓ１０（１＋ｑ１０＋ｑ２０）,有ｑ２０＋ｑ１０－６＝０,解出正根ｑ１０＝２,从而Ｓ４０＝Ｓ１０…     

等比数列的一个性质

设｛ａｎ｝是以ｑ为公比的等比数列,其前ｎ项和为Ｓｎ,若１≤ｍ＜ｎ,则易知　Ｓｎ＝Ｓｍ＋ｑｍＳｎ－ｍ．（１）特别地,当ｍ＝１而ｎ＞１时,有　　　　　Ｓｎ＝ａ１＋ｑＳｎ－１．（２）这是等比数列的一个简单性质,容易推出其逆命题也成立．下面举两例说明（１）和（２）的应用．例１　设｛ａｎ｝为等比数列,公比为ｑ,前ｎ项和为Ｓｎ．（Ⅰ）若对任何ｉ＝１,２,…,ｍ,有｜Ｓｉ｜≤Ｍ（常数）,则对任何ｉ＝１,２,…,２ｍ,有｜Ｓｉ｜≤（１＋｜ｑ｜ｍ）Ｍ．（Ⅱ）若对任何ｉ＝１,２,…,ｍ,有｜Ｓｉ｜≤Ｍ且｜ｑ｜＜１,…     

任意m值随机变量序列与独立序列的比较及其极限性质

设｛Ｘｎ，ｎ≥１｝是在Ｓ＝｛１，２，…，ｍ｝中取值的随机变量序列，其联合分布为ｐ（ｘ１，…，ｘｎ），（ｐ１１，ｐ１２，…，ｐ１ｍ）（ｉ＝１，２，…）是Ｓ上的一列分布，ｋ∈Ｓ，Ｓｎ（ｋ，ω）是ｋ在序列Ｘ１（ω），Ｘｎ（ω）中出现的次数。ψｎ（ω）＝∑＾ｎｉ＝１ｌｏｇｐｉｘｉ－ｌｏｇｐ（Ｘ１，…，Ｘｎ）称为（Ｘｉ，１≤ｉ≤ｎ）相对于乘积分布∏＾ｎｉ＝１ｐｉｘｉ的对数似然比，Ｓｎ（ｋ，ω）－∑＾ｎｉ＝１     

弱Herz空间的应用

设１〈ｑ〈∞和０〈ｐ≤１，本文证明了一大类算子有界地映Ｈｅｒｚ空间Ｋｑ＾ｎ（１－１／ｑ，＾ｐ（Ｒ＾ｎ）到弱Ｈｅｒｚ空间ＷＫｑ＾ｎ（１－１／ｑ），＾ｐ（Ｒ＾ｎ）。本文还引入了弱Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间，并且证明了局部Ｃａｌｄｅｒｏｎ－Ｚｙｇｍｕｎｄ型算子有界地映Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间到弱Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间。     

一组互相关联的不等式命题

大家知道，由ｎ元均值不等式可方便地得到如下一个不等式：设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），则∑ｎｉ＝１ａｉ∑ｎｉ＝１１ａｉ≥ｎ２；（１）不等式（１）相当有用，对它作适当代换，可引出一组互相关联的不等式命题；首先，对（１）作代换（Ｓ－ａ１，Ｓ－ａ２，…，Ｓ－ａｎ）→（ａ１，ａ２，…，ａｎ），其中Ｓ＝∑ｎｉ＝１ａｉ，得命题１　设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），∑ｎｉ＝１ａｉ＝Ｓ，则∑ｎｉ＝１１Ｓ－ａｉ≥ｎ２（ｎ－１）Ｓ　；（２）证明　由（１），∑ｎｉ＝１（Ｓ－ａｉ）∑ｎｉ＝１１Ｓ－…     

带振荡系数的Kloosterman和

ａ，ｑ为正整数，且（ａ，ｑ）＝１，μ（ｎ）为Ｍｂｉｕｓ函数，带系数μ（ｎ）的不完整Ｋｌｏｏｓｔｅｒｍａｎ和定义为Ｓ（Ｎ，ａ，ｑ）＝∑ｎＮｎｎ≡１（ｍｏｄｑ）μ（ｎ）δｑ（ｎ）ｅａｎｑ，其中δｑ（ｎ）＝１如果（ｎ，ｑ）＝１，否则δｑ（ｎ）＝０本文建立如下较为精确的上界估计Ｓ（Ｎ，ａ，ｑ）Ｎｄ（ｑ）ｌｏｇ５２Ｎｑ１２＋ｑ１５ｌｏｇ１３５ＮＮ１５｛｝这个结果进一步改进了Ｈａｊｅｌａ，Ｐｏｌｉｎｇｔｏｎ以及Ｓｍｉｔｈ以前的工作     

关于Szasz—Kantorovich算子的强逆不等式

本文对Ｓｚａｓｚ－Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ算子Ｓｎ＾＊（ｆ，ｘ）证明了，当１〈ｐ≤∝时存在某一正整数ｍ，使得ｗψ＾２（ｆ；１／√ｎ）ｐ≤Ｍ（‖Ｓｎ＾＊（ｆ，ｘ）－ｆ‖ｐ＋‖Ｓｍｍ＾＊（ｆ，ｘ）－ｆ‖ｐ），ψ（ｘ）＾２＝ｘ，Ｍ〉０，ｗψ＾（ｆ，ｔ）ｐ为Ｄｉｔｚａｉｎ和Ｔｏｔｉｋ光滑模〔２〕。     

一种级数的维数

令其中Ｓ∈（１，２），对ｎ∈ｚ，ｉ）若ｂｎ＋１／ｂｎ单凋趋于无穷．则图形Ｇ（ｆ，Ｉ）的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数ｉｉ）若ｂｎ＝ｂｎ（ｂ＞１），则Ｓ≥ｄｉｍＧ（ｆ，Ｉ）≥Ｓ－Ｃｂ１－ｓ其中Ｃ是一个常数．     

数学问题解答

１９９８年８月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１４６．设ｘｉ∈Ｒ＋，１≤ｉ≤ｎ，ｎ≥２，∑ｎｉ＝１ｘｉ＝Ｓ．试证：∑ｎｉ＝１ｘｉＳ－ｘｉ≥ｎｎ－１Ｓ证明∵ｘｉＳ－ｘｉ＝ＳＳ－ｘｉ－Ｓ－ｘｉ＝ＳＳ－ｘｉ＋ｎｎ－１Ｓ－ｘｉ－２ｎ－１ｎ－１Ｓ－ｘｉ≥２...     

n次多项式系统不变直线条数的两个估计

该文将ｎ次多项式系统简称为Ｅｎ系统。该文证明了Ｅｎ系统当ｎ≥３时可存在Ｒｎ＝２ｎ＋１＋（－１）＾ｎ２条方向各异的不变直线及当ｎ≥２时至多存在ｎ组平行的不变直线；本文举例说明，当ｎ≥２时，Ｅｎ系统可以存在Ｓｎ＝２ｎ＋３＋（－１）＾ｎ＋１２条不变直线。提出了二个估计：（１）当ｎ≥２时，Ｅｎ系统至多存在Ｓｎ条不变直线，证明了ｎ＝２，３，４时这一估计是对的；（２）当ｎ≥３３时，Ｅｎ系统至多存在Ｒｎ条方向各     

对称本原矩阵指数集的刻画

设Ｓｎ表示由全体ｎ阶对称本原（０，１）－矩所构成的集合，并设Ｓ（ｎ，ｄ）＝｛Ａ∈Ｓｎ│Ａ的伴随有向图中的最小奇圈之长为ｄ≥１｝。本文证明了：Ｓ（ｎ，ｄ）的本原指数集为｛ｄ－１，ｄ，…，２ｎ－ｄ－１｝＼Ｄ，其中Ｄ为｛ｎ－ｄ＋１，ｎ－ｄ＋２，…，２ｎ－ｄ－２｝中的所有奇数与０之并集，同时，我们也给出了Ｓ（ｎ，ｄ）中指数达到上界的矩阵集合的完全刻画。     

关于类空W超曲面的一个存在性定理

利用超曲面的旋转对称性，将ＰＤＥ的求解转化为ＯＤＥ的求解，确定了Ｄｅ Ｓｉｔｔｅｒ空间中的一类旋转型的Ｗｅｉｎｇａｒｔｅｎ超曲面。即获得：给定Ｒ＾ｎ－１内开集（０，∞）＾ｎ－１上一个Ｃ＾１函数ｋｎ＝ｆ（ｋ１，…，ｋｎ－１）（ｎ≥２），一定存在Ｄｅ Ｓｉｔｔｅｒ空间Ｓ１＾ｎ＋１内的ｎ维类空旋转超曲面Ｍ，使得Ｍ的ｎ个主曲率ｋ１，…，ｋｎ恰有上述函数关系。     

值域有界的一类非线性算子不动点的带误差迭代逼近

设Ｘ为一致光滑实Ｂａｎａｃｈ空间·Ｔ：Ｘ→Ｘ为连续强增生算子·ｆ∈Ｘ·定义算子Ｓ：Ｘ→Ｘ为Ｓｘ＝ｆ－Ｔｘ＋ｘ,ｘ∈Ｘ·设αｎ｛｝∞ｎ＝０与βｎ｛｝∞ｎ＝０为两个给定的实数列在（０,１）中且满足条件：（ⅰ）αｎ→０,βｎ→０（ｎ→∞）·（ⅱ）∑∞ｎ＝０αｎ＝∞·假设ｕｎ｛｝∞ｎ＝０和ｖｎ｛｝∞ｎ＝０为Ｘ中两个序列且满足‖ｕｎ‖＝ｏ（αｎ）,‖ｖｎ‖→０（ｎ→∞）·ｘ０∈Ｘ,迭代序列ｘｎ｛｝定义为：（ＩＳ）ｘｎ＋１＝（１－αｎ）ｘｎ＋αｎＳｙｎ＋ｕｎｙｎ＝（１－βｎ）ｘｎ＋βｎＳｘｎ＋ｖｎ（ｎ≥０）｛若Ｓｘｎ｛｝,Ｓｙｎ｛｝有界,则ｘｎ｛｝强收敛于Ｓ的唯一不动点