为什么复数不能比较大小

我们知道,自然数、整数、有理数以及实数都可以排序,都能比较大小.但是复数能不能排序?为什么复数不能比较大小?本文对这些问题给予解答.事实上,顺序关系与大小关系是两种不同的关系,显然后者是与运算有关的顺序关系.那么在数学中什么是"序"呢?定义1如果集合E中的元素之间定义了一     

99复数集与实数集中的相异性质

T:通过复数这一章的学习,我们已经知道,将实数集扩充到复数集后,实数集中的有些性质,在复数集中已不再成立了.这一课,我们共同来回顾一下,在实数集与复数集中有哪些相异的性质?在问题的牵引下,学生们纷纷举手发言:(1)在实数集中,任意两个实数都可以比较大小;在复数集中这条性质     

复数集内的实数不能比较大小吗?

《数学通报》1999年第5期文[1]认为,复数集内任意两个实数不能比较大小,并以复数2与-3为例,讨论它们的大小问题.该文作者认为,在复数集内,不能断定2大于-3.理由如下:第一,复数集内,2的原形是2 0·i,-3的原形是-3 0·i.根据复数的标准形式,只能断言前者的实部大于后者的实部,由于复数间未定义过大小关系,所以不能凭它们的“简写”形式谈2与-3的大小.第二,在复数间不存在同时满足实数间“小于”关系四条性质的关系,即复数集内不能合理地定义“小于”或“大于”概念,故不能比较2与-3的大小.笔者认为,上述理由不足以证明实数在复数集内·不·能…     

浅说两个复数间的关系

高中数学课本《代数》(甲种本)第二册 P.195,有这样一段话:“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小。”虽然,课本中指出:“关于这个命题的证明,本书从略。”但是,对于求知欲很强的学生,这个问题是必须要求教师解答的。如果仅像教学参考书上那样,只举两个例子也是不能圆满解释清楚的。笔者认为,对于这个问题要从以下三个方面进行解释。一.两个复数问存在顺序关系首先我们给出数集扩大原则。即“在扩大数集中,对于某些运算与关系应重新定义,并且当其将原来数集中的数看成扩大数集中的数时,要与新定义一致。”根据这条原则。我们就可以研究复数的顺序问题了。对于复数 x+yi(x、y∈R,本文中 R 表     

复数集内的实数能比较大小吗?

在讲述复数不能比较大小时，有些书本上这样写：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小．”这话里只说了一部分复数不能比较大小．两个复数，如果全是实数，能不能比较它们的大小呢？书上没有提及．于是，有人认为，两个复数，如果全是实数，就可以比较它们的...     

利用复数解不等式问题

众所周知,不等式的概念是建立在实数基础上的,不全为实数的两个复数不能比较大小。但是,复数与不等式并非水火不容,它们之间存在着一种“血缘”关系——反映在复数的实部、虚部和模之间的关系,以及几个复数的模之间的关系。     

倒数在分式中的应用

<正>有些分式题,如果直接求解,往往难以入手,若能巧妙运用倒数的下面两个结论,可化难为易,使运算更加简便.如果a=b≠0,那么1/a=1/b;如果a>b>0或b相似文献   

微积分严格化之后(续二)

一、复数域上的微积分Frobenius定理说 :实数域上所有有限维结合可除代数 ( Division Algebra)只有三个 ,即 :实数域 ,复数域 ,四元数 ( Quaternion)代数 ,如果去掉结合性要求 ,则实数域上还有另一个可除代数 Cay-ley-Dickson代数 ,即 Octonion代数。在实数域上的维数为 8。由于四元数代数不可交换 ,Cayley-Dickson代数既不可交换又不结合。而复数域既可交换又可结合 ,且复数早已为人们所熟悉 ,于是人们在考虑原有微积分 ,即实数域上的微积分之后 ,理所当然地考虑复数域上的微积分 ,这就形成了复分析。复分析既然是复数域上的微积分 ,那…     

复数引入的教学设计思路

在复数的第一节课教学中,一般的做法是:简单地介绍一下自然数、有理数、实数的知识,然后提出负数需开方的问题,进而引入复数概念.课上的时间大都花在复数的一般形式介绍,以及虚数、实数的判断上.其实,这种教学设计会失去一次向学生介绍数的产生发展过程的机会.因此,笔者在教学中,把实数发展过程作为重点,通过实数的回顾、整理,完善学生的实数知识.下面是我在复数引入课中的教学过程设计.一、回顾实数今天我们来了解数的产生和发展.数是数学的基础.我们从小学开始,学了不少的数的知识.那么,同学们对数有何了解呢?比如:自然数的历史是怎样的?…     

关于数的概念进一步扩充的可能性問題

从实数出发,引进两个单位:实单位(1,0)=1与虛单位(0,1)=i,我們可以建立包含全部实数的形状如a+bi=a·1+b·i的复数系(当b=0时,a+bi=a就和实数a一致)。这时,我們可以在新数系中引进算术运算,并且保持在实数系中成立的全部基本运算律(加法的交换律与結合律,乘法的交換律与結合律,乘法对加法的分配律等等)。自然,細心的讀者可能会产生这样的問题:能不能再进一步扩充数域呢?确切地說:是不是可以把复数本身作为更广泛的一类数的特殊情况,而这类数也是从实数出发,但借助于两个以上不同的单位而建立起来的,并且还能保持全部的基本运算律呢? 这个問題的答案是否定的。就是說:原则上不可能再进一步扩充数域并且使得算术运算的全部基本运算律仍被保持。但是,如果可以舍去其中几条,那么这种扩充仍是可能的。     

巧用z与的关系解题

在复数学习中 ,经常遇到涉及以实数或纯虚数为条件或判断复数为实数或纯虚数的问题 .如果按照常规 ,根据概念来分析与判断 ,有时计算非常复杂 .下面关于ｚ与 ｚ的两个命题能提供一条途径 ,使得上述计算简化 ,同时能加深对复数概念的理解 .命题 1　复数ｚ为实数的充要条件是 : ｚ=ｚ .证　设ｚ =ａ ｂｉ,则 ｚ =ａ -ｂｉ.ｚ∈Ｒ ｂ =0 ｚ = ｚ .命题 2　设ｚ≠ 0 ,则ｚ为纯虚数的充要条件是 ｚ =-ｚ .证　∵ｚ≠ 0 ,设ｚ =ａ ｂｉ,则ａ ,ｂ不全为 0 .ｚ为纯虚数 ａ =0且ｂ≠ 0 ａ ｂｉ ａ -ｂｉ=0 ｚ ｚ =0 .例 1　设复数α ,β ,…     

复数不能比大小

为什么不能给两个复数比大小呢?一位高中学生表示不服，他认为，要比较两个复数的大小，可以先把实数部分比较一下，谁的实部大谁就大；若实部部分相等，就比较虚数部分，虚部大的就大，如3+6i&;lt;5+4i，7+8i&;gt;7+5i．     

巧用z与^-z的关系解题

在复数学习中,经常遇到涉及以实数或纯虚数为条件或判断复数为实数或纯虚数的问题．如果按照常规,根据概念来分析与判断,有时计算非常复杂．下面关于。与三的两个命题能提供一条途径,使得上述计算简化,同时能加深对复数概念的理解．     

向量学习六注意

注意1 要区别向量a与实数a 向量a既有大小又有方向,它的大小就是向量a的模(长度),记作|a|,|a|是一个非负实数.两个向量不可以比较大小.它们之间的关系只能说是相等或不相等,平行或不平行,共线或不共线,a>b或a|b|表示向量a的长度大于向量b的长度.而实数a只有大小,没有方向,两个实数之间可以比较大小.     

关于方阵相似的一个问题

在1980年4月号的《美国数学月刊》上,有W.Watkins一篇短文,其中不用初等因子理论证明了:若两个实系数方阵在复数域上相似,则这两个方阵在实数域上相似。我们不清楚,为什么作者要把问     

复系数一元二次方程的根的判别

实系数一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的根的情况可以通过判别式△=b~2-4ac的符号来确定: 当△>0时,方程有两个不相等的实数根; 当△=0时,方程有两个相等的实数根; 当△<0时,方程有两个共轭虚根。 进一步,如果方程的系数可以是虚数,那么根的判别式还能不能用?如不能用,应该怎样判别?     

八元数矩阵的行列式及其性质

赋范的可除代数只有四种:实数R,复数C,四元数日和八元数O.由于八元数关于乘法非交换且非结合,如何对八元数矩阵定义行列式并使其具有较好的运算性质变得非常困难.最近,李兴民和黎丽根据"八元数自共轭矩阵的行列式应为实数"这一数学与物理上的需求,通过选择几个八元数乘积的次序和结合方式,首次给出了八元数行列式的定义.但是,与实数、复数以及四元数的相应的情形比较,如此定义的行列式,其所具备的运算性质较少.本文给出了一种新的八元数行列式的定义,它们具备了尽可能多的运算性质,同时使得"八元数自共轭矩阵的行列式为实数"不证自明.     

转换复数问题的几种途径

<正>复数求解问题是复数运算中的一个难点,处理不好,就会陷入繁冗的计算中去,针对这点,本文试图通过数例来说明解决这类问题的几个途径.一、化虚为实由于复数是在实数的基础上扩充的,因而与实数有着密切联系.所以许多复数问题如能依据问题的条件特征及有关的复数知识化虚为实,及时转化为实数问题来处理,则能迅速找到解题的突破口,使问题顺利快捷获解.     

平面向量基本定理的相关性质及应用

平面向量的基本定理是平面向量坐标表示的基础,说明了同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.即:如果e_1,e_2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ_1,λ_2,使a=λ_1e_1 λ_2e_2.这一对有序实数决定了向量a与基底向量e_1,e_2的位置关系.下面就实数λ_1,λ_2的变化所反映的向量a与基底向量e_1,e_2的几种位置关系作一些初     

认真批改 追根溯源——写在复数作业题批改之后

作业是学生思维能力的“培训地”,是知识的“落实场”,是教学效果的“检查站”.因此,批改作业是重要的教学环节之一. 我们教完了复数一章,通过对作业题的批改,感到学生对复教基础知识的理解存在一些问题.这些问题多表现于对复数与实数之间的差异认识不深,因而不当地因袭实数知识去处理复数问题.现将作业中出现的问题归纳分析如下: