分段函数的连续可导性

讨论了分段函数的连续可导性,得到了一个分段函数具有任意阶导数的充分条件,并介绍了一个求分段函数在其分段点处n阶导数的公式     

Cauchy中值定理与Leibniz公式的推广

引入辅助函数的方法可将Cauchy中值定理推广到高阶形式,即两函数n阶Taylor展开误差的比值等于在某点两函数(n+1)阶导数比值的形式;用数学归纳法可将Leibniz公式中函数的个数推广至任意有限多个.     

幂级数展开技巧三例

对于一个在z0处有任意阶导数的函数f（z），只要求出f（z）在z0处的n阶导数f（n）（z0），即把f（n）（z0）表示成n的函数，就能够写出f（z）在z0处的幂级数。然而，对于有些可导函数，要求出f（z）在z0处的n阶导数是很困难的，甚至是不可能的。对于这样的函数，只求出其幂级数的前边少数项，一般不能推知后边各项，因此不能算是把该函数展开成了幂级数。这时可以根据函数本身的特点，运用一定技巧求得其幂级数系数的递推公式。例1求函数人z）一e2＝7在z。一0的幂级数展开式。解由于人Z）在Z一1有无穷间断点，在其余各点有任意阶导数，可以…     

利用偏反函数求解多元隐函数的偏导数

本文利用类比联想给出了一种类似于一元函数利用反函数求导法则的新方法来求解多元隐函数的偏导数,并在此基础上利用多元函数的一阶微分形式不变性得出了以二元函数为例6个偏导数中的某三个满足特殊的链式法则,并将此法则推广到任意n元函数.     

光滑函数有限阶零点的一个性质

一个函数在实数集上无限阶可导,这样的函数为实数集上的光滑函数.如果一个光滑函数f在x=a处函数值为零称x=a是函数f的零点,如果该光滑函数在此点处还满足:直到n-1阶导数都为零,但n阶导数不为零,这个零点称为是n阶零点,本文中证明f与x-a的n次幂之比还是光滑函数.     

有界解析函数的n阶导数估计

本文研究了有界解析函数的n阶导数估计.利用有界解析函数泰勒展开式的系数估计,得到了n阶导数估计的一般式,改进了已有的相关结果.     

有界正则函数的导数估计

在这篇文章中,主要讨论了n阶导数的估计式,即对有界正则函数φ（z)=c0 c1z … cnz^n …(在│z│1内正则）,从已知的三阶、四阶导数估计式,利用归纳法原理及有界正则函数的性质推出n阶导数的一般估计式,并推出在│z│＜1内正则的正实部函数的n阶导数的一般估计式。     

特殊类型函数高阶导数与原函数的统一公式

本文通过研究几种特殊类型函数的高阶导数与原函数的求法 ,获得了由该类函数自身及其一阶导数的特征 ,即可快速写出该类函数的 n阶导数 y( n) 与原函数 y( - 1 ) 的统一公式 y( n) ( n=-1 ,1 ,2 ,3 ,… ) .该公式可给实际运算带来许多简化与方便 .     

高阶可微函数Ostrowski型不等式

研究了一类n阶可微函数,利用其n阶导数上、下界以及Cruis不等式,给出了n阶可微函数Ostrowski型不等式,从而推广二阶可微函数Ostrowski型不等式.     

Taylor公式中的Lagrange型余项R_n(x)的探讨

对函数f(x)的n阶Taylor公式中的Lagrange型余项Rn(x)是否能用f(x)的(n+1)阶导数表示,又能用(n+2)阶导数表示进行了研究,得到了用f(x)的(n+1)阶导数、(n+2)阶导数表示均可的结论,从而使奇偶函数展为Taylor公式更加灵活.     

Schwarz引理与Schwarz-Pick引理在单位球B_n上的推广

对单复变中的Schwarz引理与Schwarz-Pick引理在C~n中的超球上进行了推广.考虑C~n中单位球B_n上模小于1的全纯函数f(z),并在f(0)=0的条件下给出函数在原点的任意阶导数的估计.更进一步地,得到了B_n上模小于1的任意全纯函数在任意点的高阶导数的估计.     

求高阶导数的方法与技巧

给定y=f(x),设其在区间I n阶可导,求f~(n)(x),一般来说比较困难一下面总结几种求n阶导数的方法与技巧,以求能对大家有所启发.     

导数的性质及其应用

运用导数的思想来确定满足拉格朗日中值定理的一类函数,通过具体例子说明如何确定这些函数及由函数的n阶导数来判断函数的性质.     

多重复合函数高阶导数的一般公式研究

本文研究多重复合函数任意阶导数的计算,给出了一般性的结论,推广了Leibniz求导公式.     

对称性在微积分中的一些应用

对称的概念在数学领域有着非常广泛而重要的作用,人们可以利用问题涉及的数学对象本身具有的对称因素去解决问题,在微积分部分,利用函数,积分域等所具有的对称性可以拓展思路,简化运算,下面举例说明,仅供教学中参考．一、在微分计算中的应用定义1若将n元函数中任意两个变元对换而函数不变,则称是对称函数．规则是偏导数存在的对称。数,则具,中的X换成y,y换成X,就得到了．规则1可以推广到任意n元对称函数中每一个变元的任意m阶偏导数．利用函数X的对称性,将（1）、（2）式中X,y互换得将（1）、（2）式中工,Z互换得定义2如果…     

Taylor公式中的Lagrange型余项的探讨之注记

文献[1]对函数的Taylor公式中的Lagrange型余项Rn(x)进行了研究,得到了Rn(x)用函数的(n+1)阶导数、(n+2)阶导数表示均可的结论,本注记说明文献[1]的结论正确但证明过程有误.     

论Hermite插值

本文给出了Hermite插值多项式及其各阶导数的显式表示. 对于一个在x的某个领域内有足够高阶连续导数的函数f和位于该领域的任意一组节点, 给出了用f的Hermite插值多项式在点x的任意阶导数逼近f(x)的相应导数时余项的渐近表示.     

函数的冪級数展开式中的一个問題

А.Я辛钦在“教学分析简明教程”§78函数的冪级数展开式一节中指出,只有当函数S(x)在给定的区间的每一点处存在任意阶的导数时,才能谈到这个函数展开成冪级数的问题。如果函数S(x)可以展成冪级数 S(x)=sum from n=0 to ∞(a_nx~n), (1)则这个级数就一定具有所谓焉克洛林级数的形式 S(x)=sum from n=0 to ∞((S~(n))(0))/(n!)x~n (2) 辛钦指出,任何一个在x=0处具有任意阶的导数的函数,都有焉克洛林级数(2);当然,这还并没有能解决掉这些关于把函数S(x)展开成冪级数的问题,因为:1)级数(2)在任何一点x≠0处都可能是发散的;2)即使级数(2)在点x≠0处收敛,它的和也还可能不等于S(x)。     

前言

<正>分数阶微积分已有三百多年的发展历史,它几乎与整数阶微积分同时出现.之所以被称为"分数阶",完全是由于历史的原因.实际上,分数阶微积分允许计算给定函数的任意实数阶甚至是复数阶的积分和导数.分数阶导数的想法最早由L'Hospital于1695年向G.W.Leibnitz提出,在G.W.Leibniz的回信中,他们首次讨论了关于1/2阶导数的定义的可能性及其蕴涵的深远意义.N.H.Abel在1823年求解一个积分方程的过程中涉及了分数阶微     

多阶可微函数的迭代根与 Bodewadt 猜想

B(?)dewadt 在[1]中研究了定义于开区间(a,b)上的多阶可微函数 F(x)的迭代根,并证明了如下之B(?)dewadt 定理 若 F(x)定义于(a,b)且在(a,b)有任意阶的导数 F~(k)(x),(k=1,2,…),F′(x)>0,F(x)>x.且 F(x)把(a,b)变为(a,b),则对任意正整数 n≥2,存在定义于(a,b)的任意阶可微函数 f(x)满足