Taylor公式中的Lagrange型余项R_n(x)的探讨

对函数f(x)的n阶Taylor公式中的Lagrange型余项Rn(x)是否能用f(x)的(n+1)阶导数表示,又能用(n+2)阶导数表示进行了研究,得到了用f(x)的(n+1)阶导数、(n+2)阶导数表示均可的结论,从而使奇偶函数展为Taylor公式更加灵活.     

广义台劳公式的简单证明

文[1]中采用用行列式来表示辅助函数的方法,提出并证明了广义台劳公式(即[1]中定理2):定理 设函数f(x),g(x)在[a,b]上具有n阶连续导数,在(a,b)内f~(n 1)(x)、g~(n 1)(x)存在,且     

利用微分中值定理推广两个题目

利用泰勒中值定理推广[1]中的一个例题,利用罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理推广2001年全国考研一个题目,分别得到如下结果:1.若f(x)在(a、b)内恒为正,在[a,b]上具有(2n 2)阶连续导数,并且在两个端点处不超过2n阶的导数均为零,则∫abf(2fn( 2x))(x)dx>(2(nb -1a))!22n 21n 22.若f(x)在[-a,a]上具有2n阶导数,且在原点处不超过2n-2阶的偶数阶导数均为零,则在[-a,a]上至少存在一点η,使2a2n 1f(2n)(η)=(2n 1)!∫-aaf(x)dx     

关于函数的光滑性

本文借助于逐段多项式逼近函数的理论,完整地回答了如下的问题:为了使[-1,1]上的有界函数f(x)有k阶连续导数,应该对f的k+l阶光滑ω_(k+1)(f,δ)作怎样的限制?     

L_[0,1]~p(1

梅雪峰  周颂平 《数学进展》2005,(6)

零极限迭代数列的收敛阶

给出了迭代数列x_(n+1)=f(x_n)极限的一般性结论.在早期文献[1],[2]结论limn→∞nx_n~q=1/cq的基础上,通过函数f(x)在x=0处的Taylor展式,给出了无穷小量nx_n~q-1/(cq)等价量的一般计算方法.此等价量的阶的推导和估计在本文的最后一节给出.     

关于勒让德多项式导数的正交性

本文证明了勒让德多项式 Pn( x)的 k阶导数 P( k)n ( x)是 [-1 ,1 ]上关于权函数 ρ( x) =( 1 -x2 ) k的正交多项式 ,推广了 [1 ]的结果 .     

多元函数取局部极值的一个充分条件及其几何意义

在现有的高等数学教材中 ,如文献 [1 ],多元函数取局部极值这一部分仅介绍二元函数在驻点处的情况 ,而有的驻点也无法判断是否为极值点。文献 [2 ]给出了多元函数取局部极值的一个充分条件 ,但也仅考虑驻点的情况 ,有的驻点也无法判断是否为极值点。本文提出的方法 ,对驻点和偏导数不存在的点均能判断是否为极值点 ,且对多元函数本身要求不高。对于二元函数 ,此方法有其明显的几何意义。定理　设 f( x1,x2 ,… ,xn)在 P0 ( x01,x02 ,… ,x0n)的邻域 U( P0 ,δ)内连续 ,且在去心邻域 U( P0 ,δ)内有一阶连续的偏导数。若在 P0 ( x01,x02…     

线性过程样本协方差序列的渐近分布

文献[1]给出强平稳实四阶鞅差序列{ε(n),n=0,±1,±2,…}条件下一类线性过程{x(n),n=1,2,…} x(n)=sum from j=0 to ∞ψ_jε(n-j)的样本协方差的极限分布,本文拓广了[1]的结果,对一般四阶鞅差序列得到与[1]类似的结论。     

关于泰勒定理的一点注记

现今的一些教科书中对泰勒定理都有详尽的证明。本文准备对泰勒展开的唯一性进行一些注解。并且介绍一个与泰勒公式有所不同的展开公式。 假设f(x)在闭区间[a,b]上有连续的n阶导函数,且在开区间(a,b)内有n 1阶导数,则