三角不等式和极值

一、三角不等式的证明三角不等式,如果对三角函数施以变量代换,就可以转化为代数不等式,因此证明代数不等式的所有方法都可用来证明三角不等式,但是三角函数又有其自身的性质和特点,这些性质和特点丰富了三角不等式的证明方法.由于代数不等式的内容安排在高二,因此这里我们只能介绍一些简中的能为同学所接受的方法. 1、用代数方法证明三角不等式     

两个几何不等式的代数本质及应用

众所周知,绝大多数的几何不等式是利用代数方法证明的,这是从代数到几何的过程.如果能再从几何回归代数,探讨几何不等式的代数本质结构,也是十分有意义的事情.笔者从两个著名的几何不等式的代数本质着手,通过演变,得到了一系列优美的新的代数不等式和几何不等式,结果令人“震撼”,回味无穷.     

不等式的证明

1　教材分析1.1　教材内容“不等式的证明”是高中《代数》下册 (人教社 ,1990年 10月版 .下同 )“不等式”一章的重点和难点内容之一 ,是在学完不等式的基本概念与基本性质的基础上 ,对不等式的进一步研究 .本节内容通过九个例题分别介绍了证明不等式的一些常用的基本方法———比较法、综合法和分析法 ,它是不等式性质的直接运用 ,也是研究代数证明题的重要载体 .本节教材内容丰富 ,可分七课时完成 ,本课时内容是教材第 14页的例 9.在此之前学生已经对不等式证明的三种方法有了初步的认识 ,形成了一定的基本技能 ,该课时设想通过一题多法 …     

不等式的“直觉”证明方法

近年来,不等式尤其是代数不等式是各国数学奥林匹克竞赛考查的重点,因其求解过程往往具有技巧性,代数不等式经常成为一朵奇葩,引人入胜.我国著名数学家华罗庚曾说:"人们对数学产生枯燥无味、神秘难懂的印象,原因之一便是脱离实际."因此在代数不等式解题过程中尽量舍去技巧性,而直觉的、自然的解题方法往往更容易切合学生的知识点.宋庆老师在文[1]中讨论了若干代数不等式问题,其证明过程所采用的方法具有代表性,值得学习.笔者     

不等式的面积视角

同学们对一个代数不等式的理解,一般更注重于它的代数证明,而内隐在其背后的丰富的图形直观背景,则往往疏于挖掘,这不能不说是一种遗憾.实际上,很多代数不等式,不但可以通过代数的方法予以证明,而且还蕴含形象的几何意义,如果我们面对一个代数不等式,能够积极探寻其图形解释,不但可以加深对不等式的理解程度,而且还别具趣味.本文仅从...     

不等式的面积视角

同学们对一个代数不等式的理解,一般更注重于它的代数证明,而内隐在其背后的丰富的图形直观背景,则往往疏于挖掘,这不能不说是一种遗憾.实际上,很多代数不等式,不但可以通过代数的方法予以证明,而且还蕴含形象的几何意义,如果我们面对一个代数不等式,能够积极探寻其图形解释,不但可以加深对不等式的理解程度,而且还别具趣味.本文仅从图形的面积关系,来审视一些代数不等     

一组不等式的四种图形证明

利用图形证明不等式,不仅构思巧妙、直观易懂,而且还能给出代数不等式的几何意义,这对于开拓学生思维、培养数形结合能力都有一定益处。下面给出一组不等式     

介值定理与区间法解不等式

在初等代数中,常用列表法解一元高次不等式.由于这一方法是以多项式理论为基础的,所以有很大的局限性.本文将以连续函数的介值定理为依据,阐明区间法解不等式的一般原理,从而将区间法推广到解更广的一类不等式(基本上可包括初等代数中的全部不等式),并且对解法作进一步的改善与简化. 先回顾一下介值定理,它的证明可在任何     

Abel不等式和Hlder不等式的一个共同加强

在本篇短文中,我们将利用Young不等式建立一个代数不等式,所给的证明是十分简洁的.并且我们将看到这个代数不等式是著名的Abel不等式和H(o)lder不等式的一个共同加强.     

Abel不等式和H(o)lder不等式的一个共同加强

在本篇短文中,我们将利用Young不等式建立一个代数不等式,所给的证明是十分简洁的.并且我们将看到这个代数不等式是著名的Abel不等式和H(o)lder不等式的一个共同加强.     

推介一组优美的国外代数不等式竞赛题

不等式证明是各级各类数学竞赛的热门话题,在2012年国外的数学竞赛里,出现了许多优美的不等式证明题,笔者收集整理了当中的一部分,作为新颖的竞赛辅导资料必是有益的.对于这些不等式的证明,其关键是恰当的代数变形,以及适时利用均值不等式、柯西不等式.     

Taylor展开式与三角函数不等式的自动证明

文章以具有模型f(x,tan(x/2))0的三角函数不等式为研究对象来探讨超越不等式的机器证明问题,运用Taylor展开式将目标不等式的证明转化为一系列的一元多项式不等式的证明,然后借助代数不等式证明工具(如Bottema)完成最后的工作.运用Maple编制程序实现了上述算法,实验结果表明算法对常见的三角函数不等式十分有效,并且证明过程是"可读"的.     

基于区间分析的不等式自动证明

提出了一种基于区间分析的不等式自动证明方法,这一方法可以处理类型较为一般的不等式, 只需对应的函数具有所需的高阶连续可微性质, 而传统的不等式自动证明方法一般仅处理代数类型, 或可最终转化为代数类型的不等式.实际例子显示, 该方法可以解决一些其他方法无法解决的问题.     

指数多项式不等式的自动证明

讨论了指数多项式不等式的自动证明问题,运用Taylor展开式将目标不等式的证明转化为一系列的一元多项式不等式的验证,然后借助代数不等式证明工具(如Bottema)完成最后的工作.运用Maple实现了上述算法,算法对所有指数多项式不等式终止,并且可以输出"可读"的证明过程.     

指数多项式不等式的自动证明北大核心CSCD

讨论了指数多项式不等式的自动证明问题,运用Taylor展开式将目标不等式的证明转化为一系列的一元多项式不等式的验证,然后借助代数不等式证明工具(如Bottema)完成最后的工作.运用Maple实现了上述算法,算法对所有指数多项式不等式终止,并且可以输出"可读"的证明过程.     

一类新的Radon型不等式及其应用

给出一类新的R adon型不等式,它们在代数不等式研究中有着广泛的应用,利用它们可直接得到一大批新的分式型不等式,也可运用它们证明或推广许多不等式.     

代数不等式的概率证明方法

本文讨论了三种概率性质在代数不等式证明中的应用，阐述了如何针对不等式的特点构造随机事件和随机变量，运用概率强可加性、方差非负性、期望线性性质进行不等式证明，同时结合实例展示了证明过程和技巧.     

构造几何图形(体)巧证不等式

<正>利用代数方法证明不等式是证明不等式最基本的方法,也是最常用的方法,大家比较熟悉,但对于某些不等式,巧妙构造几何图形(体)证明则显得直观、明了、简捷,往往能起到事半功倍的效果,举例说明.例1已知a、b、c都是正数,求证:     

一类超越函数多项式不等式的自动证明北大核心CSCD

讨论了形如f(x,trans1(x),…,transn(x))>0的超越函数多项式不等式的自动证明问题,运用Taylor展开式将目标不等式的证明转化为一系列的一元多项式不等式的验证,然后借助代数不等式证明工具完成最后的工作.运用Maple实现了上述算法,算法对常见超越函数多项式不等式十分高效,并且可以输出"可读"的证明过程.     

一类超越函数多项式不等式的自动证明

讨论了形如f(x,trans_1(x),…,trans_n(x))0的超越函数多项式不等式的自动证明问题,运用Taylor展开式将目标不等式的证明转化为一系列的一元多项式不等式的验证,然后借助代数不等式证明工具完成最后的工作.运用Maple实现了上述算法,算法对常见超越函数多项式不等式十分高效,并且可以输出"可读"的证明过程.