关于不定方程x~2+4~n=y~(13)(n=4,5,6)的整数解

在高斯整环中,利用代数数论与同余理论的方法,讨论了不定方程x~2+4~n=y~(13)(n=4,5,6)的整数解问题,得出了当n=4,5时无整数解;n=6是仅有整数解(x,y)=(64,2)和(x,y)=(-64,2)的结论,推进了不定方程整数解的研究.     

关于丢番图方程(ax~m±1)/(ax±1)=y~n与(ax~m±1)/(ax±1)=y~n+1

本文证明了方程(1.4)没有x是一个n次完全幂的整数解(a,x,y,m,n),从而推广了乐茂华的结论:方程(1.1)没有x是一个n次完全幂的整数解(x,y,m,n),并有条件的得到了方程(1.5)的全部解.     

关于丢番图方程axm±1/ax±1=yn与axm±1/ax±1=yn+1

本文证明了方程(1.4)没有x是一个n次完全幂的整数解(a,x,y,m,n),从而推广了乐茂华的结论:方程(1.1)没有x是一个n次完全幂的整数解(x,y,m,n),并有条件的得到了方程(1.5)的全部解.     

不定方程x4-y4=n整数解求法探讨

求方程 x4- y4=n　 ( n∈ N)的整数解 ,至今还没见到一般方法 ,本文将给出这类不定方程一种解法 .文中字母 P表示质数集 ,符号 ( a,b)( a、b∈ Z)表示不定方程　　 x4- y4=n　 ( n∈ N) ( 1 )的整数解 .定理 1　若 n∈ P,则方程 ( 1 )没有整数解 .证明　假定方程 ( 1 )有整数解 ( a,b) ,定有　 a2 b2 =n,　 a2 - b2 =1 ,∵　 a、b∈ Z,| a| >| b| ,只有　　　 (± 1 ) 2 - 0 2 =1 ,∴　 a =± 1 ,　 b =0 ,　 a2 b2 =1 ,与 a2 b2 =n是质数相矛盾 ,故方程 ( 1 )没有整数解 .由费马定理知 ,有定理 2　当 n =m4( n∈ N)时 ,则方程 ( 1…     

一类偏差分方程的振动性

主要研究了偏差分方程pu_(m+2),n+u_(m,n+2)+qu_(m+1,n)-u_(m,n+1)+ru_(m,n)=0,解的振动性,其中参数p,q,r是实数,m,n为非负整数.     

关于“整数方阵Waring问题”一文的注记

本文主要证明了:任何三阶整数方阵的一个重要性质,并利用此性质获得整数。 方阵 Waring 问题中关于 f(n,m) 的新估值.从而改进了文献[1]中定理1的结果.     

二阶三参数混合型偏差分方程解的振动性

应用包络理论主要研究了偏差分方程pU_(m+2,n)+qU_(m,n+2)-U_(m,n)+rU_(m+σ,n-τ)=0,解的振动性,其中参数p,q,r是实数,σ,τ为正整数,m,n为非负整数.     

整数方阵的Waring问题

本文证明了:对任意给定的整数 m≥2和 n≥2,存在正整数 f(n,m),使得任何 n 阶整数方阵均可表示为 f(n,m)个整数方阵的 m 次幂之和.并对 f(n,m)作了估计,从而推广、改进了 M.Newman 1985年的结果.     

一个三角形个数的计算问题

问题 :将圆周 n等分 ,在 n个等分点中 ,任取三个点都能构成一个三角形 ,那么 ,在这些三角形中 ,直角三角形、钝角三角形、锐角三角形各有多少个 ?目前未见有人对这一问题进行研究 .笔者发现 ,各种三角形个数与方程x1 x2 … xm =n的正整数解的个数有关 ,因而试着利用求相应方程的整数解的方法来计算有关三角形个数 ,非常方便 .为此 ,先给出前述方程的正整数解的个数的一个结论 .方程 x1 x2 … xm =n( m≤ n,m、n∈ N ,n≠ 1 )的正整数解的个数是 Cm - 1n- 1.证明　当 m =1时 ,方程只有一个解 ,结论显然成立 .设 m >1 ,如图 1 ,将 n…     

构造不定方程 求解计数问题

由隔板法或自然数的有序分拆容易得到下面的定理： 定理 不定方程x1＋x2＋…＋xm=n（m,n∈N＋,n〉m〉1）的正整数解的组数为Cn-1^m-1；非负整数解的组数为Cn＋m-1^m-1.     

与Euler函数φ(n)有关的非线性方程的正整数解

在Euler函数φ(n)的性质的基础上,利用整数分解的方法证明了对任意的正整数m,n,非线性方程φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c~2(a,b,c为勾股数且gcd(a,b,c)=1)当(a,b,c)=(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)时无正整数解,并证明了当a,b为任意的一奇一偶,c为任意的奇数,且满足a~2+b~2=c~2,gcd(a,b)=1,2|b时,方程无正整数解.     

关于F.Smarandache函数S(mn)的渐近性质

设m≥2为给定的整数,n为任意正整数.本文的主要目的是利用初等方法研究著名的F.Smarandache函数S(mn)当n→∞时的渐近性质,并给出一个较强的渐近公式.     

关于k次加法补函数的因子函数的均值公式

对于任意正整数n,如果m n是完全k次方数,称最小非负整数m是n的k次加法补.为了研究m的性质及变化规律,这里运用初等数论和分析数论的方法,得到了d(n ak(n))的一个有趣的均值公式,从而得到了更一般的加法补函数的计算公式,完善了加法补函数在数论中的研究和应用.     

关于不定方程（x^m—1）／（x—1）=Y^n的可解性

不定方程(x~m-1)/(x-1)=y~n,m>2,n>1 (1)在历史上曾有过大量的研究工作。例如,1920年Nagell证明了(A)如果4|m,则方程(1)仅有满足|x|>1的整数解m=4,x=7,n=2,y=±20。1943年,Ljunggren证明了(B)如果n=2,则方程(1)仅有满足|x|>1的整数解m=4,x=7,y=±20和m=5,x=3,y=±11;和(C)如果n=3,m≠-1(mod6),则方程(1)仅有整数解m=3,x=18或-19,y=7。1972年,Inkeri为了给出不定方程     

一类不定方程整数解的探求与应用

不定方程的整数解的探求及与此相关的数学问题,历来是初中数学竞赛的热点问题．笔者发现许多不定方程可化归为下面的一般形式:ma nb=pab q(*)(其中a、b表示未知整数,m、n、p、q表示已知整数且p≠0)．     

用求导法解2001年高考第20(Ⅱ)题

20 0 1年高考数学试卷理科第 2 0 ( )题为 :已知 r、m、n是正整数 ,且 1( 1 n) m .标答中是应用二项式定理来解 ,多数考生是用均值不等式法 (见本期 P4 2 ) .这里给出构造辅助函数和用求导的方法 .解∵　 11,∴　 f′( x) <0 ,则　 f( x)为单调递减函数 .又　 2≤ m ln( 1 n)n ,nln( 1 m) >mln( 1 n) .故…     

关于高斯整数环的商环元素个数的注记

设 Z表示整数环 ,i表示虚数单位 ( i=- 1 ) .Z( i)为所有形如 a+ bi( a,b∈ Z)的复数组成的集合 ,称为高斯整数环 .高斯整数环中的元素称为高斯整数 .在文 [1 ]中 ,提出了两个猜测 ,其中之一是 :设 m和 n都是整数 ,则高斯整数环 Z( i)的商环 Z( i) /( m+ ni)的元素个数不超过 m2 + n2 .本文证明这一结论成立 ,且更明确的有 ,| Z( i) /( m+ ni) | =m2 + n2 .注意 ,对 m=0 (或 n=0 )以及 m任意但 n=1 (或 n任意但 m=1 )的情形 ,文 [1 ]已经证明此等式成立 .以下我们用 | A|表示集合 A的元素个数 ,也用 | α|表示复数 α的模 .下面给出的是…     

非整边的直角三角形整距点问题

以直角顶点为原点 ,两直角边分别为 x轴和 y轴的正方向建立坐标系 .不妨设斜边所在直线方程为 ax +by=n,则方程 ax +by=n - kc(其中 a、b、c∈ N+,且 a2 +b2 =c2 ,k为整数 )的正整数解就是整距点的坐标 ,因此整距点问题与一类不定方程的正整数解联系起来 .设 a,b,n皆为正整数 ,有以下引理 .引理 1　方程 ax +by =n有整数解的充要条件是 (a,b) |n.引理 2　若 (a,b) =1,且 x0 ,y0 为方程 ax+by =n的一组解 ,则方程其它解可表示为 :x =x0 +bt,y =y0 - at(t为整数 ) .引理 3　设 (a,b) =1,则当 n>ab- a-b时 ,方程 ax +by =n必有非负整数解 .以…     

一类完全非线性函数的原像分布值方程的解

求解完全非线性函数的原像分布,是决定和分析完全非线性函数以及构造相应线性码的公开问题和重要课题之一.研究了完全非线性函数的原像分布所满足的基本方程的当m=7时的情形,求出了当n=7~r、n=2~s.7~r以及n=3~s.7~r时方程的所有整数解.     

线性规划标准型和整数线性规划最优解的两个注记

本文研究线性规划标准型的基本假设所蕴含的一些性质,并探讨整数线性规划最优解和其松弛问题最优解的关系.首先,分别讨论四种情形下线性规划最优解的性质,即无约束线性规划问题、仅有非负约束的线性规划问题、仅有等式约束的线性规划问题,以及标准线性规划问题系数矩阵的列向量有为零的情形等.然后,构造两族二维整数线性规划,其松弛问题的最优解与其(整数)最优解"相距甚远".