几何问题的向量解法

既有大小又有方向的量叫做向量 ,通常用带有箭头的有向线段来表示向量 .向量中定义有几何意义明显的加法 ,减法 ,实数与向量的积以及向量与向量的数量积等重要的运算 .所谓向量法 ,就是利用向量的几何意义将几何问题转化为相应的向量问题 ,并通过向量的运算达到解题的目的 .向量法解题 ,能使原先错综复杂的演绎推理过程变为单纯的向量间的运算 ,往往可以取得出奇制胜的效果 .用向量法解题时 ,下面的有关向量知识经常被用到 :1 )线段ＡＢ的长度ＡＢ =|ＡＢ| ,线段ＡＢ的长度平方 |ＡＢ| 2 =ＡＢ·ＡＢ ;2 )两向量的和的平行四边形法则或三角…     

向量与有向线段

作者在对中学教师进行培训的过程中 ,有几位教师提出这样的问题 :向量在人教版高中数学第一册是这样定义的 ,“我们把既有大小又有方向的量叫做向量” ,该教材同时还提到“向量常用一条有向线段来表示 ,有向线段的长度表示向量的大小 ,箭头所指的方向表示向量的方向 .”他们的问题是 ,既然向量是用有向线段来表示 ,为什么还要引入向量概念呢 ?要搞清楚这个问题 ,实质上是要弄清楚向量与有向线段间的关系 .为了彻底弄清楚 ,需要用到一点代数学的知识 .我们知道 ,如果一条线段确定了起点和终点 ,即有方向的话 ,我们就称其是一条有向线段 ,也就…     

多法并举现本质 一脉相承显新意--从一道高考向量选择题说起

通过对一道形式新颖的浙江高考向量选择题的解法研究,探讨了向量的几何背景.平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积运算主要涉及向量的模和向量之间的夹角,因此我们可以用向量法解决部分几何问题.本文主要运用了几何法、坐标法、三角不等式、构造函数法、基底法解决问题,大部分方法属于通性通法,具体涉及化归与转化、数形结合、函数与方程等数学思想.     

改“斜”归“正” 迷途知解

<正>改"斜"归"正"策略在几何问题中的应用极其重要,可以达到化斜为直之效,是一种重要的转化思想.它可以将"斜"线段之间关系转化为"直"线段之间的关系.首先,来看问题1 (沪科版《数学》八年级下册第19章"四边形"C组复习题第4题)(1)如图1,从平行四边形ABCD的顶点A,B,C,D向形外的任意直线MN作垂线AA′,BB′,CC′,DD′,垂足是点     

谈“向量”引入中学数学

最近 ,经过试验修订的普通高中数学教学大纲和中等职业学校数学教学大纲再次确定了“向量”在中学数学中的地位 .通过对两届学生的教学实践和对教材的研究 ,我深切体会将“向量”引入中学数学非常必要并且可行 .下面谈谈向量教学的几个基本问题及其在中学数学教育中的作用 .1　向量的线性运算线性运算是向量的基本运算 .向量可以用有向线段表示 ,用有向线段进行向量的线性运算 ,具体且直观 ,在坐标系中 ,向量可以用坐标表示 ,向量的线性运算可转化为坐标运算———数的加、减、乘运算 ,运算变得更加简单 .向量线性运算的这两种方法相结合 ,…     

平面向量与解析几何知识的交汇

平面向量与解析几何的交汇试题是近几年高考试题的一个热点．其主要考查方向有：①直线的夹角转化为向量的夹角(注意范围的区别)；②线段的长度(或距离)转化为向量的模的问题；③两直线的位置关系：相交、平行、垂直,分别转化为向量的不共线、共线、垂直来分析；④有关的轨迹方程(或轨迹)可以应用平     

度量法与叠合法的教学探索

度量法与叠合法是二期课改教材六年级第二学期<7.1线段的大小的比较>中比较线段大小的两种方法.度量法是用刻度尺量出两条线段的长度,通过刻度来比较两条线段大小的方法.这种方法把几何量转化为数值,是用算术法解决几何问题.由于刻度不可能无限地分割,所以度量法在理论上是无法准确的.叠合法是用圆规把一条线段与另一条线段叠合来比较两条线段的大小的方法,它的依据是图形的重合关系.这种方法是用几何方法解决几何问题,理论上是准确的.……     

“双端点运动线段”长的最小值问题

<正>所谓"双端点运动线段",是指两个端点都在某个图形上运动的线段.由于"双端点运动线段"有别于我们熟悉的"单端点运动段"(只有一个端点运动的线段),因而与"双端点运动线段"有关的问题常常令我们的思维受阻.解决这类问题的关键是运用转化思想,将问题转     

初中几何问题中线段长度的求解技巧探究

平面几何是初中数学知识中重要的一部分，线段长度的变化影响着图形的大小、形状.考查线段长度的形式多种多样，相关的问题也都十分灵活.求线段长度的基本方法有等面积法、利用勾股定理、利用相似等.本文中结合不同例题，具体分析解答求线段长度问题常见的解题思路.     

解析几何中长度问题的几种处理办法

<正>线段长度的计算,是解决解析几何问题时常遇到的,也是考试热点.在平时学习过程中,线段长度的计算方法多种多样,如果处理不当,往往会使问题复杂化.那么如何选择适当的方法简化运算,提高解题效率呢?笔者经过探索,归纳出如下几种策略.1长度问题等价转化在判断点与圆的位置关系时,我们的常规思路是计算出点与圆心的距离再与圆半径比较大小而得,但有时关于距离的代数式十分复     

一道关于线段问题的探究

<正>问题的提出同一平面上,两个点可以形成一条长度为1的线段;三个点可以形成3条长度分别为1,2,3的线段;四个点可以形成长度为1,2,3,4,5,6的线段.我们可以提出如下问题:一般地,同一平面上有n(n>4)个点,这n个点两两相连所形     

聚焦“三点共线”模型破解线段最值问题——以2022年全国各地中考数学试题为例

线段最值问题是历年全国各地中考热点问题,这类问题通常以等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形、圆等具有特殊性质的图形为基本图形,以动点或动线段为背景,以线段(或线段之和)的最值为问题情境,主要考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.解决这类问题的关键是利用转化思想将线段最值问题转化为常见的几何模型,将动态几何问题转化为静态几何问题,然后利用基本图形的性质解决问题.文章以等腰三角形、正方形、矩形等基本图形为例,说明“三点共线”模型在解决线段最小值问题中的应用.     

初中几何中线段的最小值问题

<正>几何中线段的最小值问题常作为中考的考点,解题依据主要有:"两点之间线段最短"、"垂线段最短"和"圆外一点与圆心的连线与圆相交,这一点与交点的线段就是点到圆的最短线段"等几何基本事实和推论,但运用时往往会将其转化,构造相等线段(全等三角形)和辅助圆来解答.1直接利用基本事实和推论(1)利用"两点之间线段最短"例1如图1,在菱形ABCD中,AB=10,∠A=120°,点P,Q分别是线段BC、CD的中点,点K为线段BD上任意一点,求PK+QK的最小值.分析运用"两点之间线段最短"时,往往运用轴对称,因为点K为线段BD上任意一     

巧用旋转解决线段的数量关系

<正>几何图形中,探究动点运动过程中形成的线段的数量关系,是近年中考热门题型,对于大多数同学来说也是难点所在.而在解决问题中如果能够巧妙利用图形的旋转,来实现线段位置的变换,问题就会变得简单.下面我们以一类"等邻边四边形"为例来看看图形的旋转在解决线段数量关系中的运用.     

点在何处?

<正>在立体几何的探究性问题中,有些是与点的位置相关的问题.下面就通过几个例题,谈谈如何用向量法解决此类问题.一、判断点的位置例1三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图1所示.设M、N分别为线段AD、AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.证明:P为线段BC的中点.     

借用一个基本公式简解一组向量考题

在高考复习中,有这么一类向量考题,它以平面几何中的点线关系为背景,以向量的数量积为测试平台,以考查学生的化归能力为目标.这种将向量的数量积问题转化为代数、三角、解几问题的解题方法,其思维量很大,运算要求很高,推理路径很长;其求解过程绕来绕去,难以把握转化的方向.笔者在研究中发现这类向量数量积的考题,有一个共同特点:它们都是共点向量或可化为共点向量的数量积,可以借用一个基本公式转化命题,     

三角形中位线定理的多种证明

三角形中位线定理是初中几何重要的结论,为解题提供了线段的位置与长度关系.教材中对该定理的证明耐人寻味——通过辅助线,将三角形转化为平行四边形,再运用平行四边形的性质进行证明.这样的辅助线,与以前的“将四边形转化为三角形”完全不一样,进一步丰富了学生对转化思想更深层次的认识,也完善了对辅助线作法的认知.基于八年级学生的基础,本文中给出了其他几种解法,以培养学生的理性思考能力,提高学生的数学素养.     

由一道典型几何概型问题的变式想起的

典型问题:将长度为1的线段随机折成三段,求三段构成三角形的概率.解设"三段构成三角形"为事件M,x,y分别表示其中两段的长度,则第三段的长度为1-x-y,且样本空间D={(x,y)|0＜x＜1,0＜y＜1,x+y＜1}.     

巧用向量法证竞赛题两例

向量融数形于一体,是实现数形转化,解决数学问题的重要工具,向量法解题,构思新颖,趣味无穷.请看两例. 例1 正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形,P是EF和GH的交点,若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE的面积的2倍,试确定∠HAF的大小,并证明你的结论.     

垂线段最短是本,转化为魂——例谈三角形周长最小值的求法

在求三角形周长最小值问题中,往往需要把结论逐步转化,把三条线段的和转化为两条线段的和(或一条线段),再利用垂线段最短求出最小值.