长方体的妙用

长方体是一个很基本的多面体,所含的线线,线面,面面的位置关系的内容十分丰富.数学中的有些问题,如果用常规法去求,将难以求出或十分繁琐,甚感"山穷水复疑无路",但如果能构造长方体去求,将会把问题化难为     

关于长方体规则打包的一些讨论

北大附中张思明老师曾设计了“打包问题”的教学案例．这里“打包问题”指的是：诸如若干个香烟盒等长方体物品，按照“打包时要求包内的相邻两物体必须全等的两个侧面来对接，且打包后仍是长方体”这一要求，将这些小长方体打成一大包(大长方体)，这种打包方法称为长方体规     

“本末倒置”有奇效

在函数、数列等章节中,常常会涉及到求若干项的和或积之类的问题,我们如果遵循思维常规,逐项去求和或求积,这种做法虽无不可,但运算起来往往显得复杂而冗长,有的甚至无法操作.其实,我们在解决此类问题时大可不必“循规蹈矩”,完全可以变换思维视角,突破常规的做法,来个“本末倒置”.     

关于在中学里研究棱柱截面所遇到的函数

在中学里研究棱柱問題时,一般要解一系列的习题,其中需要求出巴知棱柱的某种确定的截面面积的习題。这类习题,对于和数学其它各科间的联系的建立,提供了丰富的材料。 1.例如,我們研究H.A.格拉哥列夫的教科书里的一个习题。底为正方形的长方体,被通过底的棱的平面所截,如果截面与长方体的軸的交点距离底面1.5m,而底面的边长为4m,求这截面的面积。答案:20m~2。长方体的底可以根据题目所給出的条件而作出“长方体”和“底是正方形”由“长方体”和“底是边长为4m”的条件确定了没有上界的“柱子”(它的側棱是垂直底平面的射线)。截面的位置则由题目的条件所确定(图1①)。     

构造模型巧解立体几何问题

<正>立体几何是培养同学们空间想象能力的主要载体.立体几何题由于点、线、面关系复杂,特别是题中未给出图形的情况下,更是感到不易下手.如果能挖掘题设条件,展开联想,巧妙建立相应的立几模型,可以帮助我们突破思维定势,提升思维起点.常见的模型有"正方体"和"长方体",充分利用其特性就能使解题思路豁然开朗,而且过程简捷明了.本文列举几个构建长方体模型巧解立体几何的问题.     

利用长方体模型解题

长方体是空间图形中最特殊且内涵最丰富的几何体之一．在长方体中能反映空间基本的线线关系、线面关系和面面关系,通过长方体的截割还可以得到多样的柱、锥、台等几何体．可以说,长方体是研究线面关系、特殊几何体的一个重要载体,是展开空间想象的一个重要依托,是培养...     

线性算子的ω-条件数

某些数学问题的求解,往往可以归结为求某一映射的逆映射T~(-1),其中T:X→Y,X,Y为两个度量空间。如X,Y是两个线性赋范空间,T是X→Y的线性算子,x∈X,b∈Y,那末求解方程Tx=b就属此例,一般说来,在数值分析中又将问题化为有限维空间去求T~(-1)b之近似元素。如果问题是病态的,那末即使选择良好的格式去计算,也不能指望有好的结果。因此判别原始数学问题是否病态是十分重要的,五十年代     

与长方体相关的三类四面体

许多立体几何问题都可以利用几何模型来求解,而“长方体”作为其中一种非常重要的几何模型是许多立几题的作图方向．合理运用这一几何模型往往会使问题变得非常明朗,以下总结了三类能够补成长方体的四面体,希望同学们在以后的学习中尝试应用．     

辨“中国元素”,妙解几何问题

中国古代的数学大师刘徽在公元263年的刘徽原理中阐明:任何一个多面体都可分解为长方体、堑堵、阳马、鳖臑.本文就和大家一起辨“中国元素”,妙解高中立体几何问题.首先,来认识一下这些“中国元素”,堑堵是长方体体积的一半.将堑堵沿以顶点到相对的一棱分割,便得到一个阳马,与一个鳖臑.本文大胆的古为今用,把平行六面体分割出来的组件都称为堑堵、阳马、鳖臑.1 辨“墙角型”鳖臑特征:三线两两垂直解题思路:补成正方体或长方体例1 过球O的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA,PB,PC,且PA=√3,PB=√5,PC=√15,求球O的半径.     

巧补长方体——利用整体法解题例析

我们在解决某些立体几何的问题时,将需要解决的问题看成一个整体（比如添补成长方体）,通过研究问题的整体形式、整体结构或者整体性质,会很顺利而简捷地解决问题．下面主要通过对立体几何中的几例添补成长方体的问题进行简要地分析,谈谈利用长方体解题的功能．     

三维长方体[p,q]内的合作系统

设F是三维长方体[p,q]内的合作向量场,且在此长方体内F的奇点仅为p和q.我们证明了[p,q]内的每条正半轨线或者收敛于p,或者收敛于q.此外,如果在[p,q]的边界上除p和q两点外,F的方向均指向[p,q]的内部,则[p,q]内存在唯一的轨道连结p和q.     

活用课本资源 探究折叠问题

<正>折叠问题是立体几何中的一类典型问题,问题解决过程中体现出直观想象的数学核心素养.经过折叠,把平面图形变为空间图形,解答折叠问题的关键是充分利用不变量和不变关系,即抓住不变的线线位置关系、不变的长度和角度数量关系.如果折叠后的空间图形能够找到基本立体图形(如长方体,正方体)模型,那么可把复杂的立体图形变得直观,找到解决问题的突破口.下面以一道课本习题为例,来探讨解决有关折叠问题的基本思想方法,体会立体几何的研究方法.     

浅谈一类三角练习题的制作方法

在中学课本里常见这样的练习题:“求sin20°sin40°sin60°sin80°的值”,它的一般解法是用积化和差与特殊角的函数值表以求出它的准确数值,而不是查表去求其近似值。作为数学教师还应考虑另一问题,即这类练习题的制作方法如何?如果能掌握这题的制作方法,则积与和差互化的练习题就非常充分了,而不至于受教材的限制。     

一道立体表面最短路径问题解答的缺陷

<正>北师大版八年级教材上有这样一个问题:如图1,长方体长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少?本题不少同学的解答如下:沿长方体的侧棱HI剪开、展开,即蚂蚁走右面ADCE和前面CDHI,得到其侧面展开图,如图2,因为"两点之间,线段     

分段函数的导数

分段函数是用几个解析式子表示的函数,对每个解析式于,如果是可导的,可用初等函数的求导法则求出它们的导数,而对分界点处的导数是否存在,如果存在,如何计算,这些问题一般都用导发定义来解决,但用定义来导数要作极限运算,一般比较繁琐.如果函数具备一定的条件,可不必用定义去求.     

关于长方体截面形状的讨论

“数学通报”1980年第1期“立体几何中一些截面图的作法”一文,讨论了某些截面图的作法和形状。本文将对长方体的截面形状究竟如何进行数量分析,并对结论用空间解析几何理论给予证明。     

当前我国数学教育改革的一个动向

今年全国高校招生统一考试“三南两北”(海南、云南、湖南、湖北、北京)试卷中文理科均有一道填空题: “建造一个容积为8m~2,深为2m的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为____元。”这道填空题并不难,初中生也可解答,并且在高     

高等解析几何视野下几类特殊平面法向量的求解技巧

一、问题提出在高中数学教学中,常常用向量法解决立体几何问题,比如用平面的法向量去求二面角的大小、线面角、空间距离,去证明线线关系、线面关系等.但是,大部分学生在计算法向量时常常算错,导致立体几何题严重失分.本文试图用高等解析几何中的平面方程及法向量知识来总结几类特殊的平面的法向量的求法,从而使学生少犯计算错误,大大提高计算的正确率.     

一类参数取值范围问题的巧解

目前全国试用的高中数学新教材里,把“二元一次不等式表示平面区域”这一知识点纳入必修内容,它是学习简单线性规划知识的基础,但有时用它去求与以已知两点为端点的线段相交的直线方程中的参数取值范围问题,会令人耳目一新.     

长方体的道具作用

人们很容易从实物模型中找到空间点、线、面之间的相互联系,提高空间想象能力.但是由于实物模型的局限性,特别是在考试中也没有模型相助,若能巧妙地构造长方体解决问题,也同样起到实物模型的作用.下面以高考试题为例说明长方体在解题中的道具功能.1到长方体中视图三视图就是空间几何体在三个互相垂直面上的正投影.把三视图恢复成直观图是解决问题的关键.当把几何体的三视图直接投到长方体的三个侧面