基础知识自测

一、选择题二.在斜棱柱的侧面中,矩形最多有( ). (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2.已知长方体的高为h,底面面积为Q,垂直于底面的对角面的面积为R,则此长方体的侧面积S等于 ( ).3.一个正四棱锥的中截面面积是9,它的底面边长是 ( ).(A)9/4 (B)3/2 (C)3 (D)64.一个正三棱台上、下底面的边长分别为2和6,侧面与下底面所成的二面角为60°,则此棱台的高为     

五、多面体与旋转体

A 组一、填空 1.圆柱底面面积为Q,轴截面面积为S,则圆柱的体积为___。 2.矩形边长的比为l:2,以其边为轴旋转一周,则得到的两个圆柱的体积的比为__。 3.正三棱柱的棱长均为a,过底面一边和两底中心连线的中点作截面,则截面面积为__。 4.用平行于底的平面S截圆锥V,①若S把V分为体积相等的两部分,则截得的圆台与小圆锥的高之比为__;②若S把V分为侧面积相等的两部     

坐标变换在求空间闭体体积中的应用

在高中数学的学习中,我们已经学习过长方体,正方体,棱柱,棱锥,圆柱,圆锥等,要求它们的体积我们只要知道它们的底面积和高并代入已有公式就很容易求得.对于底面面积比较难求这一类闭体,没有一般的公式和方法.本文以平面截球所得截面是圆,球心与圆心的连线垂直于截面为基础,利用坐标伸缩变换为桥梁对此问题进行研究并得出结果.     

有趣的“无盖水箱”——一个极值问题的推广

六年制重点中学高中课本《微积分初步》第145页例2是:“用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转九十度,再焊接而成(如图1)。问水箱底边的长应取多少,才能使水箱容积最大,最大容积是多少?”其结果为:“当水箱底边长取40厘米时,容积最大,最大容积是16000立方厘米。”容易看出,所求水箱底面正方形的边心距与高的比等于2;侧面积与底面积相等。有趣的是,这一结论对任意圆外切n边形仍然适合。命题将圆外切n边形的各边等宽地翻转90°(各角处的多余部分截去),折成一个直棱柱形的无盖水箱。如果它的容积最大,那么其底面边心距与高     

球的有关问题

<正>球与多面体的切接问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点与接点的位置,作出合适的截面图,在平面图形中进行研究,下面举例加以分析.例1已知球的半径为R,球内接一个正四棱柱,棱柱底面边长与高为何值时,它的侧面积最大?解图1为轴截面,令棱柱的高为h,底面边长为a,侧面积为S,     

证明球体积公式的又一参照体

众所周知 ,证明球的体积公式时 ,首先是构造一个可求体积的几何体 ,即从一个底面半径和高都等于Ｒ的圆柱中 ,挖去一个以圆柱的上底面为底面 ,下底面圆心为顶点的圆锥后剩下部分所形成的几何体 ,然后证明该几何体与半径为Ｒ的半球符合祖日桓原理的条件 .在证明过程中有个关键的式子 :πＲ2 -πｌ2 (ｌ为任一截面截两个几何体时 ,截面到底面的距离 ) ,若将其变形为 (πＲ2 ) - (πｌ) 2 ,就可以看成是以πＲπｌ为边长的两个正方形的面积差 ,这样我们就能构造出一个参照体———从底面是边长为πＲ的正方形、高为Ｒ的直四棱柱中挖去一个以直四…     

所截是什么

在学习立体几何时 ,免不了要画截面 ,判断截面形状 ,或者判断所截几何体形状 ,但有的同学往往从主观愿望出发 ,马马虎虎看一遍题目 ,就自以为弄清已知条件了 ,然后匆忙写出结果或过程 ,从而导致“一看就会 ,一做就错”的现象 ,试看以下两例 .1　截面是什么例 1　已知正三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 的棱长都是3,求过边ＢＣ且与底面ＡＢＣ成 6 0°角的截面的面积 .图 1　例 1错解图错解 :设ＢＣ的中点为Ｅ ,连结ＡＥ .在棱ＡＡ1 上取一点Ｄ ,使∠ＡＥＤ =6 0° .则在Ｒｔ△ＤＡＥ中 ,ＤＥ= ＡＥｃｏｓ6 0°=33,　　∴Ｓ△ＢＤＣ=932 .剖析 :在…     

台体体积公式V=1／6h（S上＋4S中＋S下）的应用

台体体积公式 :V =16 h(S上 + 4S中 +S下) ,其中S上 为上底面的面积 ,S下 为图形的下底面的面积 ,S中 为图形平行于上、下底面且到上、下底面的距离相等的截面的面积 .这个公式有很多应用 ,它不仅可以用于计算我们熟悉的图形的体积 ,也可以用于计算一些条件特殊的立体图形的体积 .1　常见几何体中公式的应用1)棱 (圆 )柱 (已知底面积和高 ) :因为S上 =S中=S下 =S ,所以V =16 h(S上 + 4S中 +S下) =Sh .2 )棱 (圆 )锥 (已知底面积和高 ) :根据中截面和底面相似 ,且相似比为 1∶4 ,易知 :S上 =0 ,S中 =14S ,S下 =S ,代入V =16 h(S上 …     

用一个公式来复习立体几何中的体积公式

在复习立体几何的时候,利用公式V=h/6(B_1++4B_2+B_3)(式中B_1表下底的面积;B_2表中截面的面积,即通过高的中点作截面截几何体所得的截面;h表立体的高;B_3表上底的面积)把多面体中的棱柱、棱錐、棱台体积公式和旋轉体中的圓柱、圓錐、圓台以及球体积公式概括起来,对同学掌握知識有很大的帮助,一方面能以动的观点培养同学的辯証唯物主义观点,邏輯推理、綜合、分析和概括問題的能力;另一方面加深同学对公式的理解等。     

关于棱柱的一个猜想的证明

文[1]给出了一个关于棱柱的猜想:任意棱柱A1A2…An-2-A1′A2′…An-2′(n≥5)内一点P,P分该棱柱体积棱锥化定比为F(P)=(m1,m2,m3,…,mn),分过P且平行于底面的截面的面积三角形化定比为f(P)=(λ1,λ2,λ3,…,λn-2)则m1 m2=31,mi=23λi-2(i≥3,i∈N ).笔者在此给出该猜想的证明.图1棱柱证如图1,记该棱柱体积为V,高为h,截面B1B2…Bn-2(n≥5),面积为S.过点P作P1P2∥AiAi′交上、下底面分别于点P1,P2.记点P到上底面A1A2…An-2的距离为h1,到下底面A1′A2′…An-2′的距离为h2,则h1 h2=h.1)由文[2]定义1知m1=VP-A1A2…An-2V,m2=VP…     

一道求面积题的另外解法

<正>《中学生数学》2020年7月(下)刊登了洪镇铎老师的文章《一题多解可资借鉴》,文中用了多种方法来求图中阴影部分的面积.现再给出几种解法,供大家参考.题目图中表示边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形CEFG.求阴影△BDF的面积(a>b).(一)利用两三角形同底等高,     

楔形体积公式

底面是矩形,顶部为平行底面的一条线段,四个侧面中两个是梯形,两个是三角形,这样的多面体好像木工用的楔,故称此种几何体为楔形.对于任一楔形,有如下命题:若楔形的底面矩形的边长分别为a,b,顶部棱长为l,顶棱到底面的距离为h,则楔形的体积为V=16hb(2a+l).图1楔形证如图1,在楔形EF—ABCD中,底面边长AB=a,AD=b,顶棱EF=l,顶棱到底面ABCD的距离为h,通过割补法易得棱柱PDA-FCB,棱柱PDA-EMN.因为V棱柱PDA-FCB=12S矩形ABCD·h=12abh;而VE-PDA=13VPDA-EMN=13·12SAMND·h=16bh·(l-a),所以V楔形EF-ABCD=VPDA-FCB+VE-P…     

多面体与旋转体(选择题五道)

1.四个命题:长方体是①直棱柱,②正棱柱,③四棱柱,④平行六面体.其中真命题的个数是 (A)1(B)2(C)3(D)4 2.正方体月C,的全面积为S,又L,M,N分别是它的三条棱AB、AD、AA,的三个内点,过这三点的平面截去正方体的一角之后的多面体的全面积设作S。,则 (A)S>S。(B)S相似文献   

探究妙解面积趣题

题目如图,四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,CF交AD于H,已知三角形CDH的面积是8cm2,求三角形AFH的面积.该题图形似曾相识,但题设条件为面积,并未提供正方形的边长,加之G点是个不定     

斜截三棱柱的一个体积公式

用与底面不平行的平面去截三棱柱,截面与底面间的几何体,称之为斜截三棱柱.如图1的斜截三棱柱记作斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ,并约定平面ＡＢＣＤ为底面,ＥＦ到底面ＡＢＣＤ的距离为高.引理　设三棱柱的一个侧面面积为Ｓ,与相对侧棱之间的距离为ｈ,则三棱柱的体积为Ｖ=12Ｓ·ｈ.该引理的证明见文[1],从略.定理　设斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ中,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ(如图2),则斜截三棱柱的体积为Ｖ=图2　定理图ｍ λ 13(ｍ 1)Ｓ·ｈ.证　如图2,过Ｆ作面ＦＭＮ∥面ＡＤＥ,由引理知ＶＡＤＥＭ…     

一个几何問題在农业密植上的应用

一、几个預备命題:它是中学平面几何中的問題,提出来为了便于理解現在农业密植問題的科学处理方法。 1.在图1中,正方形ABCD同平行四边形A＇B＇C＇D＇的边长相等,而正方形的面积大于平行四边形的面积。 証明 設□A＇B＇C＇D＇的高D＇E=h。     

高考试题中的“胡夫金字塔”

<正>2020年高考已经落下帷幕,但大家对试题的关注仍热情不减.比如.全国Ⅰ卷第3题:埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为().     

一道立体几何习题的引伸

统编教材《立体几何》习题八中有这样一道题 ,求证 :平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得截面是平行四边形 .此题易用直线与平面平行的性质证明 .下面通过此题的演变发现其与一道数学竞赛题的联系 ,从中领悟基础与能力、课内与课外的关系如何处理 .图 1　例 1图例 1　四面体ＡＢＣＤ中 ,已知对棱ＡＢ ,ＣＤ的长分别为ａ ,ｂ,ＡＢ ,ＣＤ所成角为θ ,截面ＥＦＧＨ平行于对棱ＡＢ和ＣＤ(Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ在其它四条棱上 ) .1)试求截面在什么位置时面积最大 ?2 )求截面周长的取值范围 .(如图 1)1)解法 1　由习题知截面ＥＦＧＨ为平行四边…     

选择题三道

本专栏提供三个“四里挑一”的选择题,都要求回答,故称一望而解。 1 图右所示是个从前、上、右方向看去的正方体,只须变更其中 (A)四对, (B)三对, (C)两对, (D)一对。棱的虚实,则变成一个从前、下、左方向看去的正方体。 2 所有对角线相等的棱柱一定不是 (A)正六棱肚, (B)正五棱柱。 (C)正四棱柱, (D)长方体。     

由一道中考模拟题引起的思考

背景在直线l上摆放着三个正方形.(1)如图1,已知水平放置的两个正方形的边长依次是a,b.斜着放置的正方形的面积S=____,两个直角三角形的面积和为____;(均用a,b表示)(2)如图2,小正方形的面积S1=1,斜着放置的正方形的面积S=4,求图中两个钝角三角形的面积m1和m2,并给出图中四个三角形的面积关系;