“一一对应”在计数中的应用

我们先来看一个例子： 100个人进行淘汰赛（指每场比赛淘汰一个人），问进行多少场比赛能产生一名冠军． 解 第1轮要进行50场比赛，留下50名选手； 第2轮要进行25场比赛，留下25名选手；     

用递推公式求一个不定方程的正整数解

“二十名选手进行象棋循环赛,每两个都要互相比赛一场,问共需赛多少场?” 这是我校举行象棋比赛时碰到的实际问题。这个问题对未学过排列组合的人来说,并非是轻而易举的。当时,我试验让一学生解此题,多数人用“凑”的办法花了许多时间才得到     

在变化中求不变——一种重要的解题思想

且看如下两道例题例1 由17名乒乓球运动员参加的个人冠军赛,比赛采取每输一场即予淘汰的单淘汰制,为了决出冠军一人,共须安排多少场比赛? 分析由于在每场比赛中,都要淘汰一名运动员,在17名运动员中,为了决出冠军,就需要淘汰16人,因而须要安排16场比赛。例2 能否变换31257中各个数码的位置,使其成为质数?如果不能,请说明理由,如果可     

排列组合问题的一类错误例析

排列组合是高中学习的难点 .有些同学在解决排列组合问题时出现错误 ,这除了是对排列组合问题的解法缺乏规律性的认识外 ,就是没有及时总结错误 ,找到产生错误的根源 ,从而从本质上改正它 .下面就排列组合的几个实例 ,浅析一类错误 ,抛开错误思路 ,重建思维模式 ,提高解题能力 .例 1　 5本不同的书分给 4个人 ,每人至少 1本 ,共有多少种不同的分法 ?错解 :分两步完成 :1 )从 5本书中先分 4本给 4人有Ｐ45 种 ,2 )还剩 1本书分给 4人有Ｐ14种 ,根据乘法原理一共有Ｐ45 ·Ｐ14 =480种分法 .例 2　某班级有 80名学生 ,其中正副班长各一名 ,现要…     

应用函数递推公式解题

在数列和排列组合的教学中,知道数列的通项a_n,前n项之和S_n及n个元素的排列组合问题,都可以看作是以自然数n为自变量的函数,可以用F(n)表示。关于这类函数问题,我们有时需要用函数递推原理,建立函数递推原理是数理逻辑中的演绎推理方法。若有F(n)与F(n-1)的关系φ。则F(n-1)与F(n-2)亦有关系φ推到F(2)与F(1)有关系φ。若F(1)为已知则可通过关系φ推到F(n)。所以解这类问题有两个步骤。第一步:就     

利用“投宿”模型解一类排列组合题

在排列组合教学中,构造模型解排列组合应用题,常常能使较复杂的问题明朗化,有利于学生的学习。现将“投宿”模型及其应用介绍如下: “投宿”模型:(1)若m个人到n家旅馆投宿,则有n~m种投宿方法;(2)若以上m个人中有m_0(m_0相似文献   

逻辑推理题的一般表格解法

在数学竞赛中,常有许多有趣的逻辑推理题。这类题逻辑严谨、技巧性强,解的过程烦琐,学生往往无从下手。若采用表格法,则过程简明、直观,起到事半功倍的效果,其理论依据是逻辑学的四条基本规律,笔者叙述之: 一、明显条件当所给条件明显表明结论时,可按叙述的顺次、内容、结论三项,恰当选择表格符号(分别以横、纵、正表列出),问题不难解决。例1.冠军该是谁? 一场自行车比赛刚进入决赛时,有五名运动员参加角逐,据预赛成绩估计,这次比赛的名次有下述五     

智慧窗 NBA总决赛

公牛队与太阳队争夺总决赛冠军,双方杀得难解 难分。这天晚上,又一场比赛下来,谁胜谁负?不太清 楚。只是知道: (1)这场比赛双方都没换人; (2)除了三名队员外,其他队员得分都不相同,这     

运用“主元法” 巧解现奇迹

“主元法”是一种特殊的解题方法,主要用于处理含有多个变量的数学问题.此法解题的关键在于将一个变量视为“主元”,其它变量均视为“常量”,使之化为我们熟悉的结构形式,从高层次上获取解题灵感.现例举此法在解题上的多种用途. (一)巧妙分解因式例1 分解因式m3-1-m2n-2mn+n2. 分析:若按部就班去分解,无“路”可走,但转换角度。视n为主元,则柳暗花明. 解:以n为主元,加以变形得原式=n2-(m2+2m)n+(m3-1) =[n-(m-1)][n-(m2+m+1)] =(n-m+1)(n-m2-m-1). (二)巧解方程     

概率论在体育竞赛中的一种应用──试论擂台赛的胜负与队员出场顺序无关

体育竞赛中的擂台赛是一种传统的比赛方式。一般规则是：比赛双方事前提出本队参赛队员名单并排好顺序，首局比赛在两队１号选手之间进行，胜者设擂，败者淘汰，由败队的下一号选手攻擂，依此反复。一场擂台赛进行到某一方队员全被淘汰为止。本文应用概率论的知识，证明擂如赛的胜负与双方队员的出场顺序无关。     

排列组合中的数学思想方法

排列组合是初等数学中的重要内容．这部分内容较为灵活,学生遇到时往往会漏解或错解,若能用一些数学思想方法指导解题,就能有助于提高数学素质,增强分析问题、解决问题的能力．     

巧用配对法解竞赛题

在解一些数学问题时,通过构造一个同类结构的式子（或图形）和原式（或图形）相互作用,使问题获得解决的方法称为“配对法”．配对的方式是多种多样的,有对称配对、互余配对、和差配对或整体配对等．用配对法解题的一般程序是：     

对解排列组合应用题常见错误的浅析

排列组合应用题一向被认为是中学数学教学中的难点,其主要原因是排列组合问题解题方法别具一格,不易掌握;计算结果繁杂,数值较大,不易验算,经常发生重复和遗漏现象而又不易查出。现将常见的错误解法以例题的形式写出,并指出出错的原因,以供读者参考。例1:第一组有三名男生二名女生,第二组有二名男生三名女生,第三组只有四名男生,从这三个小组每组选一人担任不同职务,且三人中只有一个女生,问共有多少种不同选法? 错解:第一类:第一组选派一个女生有C_2~1种,第二组选派一个男生有C_2~1种,第三组选派一名男生有C_4~1种。第二类:第一组派一名男生C_3~1,第二组     

例谈排列组合应用题的求解策略

排列组合应用广泛．如抽奖、比赛场次、任务安排、物品分配等都涉及到排列组合．在近几年的高考中,每年都以选择或填空题的形式出现．它主要考察基本原理、排列组合概念及基本运算．其思考方法独特,求解思维新颖,解题中极易出现“重复’域“遗漏”的错误．如何帮助学生突破这些难点呢？笔者结合高三数学复习实践,归纳出几种常见的解题策略,仅供参考．1剔除对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况剔除．这是解决排列组合应用题时一种常用的解题策略．例呈（1997年高考试题）四面体的顶点和各棱中点共有IO个点,在…     

数学竞赛之窗

本期给出 2 0 0 3年爱尔兰数学奥林匹克试题及解答 ,由冯志刚先生提供 .第 1 6届爱尔兰数学奥林匹克2 0 0 3年 5月 1 0日试卷一1 求方程的所有整数解 :(m2 +n) (m+n2 ) =(m +n) 3.2 设P ,Q ,R ,S为一个圆上的 4个不同的点 ,PS为直径 ,QR为平行于PS的弦 ,PR与QS交于点A ,O为该圆的圆心 .B为平面上一点 ,使得四边形POAB为平行四边形 .证明 :BQ =BP .3 对每个正整数k ,记ak 为不超过k的最大整数 ,bk 为不超过3k的最大整数 .求∑2 0 0 3k =1(ak-bk)的值 .4 在一次象棋比赛中 ,共 8名选手参加 .已知任意两名选手之间至多比赛了一场 …     

广东省珠心算邀请赛第二赛程在广州市举行

正2018年10月27日,广东省珠算心算协会2018珠心算邀请赛第二赛程比赛在广州颐和山庄隆重举行。来自全国各地39支代表队600余名选手参加了比赛。比赛共设4个组别,冠军数量高达12名,同时比赛使用数字化程序,让选手们感受到科技的魅力,也震撼了在场的家长朋友     

一类整除问题的由来与解法

常有如下的一类题目: n为任意自然数时,求证: (1) 3~(4n 2) 5~(2n 1)能被14整除; (2) 5~(2n 1) 3(n 2)·2~(n-1)能被19整除等。这类数学问题,通常都是为学习数学归纳法设置的。人们不禁要问:结论是如何得出来的呢?是否只能用数学归纳法解呢?本文介绍两个定理,它可以解决这些题。     

对解二项式定理习题中常见错误的浅析

在排列组合二项式定理这一章的教学中。由于排列组合的概念比较粗象,又是二项式定理这一节的基础,把排列组合做为这一章的重点和难点是无可非议的,因此,但常常不自觉地轻视了二项式定理的教学。实际上这一节的教材内容涉及的知识面较广,概念性较强,加之具一定的难点,这些都不同程度地干扰和阻碍了本节的教学。反映在学生的解题思路中歧生的概念性的错误十分常见,兹剖析如下: 一、二项式系数C_n~r中r的取值概念不清。例1(2~(1/2) 3~(1/4))~(100)的展开式中有多少个有理项? 错解:(2~(1/2) 3~(1/4))~(100)的展开式的通     

如何求解关于n个数连乘积问题

在中学数学习题中,涉及n个数连乘积的题目屡见不鲜,中学生在解答这类问题时,普遍有困惑之感。本文通过五种方法的介绍,试图阐明这类问题的解题思路,对提高中学生的解题能力一定会有所裨益。方法1 直接相乘法计算n个数连乘积的一个方法是利用代数、三角公式,直接相乘。例1 计算3·5·17…(2~(2~(n-1)) 1)(2~(2~n) 1) 解:原式=(2~2°-1)(2~2° 1)(2~(2~1) 1) (2~(2~2) 1)(2~(2~3) 1)…(2~(2~n) 1)     

几个组合恒等式的概率证法

关于组合恒等式,在中学教学中一般是采用二项式的工具证明的。现在的中学教材,在排列组合、二项式紧后的内容是概率,如用概率的想法来证明组合恒等式将是有意思的,而且一般还比较简单。如在教学中给学生以介绍则是很有益的。本文介绍常用的五个重要组合恒等式的概率法。 1.C_n~r=C_(n-1)~r+C_(n-1)~(r-1)(1≤r≤n) 证:从装有大小相同的一个红球余为白球的n个球的口袋中任意摸出r个球,设摸到红球的事件为A,则有: P(A)=C_(n-1)~(r-1)+C_n~r;P(?)=C_(n-1)~r+C_n~r.