关于图的规范拉普拉斯特征值和的若干结果（英文）

对任意一个连通图G,记L(G)和L(G)分别为G的拉普拉斯矩阵和规范拉普拉斯矩阵.令μ_1≥μ_2≥…≥μ_n=0和λ_1≥λ_2≥…≥λ_n=0分别为G的拉普拉斯特征值和规范拉普拉斯特征值.本文给出了λ_1的三个新的下界.前两个下界优于Das等在[Ars Cormbin.,2015,118:143-154]中给出的下界,第三个下界优于张晓东在[Ars Combin.,2004,72:191-198]中给出的下界.另一方面讨论了规范拉普拉斯特征值与G的度序列之间的关系.同时也讨论了图的拉普拉斯特征值和规范拉普拉斯特征值之间的关系.     

图的正(负)特征值平方和界的估计

图G的特征值是指该图邻接矩阵的特征值,图G的正特征值平方和用符号S+(G)表示.关于图的正(负)特征值平方和界的估计,[Discrete Math.,2016,339(9):2215-2223]给出一个有趣的猜想:对于连通图G有min{S-(G),S+(G)}≥n-1,其中n表示图G的顶点数,S-(G)表示图G负特征值...     

电阻-距离谱的若干结果

对连通图$G$的顶点$u$和$v$, $u$与$v$在$G$中的电阻距离$r_G(u,v)$等于相邻顶点之间的电阻为单位电阻的$G$对应的电网中$u$与$v$之间的等效电阻. 图$G$的电阻-距离特征值是$G$的电阻-距离矩阵$R(G)=(r_G(u,v))_{u,v\in V(G)}$的特征值. 我们分别确定了不同于完全图与完全图删去一条边后得到的图及给定割边数目的使得最大电阻-距离特征值取得最小值的唯一的连通图, 还讨论了最小电阻-距离特征值的性质.     

双圈图的距离无符号拉普拉斯谱半径

连通图$G$的距离无符号拉普拉斯矩阵定义为$\mathcal{Q}(G)=Tr(G)+D(G)$, 其中$Tr(G)$和$D(G)$分别为连通图$G$的点传输矩阵和距离矩阵. 图$G$的距离无符号拉普拉斯矩阵的最大特征值称为$G$的距离无符号拉普拉斯谱半径. 本文确定了给定点数的双圈图中具有最大的距离无符号拉普拉斯谱半径的图.     

最小Q-特征值的扰动定理的推广及其应用（英文）

图的最小Q-特征值是图的二部性的一个度量,具有重要的研究意义.本文研究了移接图G的某些二部分支时最小Q-特征值k(G)的变化规律,推广了文献[Linear Algebra Appl.,2012,436(7):2084-2092]中关于κ(G)的扰动定理.作为应用,本文研究了交错定理的等号成立条件,构造了一个非二部连通图类,并对这图类中每个图G构造一个边子集ε,使得对ε的任意子集S都有κ(G)=κ(G-S).     

链状正则图的平均距离

本文构造了一类链状正则图G_k∶δ,求出了它们的平均距离D(G_k.δ),并得到关系式上式等号成立当且仅当δ=4f且k=0.这个估计式指出了施容华猜想[1]D(G)≤n/(δ 1)不成立. 文中进一步证明了这一类链状正则图有最大的直径,所以可以作出猜想: 若G是n阶连通图,则D(G)<(n 1)/(δ 1),其中δ是图G的最小度。     

H型群上Witten-Laplace算子的特征值估计

本文研究了H型群上Witten-Laplace算子一△_G+〈▽_G,▽_(Gφ)〉的特征值问题.通过试验函数的方法得到了关于该算子特征值的第一Yang型不等式,进而得到了第二Yang型不等式.本文中的结果包含了[Trans.Amer.Math.Soc.,2009,361(5):2337-2350]中的结果,比[Pacific J.Math.,2003,208(2):325-345]中的结果要精确.     

五类特殊图的三种距离矩阵的特征多项式

设G是一个具有顶点集V(G)={v_1,v_2,…,u_n}的n阶简单图.设d_(i,j)=d(v_i,v_j)表示图G中任意两个顶点v_i与v_j的距离.矩阵D(G)=[d_(i,j)]_(n×n)定义为图G的距离矩阵.定义Tr(v)=∑_(ueV(G))d(u,u)为图G中顶点u的点传递度.Diag(Tr)表示以G中顶点的点传递度为主对角线上元素的对角矩阵.则矩阵D~L(G)=Diag(Tr)一D(G)和D~Q(G)=Diag(Tr)+D(G)分别定义为图G的距离拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵.分别得到五类特殊图的距离,距离拉普拉斯,距离无符号拉普拉斯的特征多项式的一般表达式.     

单圈图的无符号拉普拉斯埃斯特拉达指数（英文）

设G是一个具有n个顶点的简单图.矩阵Q(G)=D(G)+A(G)表示图G的无符号拉普拉斯矩阵,其中D(G)和A(G)分别表示图G的顶点度对角矩阵和邻接矩阵.图G的无符号拉普拉斯埃斯特拉达指数定义为QEE(G)=∑_(i=1)~ne~(λ_i(G)),其中λ_1(G)≥λ_2(G)≥…λ_n(G)是指图G的无符号拉普拉斯特征值.本文确定了具有最大的无符号拉普拉斯埃斯特拉达指数的唯一的n个顶点的单圈图.     

两类完全三部图的图因子大集

令G是一个有限图,H是G的一个子图.若V(H)=V(G),则称H为G的生成子图.图G的一个λ重F-因子,记为S_λ(F,G),是G的一个生成子图且可分拆为若干与F同构的子图(称为F-区组)的并,使得V(G)中的每一个顶点恰出现在λ个F-区组中.一个图G的λ重F-因子大集,记为LS_λ(F,G),是G中所有与F同构的子图的一个分拆{B_i},使得每个B_i均构成一个S_λ(F,G).当λ=1时,λ可省略不写.在[Ars Combin.,2010,96:321-329]中已经得到了LS_λ(K_(1,2),K_(v,v))的存在谱.本文证明了当v≡4(mod 12)时,存在LS(F,K_(v,v,v)),这里F∈{K_(1,3),K_(2,2)}.     

Distance Integral Complete Multipartite Graphs with s=5, 6

Let D(G) = (dij )n×n denote the distance matrix of a connected graph G with order n, where dij is equal to the distance between vertices vi and vj in G. A graph is called distance integral if all eigenvalues of its distance matrix are integers. In 2014, Yang and Wang gave a su?cient and necessary condition for complete r-partite graphs Kp1,p2,··· ,pr =Ka1·p1,a2·p2,··· ,as···ps to be distance integral and obtained such distance integral graphs with s = 1, 2, 3, 4. However distance integral complete multipartite graphs Ka1·p1,a2·p2,··· ,as·ps with s>4 have not been found. In this paper, we find and construct some infinite classes of these distance integral graphs Ka1·p1,a2·p2,··· ,as·ps with s = 5, 6. The problem of the existence of such distance integral graphs Ka1·p1,a2·p2,··· ,as·ps with arbitrarily large number s remains open.     

最大度为3的树的L(2,1)-标号数的一个刻画

图G的一个L(2,1)-标号是对G顶点集合的一个非负整数分配,使得其中相邻的点取得的整数差值至少为2并且距离为2的点取得不同的整数.L(2,1)-标号数就是所有这样的标号分配中最小的标号跨度值.Griggs和Yeh的[Labelling graphs with a condition at distance 2,SIAM J.Discrete Math.,1992,5:586-595]已经证明了,一棵树的L(2,1)-标号数不是△就是△+1.对于最大度为3的树的L(2,1)-标号数,本文给出了一个完全的刻画.     

Resistance distance and the normalized Laplacian spectrum

It is well known that the resistance distance between two arbitrary vertices in an electrical network can be obtained in terms of the eigenvalues and eigenvectors of the combinatorial Laplacian matrix associated with the network. By studying this matrix, people have proved many properties of resistance distances. But in recent years, the other kind of matrix, named the normalized Laplacian, which is consistent with the matrix in spectral geometry and random walks [Chung, F.R.K., Spectral Graph Theory, American Mathematical Society: Providence, RI, 1997], has engendered people's attention. For many people think the quantities based on this matrix may more faithfully reflect the structure and properties of a graph. In this paper, we not only show the resistance distance can be naturally expressed in terms of the normalized Laplacian eigenvalues and eigenvectors of G, but also introduce a new index which is closely related to the spectrum of the normalized Laplacian. Finally we find a non-trivial relation between the well-known Kirchhoff index and the new index.     

两类六角系统的$A\alpha$-特征多项式和$A\alpha$-谱

2017年, Nikiforov首次提出研究图$G$的$A\alpha$-矩阵, 其定义为:$A\alpha(G)=\alpha D(G)+(1-\alpha)A(G) (\alpha\in [0,1])$, 其中$A(G)$和$D(G)$分别为图$G$的邻接矩阵和度对角矩阵. 设$F_n$和$M_n$分别为圈状六角系统和M\"{o}bius带状六角系统图. 根据循环矩阵的行列式和特征值, 本文首先给出图$F_n$和$M_n$的$A\alph$-特征多项式和$A\alpha$-谱, 进一步得到图$F_n$和$M_n$的$A\alpha$-能量的上界.     

广义de Bruijn和Kautz有向图的距离控制数

对于任意的正整数(?),强连通图G的顶点子集D被称为距离(?)-控制集,是指对于任意顶点v(?)D,D中至少含有一个顶点u,使得距离dG(u,v)≤(?)．图G距离(?)- 控制数γe(G)是指G中所有距离(?)-控制集的基数的最小者．本文给出了广义de Bruijn 和广义Kautz有向图的距离(?)-控制数的上界和下界,并且给出当它们的距离2-控制数达到下界时的一个充分条件．从而得到对于de Bruijn有向图B(d,k)的距离2-控制数γ2(B(d,k))= ．在该文结尾,我们猜想Kautz有向图K(d,k)的距离2-控制数γ2(K(d,k))= .     

可迹图的谱充分条件

设G是一个简单图,A(G),Q(G)以及Q(G)分别为G的邻接矩阵,无符号拉普拉斯矩阵以及距离无符号拉普拉斯矩阵,其最大特征值分别称为G的谱半径,无符号拉普拉斯谱半径以及距离无符号拉普拉斯谱半径.如果图G中有一条包含G中所有顶点的路,则称这条路为哈密顿路;如果图G含有哈密顿路,则称G为可迹图;如果图G含有从任意一点出发的哈密顿路,则称G从任意一点出发都是可迹的.主要研究利用图G的谱半径,无符号拉普拉斯谱半径,以及距离无符号拉普拉斯谱半径,分别给出图G从任意一点出发都是可迹的充分条件.     

On some eigenvalue inequalities for Schatten–von Neumann operators

Michael Gil' recently obtained some bounds for eigenvalues in [J. Funct. Anal. 267 (2014) 3500–3506] and [Commun. Contemp. Math. 18 (2016) 1550022], which improve some classical results related to this aspect. We revisit these results by providing genuinely different arguments (e.g., using Aluthge transform, majorization). New results are derived along our discussions.     

循环图的距离能量（英文）

For a connected graph G, the distance energy of G is a recently developed energytype invariant, defined as the sum of absolute values of the eigenvalues of the distance matrix G. A graph is called circulant if it is Cayley graph on the circulant group, i.e., its adjacency matrix is circulant. In this note, we establish lower bounds for the distance energy of circulant graphs. In particular, we discuss upper bound of distance energy for the 4-circulant graph.