On the weighted elliptic problems involving multi-singular potentials and multi-critical exponents

Suppose Ω belong to R^N（N≥3） is a smooth bounded domain,ξi∈Ω,0〈ai〈√μ,μ：=（（N-1）/2）^2,0≤μi〈（√μ-ai）^2,ai〈bi〈ai＋1 and pi：=2N/N-2（1＋ai-bi）are the weighted critical Hardy-Sobolev exponents, i = 1, 2,..., k, k ≥ 2. We deal with the conditions that ensure the existence of positive solutions to the multi-singular and multi-critical elliptic problem ∑i=1^k（-div（｜x-ξi｜^-2ai△↓u）-μiu/｜x-ξi｜^2（1＋ai）-u^pi-1/｜x-ξi｜^bipi）=0with Dirichlet boundary condition, which involves the weighted Hardy inequality and the weighted Hardy-Sobolev inequality. The results depend crucially on the parameters ai, bi and #i, i -- 1, 2,..., k.     

共振条件下一类三阶m-点边值问题解的存在性

考虑共振情形下三阶微分方程m-点边值问题x＇＇＇（t）=f（t,x（t）,x＇（t）,x＂（t））＋p（t）,t∈（0,1）, x（0）=0,x＂（0）=0,x＇（0）=0,x＇（1）=∑i=1^m-2 aix＇（ξi）,其中ai≥0，0〈ξ1〈ξ2〈…〈ξm-2〈1且∑i=1^m-2 ai=1．利用Mawhin重合度拓展定理，得到该问题解存在性的新的结果．     

On an Anisotropic Equation with Critical Exponent and Non-Standard Growth Condition

Using variational methods, we prove the existence of a nontrivial weak solution for the problem
{-∑i=1^Nδxi（｜δxiu｜pi-2δxiu）=λα（x）｜u｜q（x）-2u＋｜u｜p＊-2u,in Ω,
u=0 inδΩ,
where Ω R^N（N≥3） is a bounded domain with smooth boundary δΩ,2≤pi〈N,i=1,N,q：Ω→（1,p＊）is a continuous function, p＊ =N/∑i=1^N 1/pi-1 is the critical exponent for this class of problem, and λ is a parameter.     

绝对值函数的解析性质与应用

对于形如f（x）=n∑i=1 pi｜x-ai｜（pi,ai∈R）的函数,我们称之为绝对值函数． 近年来一些省市的高考试题中,常常可以发现以绝对值函数为背景的问题,文分别从绝对值的几何意义出发,给出了这类问题的一种解法．本文拟以函数的视角来审视问题,给出绝对值函数更为深刻的一些解析性质,并列举这些性质的一些应用,以供教学中参考．     

一类多点边值问题的可解性

This paper deals with the existence of solutions for the problem
{（Фp（u′））′=f（t,u,u′）,t∈（0,1）,
u′（0）=0,u（1）=∑i=1^n-2aiu（ηi）,
where Фp（s）=｜s｜^p-2s,p〉1.0〈η1〈η2〈…〈ηn-2〈1,ai（i=1,2,…,n-2）are non-negative constants and ∑i=1^n-2ai=1.Some known results are improved under some sign and growth conditions. The proof is based on the Brouwer degree theory.     

Radon不等式的推广及其应用

Radon不等式设ai≥0，bi〉0（i=1，2，…，n），l∈N，则 ^n∑i=1 ai^l＋1/bi^l≥（^n∑i=1 ai）^l＋1/（^n∑i=1 bi）^l 本文将（1）式推广如下：     

Diophantine inequality involving binary forms

Let r =2^d-1 ＋ 1. We investigate the diophantine inequality
｜∑i=1^r λiФi（xi,yi）＋η｜〈（max 1≤i≤r{｜xi｜,｜yi｜}）^-δ,
where Фi（x,y）∈X[x,y]（1≤i≤r） are nondegenerate forms of degree d = 3 or 4.     

Full friendly index sets of Cartesian products of two cycles

Let G =（V, E） be a connected simple graph. A labeling f ： V → Z2 induces an edge labeling f＊ ： E → Z2 defined by f＊（xy） = f（x） ＋f（y） for each xy ∈ E. For i ∈ Z2, let vf（i） = ｜f^-1（i）｜ and ef（i） = ｜f＊^-1（i）｜. A labeling f is called friendly if ｜vf（1） - vf（0）｜ ≤ 1. For a friendly labeling f of a graph G, we define the friendly index of G under f by if（G） = e（1） - el（0）. The set [if（G） ｜ f is a friendly labeling of G} is called the full friendly index set of G, denoted by FFI（G）. In this paper, we will determine the full friendly index set of every Cartesian product of two cycles.     

用“原函数”法探索数列和不等式的放缩目标

在证明数列和不等式n∑i=1ai≥≤f（n）时，我们常常是设法将an放缩，使n∑i=1ai合并成一项或几项和，再证明n∑i=1ai≥≤f（n）．但放缩度很难把握，常常因找不到放缩目标而导致证明的失败．     

2014年高考数学模拟训练题

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.）1.复数2-1/i（i为虚数单位）的共轭复数是（）（A）-2＋i.（B）-2-i.（C）2＋i.（D）2-i.2.设实数集R为全集,集合A={y｜y=lgx,x〈1},集合B={y｜y=-x2,x〈-1},     

样本线性相关系数的几何解释

经全国中小学教材审定委员会2003年审查通过的人教版全日制高中教科书《数学》第三册（选修Ⅱ）之“§1．6线性回归”中给出了样本相关系数r=^n∑i=1（xi-^-x）（yi-^-y）/^n∑i=1（xi-^-x）^2^n∑i=1（yi-^-y）^2，并指出其性质“｜r｜≤1，且｜r｜越接近1，相关程度越大；｜r｜越接近于0，相关程度越小。     

一类次椭圆方程弱解的正则性

在区域Ω上考虑一类由退化向量场形成的Schrodinger方程： ∑i,j=1^mXi^＊（aij（x）Xju）-vu=0 其中X1,…,Xm为R^n（n≥）3上满足Hormander条件的实C^∞向量场,Xi^＊为Xi的形式共轭,v属于Kato类的某一类比Kη^loc（Ω）.并得到以下结果：若u为以上方程的弱解,则｜Xu｜^2w=∑i=1^m｜Xiu｜^2w∈Kη^loc（Ω）.     

具有p-Laplacian算子的二阶微分方程Picard边值问题(英文)

Suffcient conditions for the existence of at least one solution of two-point boundary value problems for second order nonlinear differential equations {[φ（x（t））] ＋ kx（t） ＋ g（t,x（t）） = p（t）,t ∈（0,π） x（0） = x（π） = 0 are established,where [φ（x）] =（｜x ｜p-2x） with p 1.Our result is new even when [φ（x）] = x in above problem,i.e.p = 2.Examples are presented to illustrate the effciency of the theorem in this paper.     

两个三角公式及其证明

利用线性变换思想可证明三角公式：sum from i=0 to ｜n｜-1 （cos（i.（2π）/n）=0,sum from i=0 to ｜n｜-1（sin（i.（2π）/n））=0,n∈Z,n≠0,±1.     

一个问题的解决

本文将解决文[1]末提出的如下问题： 问题1 求函数y-^n∑i=1Fi｜x-Fi｜的最小值，其中x∈R,{Fn}n≥0为Fibonacci数列，它由F0=0,F1=1,Fn＋2=Fn＋1＋Fn（n∈N）确定。     

一道高考题的推广及应用

原题 设f（x）=19↑∑↓k=1｜x=k｜，则f（x）的最小值为（ ） （A）190．（B）171．（C）90．（D）145．     

重模剩余类环的矩阵表示

对模m的剩余类环Zm上的多项式环Zm[x]中的任一n次（n≥1）首一多项式P,给出了重模剩余类环Zm[x]/（P）到Zm上的n阶全矩阵环Mn（Zm）的一类单同态,从而实现了Zm[x]/（P）的矩阵表示.若A为P的友矩阵,则Zm[x]/（P）的矩阵表示为{an-1An-1＋…＋a1A＋a0E｜ai∈Zm,0≤i≤n-1}...     

一道练习题的推广

原题 已知函数f（x）=ax^2＋bx＋c（a≠0）。满足当｜x｜≤1时，总有｜f（x）｜≤1。则｜f（2）｜≤8．     

找回遗漏的解

题目1已知函数f（x）=｜x＋1｜＋｜x＋2｜＋…＋｜x＋2011｜＋｜x-1｜＋｜x-2｜＋…＋｜x-2011｜（x∈R）,且f（a^2-3a＋2）=f（a-1）,则满足条件的所有整数a的和是_____．     

关于连续性与一致连续性的一个定理

设f（x）在Ω上连续．任给e〉0，令δ（ε,x0）=1/2sup{δ：当｜x-x0｜〈δ}时，｜f（x）-f（x0）｜〈e},则f（x）在Ω上一致连续的充要条件是δ（e）=inf{δ（ε,x0）：x0∈Ω}〉0.实例给出其应用.