中学数学中的统计思想方法

中学数学中的统计思想方法黄克明（湖南郴州教育学院４２３０００）数理统计学是一个比较年轻的数学分支，它是以对随机现象观测所得数据为出发点，以概率论的理论为基础来研究随机现象的一门学科，它有很多分支，其基本内容大体分为描述统计和统计推断，初中《统计初步》...     

不等式的证明

1　教材分析1.1　教材内容“不等式的证明”是高中《代数》下册 (人教社 ,1990年 10月版 .下同 )“不等式”一章的重点和难点内容之一 ,是在学完不等式的基本概念与基本性质的基础上 ,对不等式的进一步研究 .本节内容通过九个例题分别介绍了证明不等式的一些常用的基本方法———比较法、综合法和分析法 ,它是不等式性质的直接运用 ,也是研究代数证明题的重要载体 .本节教材内容丰富 ,可分七课时完成 ,本课时内容是教材第 14页的例 9.在此之前学生已经对不等式证明的三种方法有了初步的认识 ,形成了一定的基本技能 ,该课时设想通过一题多法 …     

巧用齐次化与非齐次化的思想解不等式竞赛题

解析式是中学数学的重要内容之一,也是研究函数、方程、不等式的基础,数学的其它各分支学科均离不开解析式的恒等变换.因此,熟练地掌握一些解析式的变形规律是学好代数及相关学科的前提.本文主要讨论如何利用齐次化与非齐次化的思想,解决一些竞赛中的不等式问题.定义1设xi≥0(i     

概率知识在非概率问题中的应用举例

概率论是研究随机现象的一门数学分支,它既有其独特的概念和方法,也与其他学科分支有着密切的联系.因此在解答有关数学问题时,如能依据题设条件构建概率模型,可使这些数学问题简捷巧妙的解决,现举例说明.     

2006年全国各地高考数学试题评析——排列组合、概率与统计

排列组合及概率与统计在中学数学中是一个相对独立的内容,其在研究对象与处理方法上与其它内容有很大的不同,公式不多却运用广泛,题型多变,解法灵活.由于中学数学中所学习的概率与统计内容是这一分支中最基础的内容,高考对部分内容的考查贴近考生生活,注重考查基础知识和基本方     

运用新教材“新增知识”证明不等式

高中数学新教材添加概率统计、向量、导数、微积分等内容.如何将这些新增内容与中学数学的传统内容有机整合,互为所用,是中学数学面临的新课题.为此,笔者主要从数学方法的角度,运用新增内容的思想,对不等式的证明作一些方法上的归类与探索.旨在从新的视角来欣赏不等式的证明.1.利用E(X2)≥E2(X)构建不等式设x是一个取有限个值的离散随机变量,其分布列为p(x=xk)=pk,k=1,2…n,则E(X2)≥E2(X).(等式成立当且仅当x1=x2=x…=E(x))例1设a,b,c∈R+,求证ab+c+bc+a+ca+b≥32.证明:设随机变量x的分布列为Px=mb+c=b+c2mPx=mc+a=c+a2m(其中a+b+c=m)…     

竞赛中的不等式问题

不等式是中学数学的重要内容,是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具,因而是高中数学竞赛的重点.竞赛中的不等式试题不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本方法,而     

构造函数证明不等式

不等式的证明是中学数学的一个很重要的内容,也是一个难点内容.证明不等式有很多种方法,其中通过构造函数来证明不等式是一个非常重要的方法.通过找到不等式的代数式与函数之间的联系,根据这些代数式的特点构造函数,再用函数的性质就能很快捷、方便地证明不等式.本文探讨用不同的方法构造函数,并结合典型高考题研究构造函数证明不等式的技巧和方法.     

近年高考不等式问题的分类及求解

不等式是中学数学的重要内容，它可以渗透到中学数学的很多章节，又加上它在实际生活中的广泛应用，决定了它将是永不衰退的高考热点．事实也正是如此：’96、’97两年理科试卷与不等式有关的试题分数累计均为54分．为了让师生了解近年高考不等式命题的全貌，使对不等式的复习更具针对性．本文将对近年高考试题中的不等式问题进行归类整理，意在揭示求解规律．1解不等式解不等式是基本问题，常见于中档题，求解思路一般比较简单，但必须细心、谨慎．例1解不等式（1991年离考试题）解原不等式等价于由（Ｉ）得由（Ⅱ）得解集（1985年高考试题…     

一个三角不等式的几种证明

<正>不等式是数学领域的重要内容,许多数学问题的解决最终都归结为处理一个或多个不等式,即使着眼于中学数学,它也是一块非常重要的内容.三角不等式又在这块内容中占有一席之地.由于三角不等式中会出现一个或多个变量的三角函数,所以处理起来可能更加困难,这也恰恰是它的魅力所在.本文将对一个三角不等式提供几种证明,     

不等式证明中的换元法

不等式的证明因其方法灵活多变、综合性强而成为高中数学的一个难点 ,在各类数学竞赛中 ,不等式的证明问题是一个热点 .本文介绍用几种换元法来证明一些较难的不等式 .所谓换元法 ,就是将所要证明的不等式中的字母作适当的代换 ,变换数学式的形式 ,以显化其内在结构的本质 ,从而达到简化证题的过程 .一、均值换元法若题目中有ａ1+ａ2 +… +ａｎ=Ｘ的条件时 ,常可考虑作如下换元 ,设ａｉ=Ｘｎ +ｔｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,此时ｔ1+ｔ2 +… +ｔｎ=0 ,由于 Ｘｎ 是ａ1、ａ2 、…、ａｎ 的平均值 ,故称之为均值换元法 .例 1　已知ａ,ｂ ,ｃ,ｄ ,ｅ…     

巧用柯西不等式解题

中学数学基本上是初等数学知识,但是初等数学是高等数学的基础,而高等数学是初等数学的发展,高等数学对初等数学和中学数学具有一定的指导作用,为了解决学生从中学到大学这一突变所产生的诸多不适应问题,在中学教材和教学中适当地蕴含一些高等数学知识是必要的,柯西不等式作为苏教版选修4-5<不等式选讲>中的内容在中学数学中的应用比较广泛,它是异于均值不等式的另一个重要不等式,灵活巧妙地运用它,可以使一些比较困难的问题得以比较简捷地解决,现举几例加以说明:……     

用导数解证不等式

不等式是中学数学最重要的内容之一,尽管在新课程标准大纲中对其解法和证明进行了一些删减或限制,但由于不等式的综合性强,思维量大,重难点内容不易把握,在数学世界中它有其独特的魅力,因而有关不等式在历年高考中考得最频繁,特别是不等式的证明问题已成为高考的难点,它往往会出现在压轴题上,因而不等式的一些解题方法或技巧一贯是广大中学师生探讨的热点.导数作为高等数学学习的必备工具,为解证不等式问题提供了依据,开辟了新途径.下面谈谈笔者在这方面的一些做法.     

妙用极限思想,优化解题过程

极限思想是中学数学中一种重要的数学思想,它从数量上描述变量在运动过程中的变化趋势.现行高中教材中有多处内容渗透了极限的思想和方法,如"球的体积和表面积"、"双曲线的渐近线"等,虽然极限知识在试验区中学数学现行教材中已不出现,但是极限思想仍贯穿于高中教材的各个部分,极限内容与解析几何、立体几何、数列、三角函数、不等式也有着密切的联系,极限思想在解决数学各个分支的问题时有着不可忽视的作用.对于某些较难的数学问题,利用极限思想,把问题放置于极限状态,往往可以避开一些复杂抽象的运算,优化了解题过程和解题方法,降低解题的难度,真正实践"提高观点,降低难度,减轻负担"达到事半功倍的效果.     

P. L. Chebyshev的概率新思想溯源

切贝舍夫是俄国十九世纪最伟大的数学家之一,他第一个主张概率论的极限定理应该严格的证明,并尽可能精确地确定偏离极限的估计量,这在方法论上引起了很大变化.其创立的切贝舍夫不等式和切贝舍夫大数定律是概率论极限理论的基础,从而使概率论成为严密数学分支.切贝舍夫的概率思想是在一定数学文化背景产生的,尤其是法国数学文化对其发展的形成有着深刻影响.     

略谈双参数问题的处理方法

略谈双参数问题的处理方法单文海（绍兴县平水中学３１２０５０）中学数学中分类讨论的思想方法已渗透到代数中的函数、方程、不等式、复数、数列等内容以及几何，三角等数学的各个分支中，是近几年高考中考查学生分析，解决问题能力的一个常见内容．其中双参数问题的讨论...     

直线截距的巧妙应用

直线 l:y =kx b中的 b称为 l在 y轴上的截距 ,它在中学数学中有很多巧妙的应用 ,特介绍如下 .1　用于不等式中1.1　解不等式例 1　解不等式 3 2 x - x2 ≥ a- x.解　令 y1 =3 2 x - x2 ,如图 1,其图象为圆的上半部份 ,即 (x - 1) 2 y2 =4(y≥ 0 ) ;而 y2 =a - x为斜率等于 -     

2006年全国各地高考与模拟数学试卷评析——不等式华中科技大学附中试题研究小组

不等式作为工具知识，渗透在中学数学各个分支中，诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题最终都可归结为不等式的求解或证明．由于不等式知识的工具性，并综合了多种数学思想（等价转化、分类讨论、数形结合、函数方程），使得不等式极其容易与其他知识点融合交汇，符合考试大纲中“对数学能力的考察要以数学基础知识、数学思想方法为基础”的要求，容易考查学生分析解决问题的综合能力，因而不等式一直是高考命题的热点内容．     

参数方程消参的一种简易方法

化参数方程为普通方程是中学数学的一个难点 ,其基本方法大致有代入消参 .加减消参、代数恒等式消参、三角恒等式消参等 .由于它涉及知识点多 ,又要求具有一定的运算技能和代数式变形的技巧 ,因而也是数学中的一个难点 .本文给出形如　ｘ =Ｘ(ｔ)Ｘ′(ｔ) ,ｙ =Ｙ(ｔ)Ｙ′(ｔ) .类参数方程的一种简易消参化为普通方程的方法 ,这里ｔ是参数 ,Ｘ (ｔ) ,Ｘ′(ｔ) ,Ｙ(ｔ) ,Ｙ′(ｔ)是次数不超过二次的整式 ,且Ｘ′(ｔ)·Ｙ′(ｔ)≠ 0 .首先给出如下结论 :定理　两个一元二次方程　ａ1 ｘ2 ｂ1 ｘ ｃ1 =0 ( 1)和ａ2 ｘ2 ｂ2 ｘ ｃ2 =0 ( 2 )…     

切比雪夫不等式的一个推广形式

切比雪夫不等式是一个重要的不等式 ,它在中学数学竞赛中有一些很重要的应用 ,它的一一个初等的证明见文献 [1]第 2 3 6页 .本文用全新的方法给出切比雪夫不等式的一个推广形式 .值得指出的是 ,文献 [1]的方法已不再适用于证明下述不等式 :推广的切比雪夫不等式 :设a1 ≤a2 ≤… ≤an,b1 ≤b2 ≤… ≤bn,0 相似文献