2002年高考压轴题的启示

近观这几年的高考数学试题 ,均有一定的高等数学背景 .2 0 0 2年高考数学 (理 )压轴题正是如此 .这个题目是 :设数列 {ａｎ}满足ａｎ + 1 =ａ2 ｎ-ｎａｎ+ 1,ｎ =1,2 ,3 ,…(1)当ａ1 =2时 ,求ａ2 ,ａ3,ａ4 ,并由此猜出ａｎ 的一个通项公式 ;(2 )当ａ1 ≥ 3时 ,证明对所有的ｎ≥ 1,有①ａｎ≥ｎ + 2 ;② 11+ａ1 + 11+ａ2 +… + 11+ａｎ≤ 12 .解析　这是以数列和不等式的知识为载体 ,考查猜想、归纳、迭代、递推、放缩、推理以及分析问题和解决问题能力的一道好题 .这道题的入口较宽 ,问题 (1)及 (2 )中①都不难解决 ,(2 )中②却难倒了不少考…     

构造数列的和或积证明不等式

一类与自然数有关的不等式证明题是高考的热点问题 ,最常规的证明方法是数学归纳法和放缩法等 .但数学归纳法证明往往过程较繁 ;用放缩法时则盲目性较大 .对于两个数列 {ａｎ}与 {ｂｎ} ,有下面的结论 :1)若ａｎ<ｂｎ,则ａ1+ａ2 +… +ａｎ<ｂ1+ｂ2 +…+ｂｎ;2 )当ａｎ>0 ,ｂｎ>0时 ,若ａｎ<ｂｎ,则ａ1·ａ2 ·…·ａｎ<ｂ1·ｂ2 ·…·ｂｎ.证明某些数列不等式时若能利用此性质 ,则可使证明过程简捷明快 .1　ａ1+ａ2 +… +ａｎ<Ｂｎ 型可以构造数列 {ｂｎ} ,使得ｂ1+ｂ2 +… +ｂｎ=Ｂｎ,只需证明ａｎ<ｂｎ 即可例 1　 (1992年“三南”高考试…     

加强不等式中g(n)应满足的条件

一般地 ,一个与自然数有关的不等式总可以通过数学归纳法解决 .但其中有一些不等式却不能直接运用数学归纳法证明 .如下例 .例 1　已知数列 {ａｎ}满足ａ1=5,ａｎ=5·2 ｎ - 2 (ｎ≥ 2 ) ,求证1ａ1 1ａ2 1ａ3 … 1ａｎ<35.令ｆ(ｎ) =1ａ1 1ａ2 1ａ3 … 1ａｎ,显然ｆ(ｎ)是单调递增的 ,在用数学归纳法证明时 ,由ｆ(ｋ) <35不可能过渡到ｆ(ｋ 1) <35.对于这样的问题常用的办法是先证一个加强不等式ｆ(ｎ) <35-ｇ(ｎ)(ｇ(ｎ) >0 ) .问题是这个加强不等式中的ｇ(ｎ)应满足什么条件 .我们先看一般的情形 :求证ｆ(ｎ) <Ｍ(ｆ(ｎ)是单调递增的 ,…     

2002年高考压轴题探源及解析

20 0 2年高考数学 (理 )的压轴题是 :设数列 {ａｎ}满足ａｎ + 1=ａ2 ｎ-ｎａｎ+ 1 ,ｎ =1 ,2 ,3,… .1 )当ａ1=2时 ,求ａ2 ,ａ3 ,ａ4,并由此猜出ａｎ 的一个通项公式 ;2 )当ａ1≥ 3时 ,证明对所有的ｎ≥ 1 ,有①ａｎ≥ｎ + 2 ;② 11 +ａ1+ 11 +ａ2 +… + 11 +ａｎ≤12 .这是以数列和不等式知识为载体 ,考查猜想、归纳、迭代、递推、放缩、推理以及分析问题和解决问题能力的一道题 .1 )及 2 )之①不难解决 ,2 )之②难倒了不少考生 ,拉开了档次 .从试题制作的背景看 ,该题出自于高校老师之手 .从级数的观点看 ,2 )之②意指正项级数∑∞ｉ=111…     

一道数列题的妙解

学数学与学习任何一科知识一样 ,也要有创新精神 ,这对我们学好数学非常重要 .下面请看一道例题 .例　设等比数列 {ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,积为Ｐｎ,各项倒数的前ｎ项和为Ｔｎ.求证 :Ｐ2 ｎ=ＳｎＴｎｎ.这道题的常规解法是利用等比数列的求和公式及有关性质 ,将Ｐｎ,Ｓｎ,Ｔｎ 化为关于ａ1和ｎ的关系式 ,化简后证明相等 .这种解法步骤比较多 ,较繁 .下面我运用等比数列的性质通过合比定理证明它 .证明　Ｐ2 ｎ=(ａ1ａ2 ａ3 …ａｎ) 2 =(ａ1·ａｎ) ｎ;ＳｎＴｎｎ=ａ1+ａ2 +ａ3 +… +ａｎ1ａ1+ 1ａ2+ 1ａ3+… + 1ａｎｎ,∵ ａ11ａｎ=ａ21ａｎ…     

“至少类”问题的简单解法

“至少类”问题是数学竞赛中的难点之一 ,解决这类问题同学们一般会感到无从下手 ,本文先介绍一个简单的事实 :定理　若ａ1+ａ2 +… +ａｎ≥ｋ(或 >ｋ) ,则ａ1、ａ2 、…、ａｎ 中至少有一个ａｉ,ａｉ 不小于 ｋｎ(或大于 ｋｎ) .证明　用反证法证明这个简单的事实 .假设没有一个ａｉ 不小于 ｋｎ,则所有的ａｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)都小于 ｋｎ,即ａ1<ｋｎ,ａ2 <ｋｎ,… ,ａｎ<ｋｎ ,所以ａ1+ａ2 +… +ａｎ<ｎ·ｋｎ=ｋ .这与条件ａ1+ａ2 +… +ａｎ≥ｋ矛盾 .∴　假设不成立 .∴　至少存在一个ａｉ,有ａｉ≥ ｋｎ 成立 .同理可证当ａ1+ａ2 +… …     

探寻错解根源更正传统答案

题目 :{ａｎ}是等比数列 ,且Ｓ =ａ1 +ａ2 +…ａｎ,Ｔ =1ａ1 +1ａ2 +… +1ａｎ,求 {ａｎ}的前ｎ项之积 .苏州大学出版的 2 0 0 1版《高三数学教学与测试》(教师用书 )中给出的解答如下 :解　设ｑ为公比 Ｓ =ａ1 -ａｎｑ1 -ｑ ,Ｔ =1ａｎ- 1ａ1ｑ1 -ｑ =ａ1 -ａｎｑａ1 ａｎ(1 -ｑ) ＳＴ =ａ1 ａｎ,又ａ1 ａｎ=ａ2 ａｎ- 1 =… ａ1 ａ2 ａ3…ａｎ =(ａ1 ａｎ) ｎ2 ,即所求之积为 ＳＴｎ2 .笔者在探究其解法的过程中 ,发现上面的解答是错误的 .无独有偶 ,中国青年出版社 1 998年 8月出版的《中学生同步学习参考书》(高二数学)Ｐ98页也有此…     

由递推公式给出的数列的常见类型及解法

对于由递推式所确定的数列通项公式问题 ,通常可通过对递推式的变换转化成等差数列或等比数列问题 ,也可通过联想构造或猜想证明把问题转化 .1　ａｎ + 1=ａｎ+ｆ(ｎ)型例 1　在数列 {ａｎ}中 ,已知ａｎ + 1=2 ｎ + 1·ａｎａｎ+2 ｎ + 1,ａ1=2 ,求通项公式ａｎ.解　已知递推式化为1ａｎ + 1=1ａｎ+12 ｎ + 1,即　 1ａｎ + 1- 1ａｎ=12 ｎ + 1,∴ 1ａ2- 1ａ1=12 2 ,1ａ3- 1ａ2=12 3 ,1ａ4- 1ａ3=12 4,… ,1ａｎ- 1ａｎ -1=12 ｎ.将以上 (ｎ - 1 )个式子相加得1ａｎ- 1ａ1=12 2 +12 3 +12 4+… +12 ｎ,1ａｎ=12 +12 2 +12 3 +… +12 ｎ=12 1 …     

1999年高中数学联赛试题第五题的四种解法

题目　给定正整数ｎ和正数Ｍ .对于满足条件ａ21 ａ2 ｎ 1 ≤Ｍ的所有等差数列ａ1 ,ａ2 ,ａ3 ,… ,试求Ｓ =ａｎ 1 ａｎ 2 … ａ2ｎ 1 的最大值 .解法 1　 (判别式法 )设公差为ｄ ,则　　Ｓ =ａｎ 1 ａｎ 2 … ａ2ｎ 1=(ｎ 1)2 (ａｎ 1 ａ2ｎ 1 )=(ｎ 1)2 ( 2ａ1 3ｎｄ)=(ｎ 1) (ａ1 3ｎ2 ｄ) .令ｔ =ａ1 3ｎ2 ｄ ,则ａ1 =ｔ- 3ｎ2 ｄ ,ａｎ 1 =ａ1 ｎｄ .∵ａ21 ａ2 ｎ 1 ≤Ｍ ,∴ (ｔ- 3ｎ2 ｄ) 2 (ｔ- 3ｎｄ2 ｎｄ) 2 ≤Ｍ ,即 5ｎ2 ｄ2 - 8ｎｄｔ 4ｔ2 - 2Ｍ≤ 0 .∵ｄ∈Ｒ ,∴Δ =( 8ｎ…     

这样证明对吗？

众多的高三复习资料上都有这样一道例题 :题目　设ａｉ>0 (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,且满足条件ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ=1,用数学归纳法证明ａ21 ａ22 … ａ2 ｎ≥ 1ｎ (ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .不少同学是这样证明的 :证　 1)当ｎ =2时 ,ａ21 ａ22 =ａ21 ａ21 ａ22 ａ222≥ ａ21 ａ22 2ａ1ａ22 =(ａ1 ａ2 ) 22 =12 ,不等式成立 .2 )假设当ｎ =ｋ (ｋ≥ 2 )时不等式成立 ,即当ａ1 ａ2 … ａｋ=1时 ,有ａ21 ａ22 … ａ2 ｋ≥ 1ｋ.当ｎ =ｋ 1时 ,ａ21 ａ22 … ａ2 ｋ ａ2 ｋ 1≥ 1ｋ ａ2 ｋ 1>1ｋ 1.由此可见 ,当ｎ =ｋ 1时不等式也成立 .由…     

对一个不等式的深入思考

问题　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4.这是《数学教学》2 0 0 1年第 6期问题栏的一道新题 ,我们的深入思考是 :从次数方向探索 ,对自然数ｎ ,此题有无推广的新题呢 ?推广 1　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :1 )对于 1≤ｎ≤ 4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤ 2ｂｎ 均成立 ;2 )对于ｎ >4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤2ｂｎ不能成立 .证　 1 )由原不等式ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4的证明过程易知 ,其等号当且仅当ｃｏｓＢ =12 ,且ｂ2 =ａｃ,即ａ =…     

a_(n+1)=p(n)·a_n~2+f(n)·a_n+r型数列的求解方法

数列问题的背景新颖 ,能力要求高 ,内在联系密切 ,思维方法灵活 ,因此倍受命题者的青睐 .解答数列问题要求熟练掌握数列的基础知识 ,灵活运用基本数学思想方法 ,善于转化 .ａｎ +1=ｐ(ｎ)·ａ2 ｎ+ｆ(ｎ)·ａｎ+ｒ(ｐ(ｎ)≠ 0 )型数列是数列和二次函数、不等式相结合的典范 ,难度较大 .求解此类问题的的思维模式是 :观察—归纳—猜想—证明 .求解的主要方法是 :分析法、比较法、消去法、综合法、放缩法、数学归纳法 .例 1　数列ｘ1,ｘ2 ,… ,由ｘ1=12 ,ｘｎ +1=ｘ2 ｎ+ｘｎ(ｎ =1,2 ,… )给出 ,Ｓｎ 与Ｐｎ 分别是数列 ｙ1,ｙ2 ,ｙ3 ,…前ｎ…     

一个平均值不等式

关于ｎ个正数ａ1、ａ2 、…、ａｎ 的调和平均值Ｈ(ｎ)、几何平均值Ｇ(ｎ)、算术平均值Ａ(ｎ)与平方幂平均值Ｓ(ｎ)的不等式链Ｈ(ｎ)≤Ｇ(ｎ) ≤Ａ(ｎ) ≤Ｓ(ｎ)是大家比较熟悉的 .本文介绍笔者近期发现的一个不等式ｎａａ1 1ａａ22 …ａａｎｎ ≥Ｇ(ｎ) Ａ(ｎ) ( )当且仅当ａ1=ａ2 =… =ａｎ 时取等号 .为述说与书写的简便 ,称上式左端为ｎ个正数的自幂几何平均值 ,记为Ｚ(ｎ) .1　发现中学课本中有这样一证明题 :若ａ、ｂ >0 ,则ａａｂｂ ≥ａｂｂａ此不等式易证 ,两端同乘以ａａｂｂ 得(ａａｂｂ) 2 ≥ａａ+ｂ·ｂａ+ｂ =(ａｂ) ａ+ｂ所…     

二次齐次式的变形

形如ａｘ~2 +ｂｘｙ +ｃｙ~2 (ａ ,ｂ ,ｃ是常数 )的式子叫做二次齐次式 ,在确定 ｙ≠ 0的情况下 ,可变形为 ｙ2 [ａ( ｘｙ) 2 +ｂ( ｘｙ) +ｃ] .若是二次齐次方程或不等式 ,此变形的结果为关于 ｘｙ的一元二次方程或不等式 ,这种变形往往对问题的解答十分有利 .1 .数列中的二次齐次式例 1　设数列 {ａｎ}是首项为 1的正项数列 ,且 (ｎ + 1 )ａ2 ｎ + 1 -ｎａ2 ｎ+ａｎａｎ + 1 =0 (ｎ =1 ,2 ,3,… ) ,则它的通项公式是ａｎ=.分析　已知等式是关于ａｎ,ａｎ + 1 的二次齐次式 ,因为ａｎ>0 ,两边同除以ａ2 ｎ 得 (ｎ + 1 )·( ａｎ + 1ａｎ) …     

等差数列的有趣性质

新教材第 117页练习 2 ( 2 )题是 :在等差数列中 ,已知ａ3=9,ａ9=3 ;求ａ12 的值 .这是一道很简单的等差数列问题 ,易求得ａ12 =0 ,但细看数字特征 ,会发现这是等差数列的一个有趣性质 .更一般地有 :在等差数列中若ａｍ=ｎ ,ａｎ=ｍ ,则ａｍ +ｎ=0 .证明一　ａｍ=ａ1+ (ｍ -1)ｄ =ｎ和ａｎ=ａ1+ (ｎ -1)ｄ =ｍ ,联合两式解方程组得ａ1=ｍ +ｎ -1和ｄ =-1.所以　ａｍ +ｎ=ａ1+ (ｍ +ｎ -1)ｄ =0 .证明二　ａｎ=ａｍ+ (ｎ -ｍ)ｄ ,即　ｍ =ｎ + (ｎ -ｍ)ｄ ,从而有ｄ =-1,所以ａｍ +ｎ=ａｍ+ (ｍ +ｎ -ｍ)ｄ =ｎ -ｎ =0 .这里巧用通项与某项的…     

一阶二次递归数列的部分结论

在数列 {ａｎ}中 ,若已知ａ1,且满足　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ ｑａｎ+ｒ (1)其中 ｐ ,ｑ ,ｒ为常数 ,ｐ≠ 0 ,则数列 {ａｎ}叫做常系数一阶二次递归数列 ,(1)式叫做该数列的递归方程 .1　当 ｑ =ｒ =0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ (2 )结论 1　满足 (2 )式的列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=1ｐ(ｐａ1) 2ｎ - 1.此结论用数学归纳法易得 ,证明从略 .2　当 ｑ =0 ,ｒ≠ 0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ｒ (3)若 ｐ =1,ｒ =- 2 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ａ2 ｎ- 2 (4)结论 2　数列 {ａｎ}若满足递归方程 (4) ,则令ａ1=ｍ + 1ｍ,可得…     

浅论矩阵初等变换法在数论中的应用

矩阵论是一个应用十分广泛的数学学科 .本文将以矩陈的初等变换法为理论工具 ,谈谈它在数论中的两个应用 .本文约定 :小写拉丁字母表示整数 ,大写拉丁字母表示整数矩阵 ,对矩阵实施初等变换的过程中所用到 (得到 )的数均为整数 .1　一个命题命题 1　设 (ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ) =ｄ ,则存在可逆方阵Ａ =[ａｉｊ]ｎ×ｎ,使得ａ1 ａ2 …ａｎ Ａ =[ｄ 0… 0 ](ｎ≥ 2 ) .证明 (数学归纳法 )(1 )当ｎ =2时 ,不妨设ａ1 >ａ2 >0 (否则可以施以倍法变换或换位变换 ,使得ａ1 >ａ2 >0 ) ,由辗转相除法知 :ａ1 =ｑ1 ａ2 +ｒ1 ,0 <ｒ1 <ａ2ａ2 =ｑ2 ｒ1 +…     

数学日记三则——递推数列通项的求解

3月 1 9日　星期一今天 ,在“递推数列”的学习中 ,有一个例题 ,通过大家共同讨论 ,得到三种解法 .例题　已知数列 {ａｎ}满足 :ａ1=1,ａｎ 1=2ａｎ 1,求该数列的通项ａｎ.解法 1　由已知可得　ａ1=1,ａ2 =3,ａ3=7,ａ4=15 ,由此猜测ａｎ=2 ｎ- 1.用数学归纳法证明 :①当ｎ =1时 ,猜想显然成立 .　②假设ｎ =ｋ时猜想成立 ,即ａｋ=2 ｋ- 1.当ｎ =ｋ 1时 ,ａｋ 1=2ａｋ 1=2 (2 ｋ- 1) 1=2 ｋ 1- 1.可见当ｎ =ｋ 1时命题也成立 .综合① ,②知 ,对于一切自然数ｎ命题均成立 .解法 2　由已知有ａｎ=2ａｎ - 1 1,ａｎ- 1=2ａｎ - 2 1,… ,ａ…     

对一类和式的估值

设 {ａｎ}为递增的正项等差数列 :ａｎ=ａ1 (ｎ -1)ｄ ,ｎ∈Ｎ ,其中ａ1 ,ｄ >0 ,本文讨论和式 ｎｋ =1 ａｋ=ａ1 ａ2 … ａｎ的估值不等式与近似值公式 ,并举例说明其应用 .定理 1　设ｄ≤ 10ａ1 ,则对任意ｎ∈Ｎ ,有　　ｍｎ≤ ｎｋ =1 ａｋ≤Ｍｎ (1)当且仅当ｎ =1时式中等号成立 ,其中ｍｎ =4ａｎ 3ｄ6ｄ ａｎ ｄ2 4ａｎ　 -(4ａ1 -3ｄ6ｄ ａ1 ｄ2 4ａ1) ,Ｍｎ =4ａｎ 3ｄ6ｄ ａｎ ｄ2 4ａｎ　 -ｄ3192 0ａ2ｎ ａｎ-(4ａ1 -3ｄ6ｄ ａ1　 ｄ2 4ａ1-ｄ3192 0ａ31 ａ1) .定理 1的证明要用到下面两个引理 .引理 1　设ｘ≥ 110…     

柯西不等式的微小改动

刘治和在 [1 ]中把柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式叙述为 :(ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2 +… +ａｎｂｎ) 2 ≤ａ21+ａ22 +… +ａ2 ｎ ｂ21+ｂ22 +… +ｂ2 ｎ(ａｉ,ｂｉ∈Ｒ ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,当且仅当ａ1ｂ1=ａ2ｂ2 =… =ａｎｂｎ时等号成立 .这是错误的 .诚然ａ1ｂ1=ａ2ｂ2 =… =ａｎｂｎ ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2 +… +ａｎｂｎ 2= ａ21+ａ22 +… +ａ2 ｎ ｂ21+ｂ22 +… +ｂ2 ｎ但ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2 +… +ａｎｂｎ 2= ａ21+ａ22 +… +ａ2 ｎ ｂ21+ｂ22 +… +ｂ2 ｎ \ａ1ｂ1=ａ2ｂ2 =… =ａｎｂｎ.反例　ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ ,ｂ1=ｂ2 =… =ｂｎ= 0 ,ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2…