含二次根式的无理不等式解法四种

解含二次根式的无理不等式,是中学数学习题中常见的问题,也是教学中的一大难点.85年高考文理科试题中“解不等式2x+5~(1/2)>x+1”一题评卷结果表明,许多考生对这类不等式的解法心中无数,加之缺乏产谨的思考和周密的分析,误解不少。因此,探讨含二次根式的无理不等式的解法是十分必要的。这里介绍常见解法四种,供同志们教学参考。     

巧用三角换元法妙解无理不等式

众所周知 ,解无理不等式的常规方法是通过平方 ,把无理不等式转化为有理不等式求解 .笔者发现 ,许多无理不等式 ,若能根据题设条件巧妙地采取三角换元 ,也能实现化无理为有理、化难为易、化繁为简的目的 .下面以几道名题为例予以说明 .例 1　 (第四届ＩＭＯ试题 )解不等式3 -ｘ -ｘ 1>12 .解　∵ ( 3 -ｘ) 2 (ｘ 1) 2 =4,∴可令 3 -ｘ =4ｓｉｎ2 θ ,ｘ 1=4ｃｏｓ2 θ ,θ∈[0 ,π2 ] .则原不等式化为2ｓｉｎθ -2ｃｏｓθ >12 ,即2ｓｉｎθ >2ｃｏｓθ 12 .由θ∈ [0 ,π2 ]可知 ,2ｃｏｓθ 12 >0 ,两边平方并整理 ,得3 2ｃｏｓ2 θ …     

解无理不等式的若干求简策略

解无理不等式是中学数学的一个重要内容 .在 1 999年和 2 0 0 0年全国高考数学试题中 ,曾相继出现这类解答题 .无理不等式的常规解法是先将原不等式化成 f ( x) >g( x)或 f ( x) >g( x)或 f ( x) 相似文献   

不等式(组)的解法和证明

Ⅰ不等式的两类基本问题一不等式的解法不等式的解法可分为两大类型题。 (1)代数不等式(组)的解法(包括一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组),分式不等式、无理不等式与不等式组、含有绝对值符号的不等式等内容);(Ⅱ)初等超越函数不等式(组)的解法(这里主要是指含有指数函数、对数函数、三角函数的不等式)。下面根据两大类型题的内容顺序以例题形式分述如下。 (1)代数不等式(组)的解法     

一对姐妹题的隐形误解及探究

2009年高考数学江西文理第15题都是以无理不等式为背景的求参数值的姐妹题． 文科题 若不等式√4-x^2≤k（x＋1）的解集为区间[a,b],且b-a=1,则k=__．     

一类无理不等式

近两年 ,各种中学数学刊物对于代数不等式中的分式不等式的讨论颇多 ,但对无理不等式的关注似乎较少 .本文将利用文 [1 ]的结论 ,即下述引理建立几个无理不等式 ,它们或推广或加强了已知不等式或给出已知不等式的反向估计 .引理　设ａ≤ｘｉ ≤ｂ ,ｉ=1 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 2 ,ｘ1 … ｘｎ =ｓ,ｆ(ｘ)是 [ａ ,ｂ]上的连续的严格上凸函数 ,Ｆ(ｘ1 …ｘｎ) =ｆ(ｘ1 ) … ｆ(ｘｎ) ,则Ⅰ　Ｆｍａｘ =Ｆ ｓｎ,… ,ｓｎ =ｎｆ ｓｎ ,即当且仅当ｘ1 =… =ｘｎ 时Ｆ达到最大值 ;Ⅱ　Ｆｍｉｎ =Ｆ(ａ ,… ,ａ ,ｂ ,… ,ｂ ,ｃ) =ｕｆ(ａ) (ｎ - 1 -ｕ…     

无理不等式

不等式里含有无理函数的叫做无理不等式。因为无理不等式往往需要转化为多元混合组(既含不等式又含方程)来考察它的解,所以这里先介绍简单的二元不等式(组)的解法,然后再讨论含二次根号的一元无理不等式的解法。由于目前中学不讲授多元不等式,本文可作课外活动的资料。     

平均不等式及其应用

不等式是中学数学的重要内容之一 ,而平均不等式是不等式中的重要不等式 ,这“重中之重”决定了它是永不衰退的高考热点 .事实也正是如此 ,近三年高考题中 ,1997年全国文、理第 2 2题 ,1998年全国文、理第 2 2题 ,1999年全国文、理第 2 0题都涉及到平均不等式 .因此正确理解、灵活运用平均不等式 ,掌握平均不等式求最值的技巧 ,将会使复杂的问题变得简单 ,收到事半功倍的效果 .1　正确理解平均不等式高中《代数》(必修 )下册Ｐ15第 11,12题所示两不等式稍作变形并结合起来是ａ2 ｂ22 ≥ ａ ｂ2 ≥ ａｂ≥ 21ａ 1ｂ(ａ ,ｂ∈Ｒ ) .其推广…     

从一个无理不等式的多种巧证谈起

数学报刊上介绍“一题多解”的文章不乏其例。本文涉及的一个无理不等式的几种巧证,没有沿袭有理化法证明无理不等式的固有模式(包括三角变换法化去根号的方法),旨在从开发发散性思维的角度,注重说明广泛而合理的联想对于拓宽解题思路、寻求最佳途径所起的作用。例已知f(x)=(1 x~2)~(1/2),a、b为相异实数,试证 |f(a)-f(b)|<|a-b|。证法1 欲证|f(a)-f(b)|<|a-b|,只须证|(f(a)-f(b))/(a-b)|<1。坐标平面上点A(a,f(a))与点B(b,f(b))决定的直线的斜率k_(AB)正是(f(a)-f(b))/(a-b),这样,原命题等价于证明|k_(AB)|<1,即是证明直线AB的倾斜角α小于45°或者大于135°。注意到f(x)=(1 x~2)~(1/2)的图象是双曲线y~2-x~2=1的上支,其渐近线     

对一道无理不等式的解法探讨

最近,在一次有关业务考试中,出了这样一道题: “解不等式:了百了万>x一么” 出人意料的是,对一个简单的无理不等式,很多试卷的解法都有错误。 不少人是直接将无理不等式两边平方,化为3一x>(一2)2,解得{二:士典、二<共典}· 、一一,,,,’、’一,2-一一2 有些人考虑得细致些,是这样解的: 解:要使了石‘有意义,必须3一二)0,再令二-2多0,即在2石x石3的范围内,不等式两边都是非负的,可同时平方,得3一x>(x一2)2,由它解得{二卜兰只遴<二拱班},·月~,。,···一,2-一一2又由于2‘x‘3,故原不等式的解集为{二.2、二(旦粤返}. ~.~-一、2 但是,这种解…     

一道无理不等式题的解法探究

无理不等式的解法一直是高考考查的热点内容 ,也是同学们难以掌握的内容 .本文选出一道典型例题 ,从多方面入手 ,深入剖析 ,以期帮助同学们提高分析和解题能力 .题目　解不等式ｘｘ2 + 1>ｘ2 -1.解法 1　 (利用分类讨论求解 )原不等式等价于下面不等式组(Ⅰ )ｘ≥ 0 ,ｘ2 -1≥ 0 ,(ｘｘ2 + 1) 2 >(ｘ2 -1) 2 ,或 (Ⅱ ) ｘ≥ 0 ,ｘ2 -1<0 ,或 (Ⅲ )ｘ <0 ,ｘ2 -1<0 ,(ｘｘ2 + 1) 2 <(ｘ2 -1) 2 .①由不等式组 (Ⅰ )得ｘ≥ 1;②由不等式组 (Ⅱ )得 0≤ｘ <1;③由不等式组 (Ⅲ )得 -33 <ｘ <0 .综合①②③得原不等式的解集为 (-33 ,0 )∪ [0 ,1…     

不等式的解法

考点评析不等式的解法仍是高考命题的热点之一 ,不等式的有关内容仍将在函数、数列、几何、实际应用等有关的综合题中考查 .1.1　知识点剖析在熟练掌握一元一次不等式 (组 )、一元二次不等式的解法基础上初步掌握其他一些简单的不等式的解法 ,如高次不等式、分式不等式、无理不等式、含绝对值的不等式、指数不等式和对数不等式的求解 ,一般是将它们进行同解变换 (即等价变换 )化为一元一次不等式 (组 )或一元二次不等式 (组 )后而得其解 .要注意对含字母系数的不等式须经讨论求解的问题 .1.2　思想方法化 (无理 )为有理 ,化 (分式 )为整式…     

谈谈不等式证明教学中的若干措施

高中阶段关于不等式主要含有三个部分:(1)不等式的性质;(2)不等式的证明;(3)不等式的解法。其中(2)是教学中的重点,也是难点。这是因为这部分题的类型广,证法多样,运用的知识也多。如何克服这一难点,使学生即能掌握这部分知识,又能培养各种能     

用“零件不等式”证明一类带界的分式不等式

“庞大的肌体由微小的细胞组成 ,复杂的机器由简单的零件构成” ,这给我们一个启示 :对于那些纷繁杂难的分式不等式 ,能否觅求一些简单的不等式 ,以便应用它们去巧妙简捷地达到证题的目的 ?答案是肯定的 ,本文就一类带界的分式不等式加以讨论 .对于形如∑f(a ,a2 ,… ,an)g(a ,a2 ,… ,an) ≥A(或≤A)的不等式 ,常常可以根据题中的界A及不等式左边的特征 ,构造出如下的不等式hi(a ,a2 ,… ,an)≥A aαiaα1+aα2 +… +aαn(1)或hi(a ,a2 ,… ,an)≤A aαiaα1+a2α+… +αn(2 )其中hi(a1,a2 ,… ,an)为不等式左边中的第i个加项 .将这些不…     

课本无理不等式的巧证及推广

高中《数学》第二册 (上 )第六章不等式中涉及到一类无理不等式的证明 ,本文先给出它们的一种巧证 ,然后将其作统一推广 .1　巧证引理　如果x≥ 0 ,那么x =x2 .例 1　 (P15例 1)求证 :3+ 7<2 5.证明　 3+ 7=( 3+ 7) 2=10 + 2 2 1<10 + 2 2 5=2 5.例 2　 (P16题 1)求证 :6 + 7>2 2 + 5.证明　 6 + 7=( 6 + 7) 2=13+ 2 4 2>13+ 2 4 0=( 8+ 5) 2 =2 2 + 5.例 3　 (P17题 4 )求证 :1) 3+ 5<4 ;2 ) 13+ 2 >5- 2 .证明　 1) 3+ 5=( 3+ 5) 2=8+ 2 15<8+ 2 16 =4 .2 ) 13+ 2 =2 - 3=( 2 - 3) 2=7- 43>7- 45=( 5- 2 ) 2 =5- 2 .说明　不等式 1)与 2…     

减元探思路 变式提效能

对于2021年台湾数学奥林匹克竞赛中的一道无理不等式证明题,从降低问题难度入手,由对简单问题的证法得到启示,打通了证明原题的突破口.同时对赛题进行变式研讨,给出了一些贴近学生思维的试题.     

1999年部分高考试题编拟说明

1　理解数学关系　切实考查“双基”——理科第 ( 19)题 ,文科第 ( 19)、 ( 2 0 )题编拟说明文、理科卷的第 ( 19)题都是涉及对数函数的题目 .作为解答题的第一个题目 ,命题的立意是着重考查基础知识 ,难度控制为容易题 .指数函数、对数函数是初等函数中的主要部分 ,由试题搭配组合的结果 ,决定以这些知识点作为本题的考查内容 .从数学上看 ,不等是绝对的 ,相等是相对的 .不等的事件到处都有 ,而相等则只在某个瞬间出现 .因而数学上所面对的问题主要是不等式问题 ,困难的也是不等式问题 ,在求解不等式问题中 ,由确定不等式开始成立的瞬间而…     

一道联赛题的两种解法

2003年全国高中数学联赛13题是一道无理不等式的证明问题,难度适中,能较好地考查学生构造、变形、转化等能力.     

不等式的解法、含有绝对值的不等式

本单元知识点及重要方法本单元必须掌握有理不等式 ,无理不等式 .指数与对数不等式 .含有绝对值的不等式的基本解法 .解不等式过程中用到的重要思想或方法有 :转化法 (主要指同解变形 ) ,换元法 ,分类讨论 ,数形结合 .练　习选择题1　不等式 2 -ｘ >ｘ的解集是 (　　 )(Ａ) {ｘ|ｘ <1}.(Ｂ) {ｘ|- 2 <ｘ <1}.(Ｃ) {ｘ|0≤ｘ <1}.(Ｄ) {ｘ|ｘ <0 }.2　不等式组ｘ >03 -ｘ3 ｘ>|2 -ｘ2 ｘ|的解集是 (　　 )(Ａ) {ｘ|0 <ｘ <2 }.(Ｂ) {ｘ|0 <ｘ <2 .5}.(Ｃ) {ｘ|0 <ｘ <6}(Ｄ) {ｘ|0 <ｘ <3 }.3　不等式 |ｘ2 - 2ｘ 3|<|3ｘ - 1|的解集是 (…     

一个双边不等式的推广

文[1]建立并证明了“两个十分有意义的无理不等式”（定理2此略）．