用平均不等式证明不等式的思路

平均不等式ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ ( 1)(ａ ,ｂ∈Ｒ ,当且仅当ａ =ｂ时取等号 )及　　　　ａ3 ｂ3 ｃ3 ≥ 3ａｂｃ ( 2 )(ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时取等号 )是证明不等式的重要工具 ,怎样熟练灵活运用它们证明不等式是学习中的难点 .实际上 ,灵活运用上述公式可从平均不等式与待证不等式的特征入手 .1　升降次数例 1　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａｂｃ =1,求证ａ3 ｂ3 ｃ3 ≥ａ ｂ ｃ .分析 :两个平均不等式对单个字母而言从左到右是起降次作用 ,注意到要证的不等式正具有此特点且ａ =ｂ =ｃ =1时两边相等 ,因而有下面的证法 .证　…     

一个分式不等式的再推广

《数学通报》1 996年第 5期第 1 0 1 3号问题 :设ａ ,ｂ ,ｃ为正数 ,且满足ａｂｃ =1 ,试证1ａ3(ｂ+ｃ) +1ｂ3(ｃ+ａ) +1ｃ3(ａ+ｂ) ≥ 32 (1 )近年来 ,多篇文章用不同的方法给出了不等式 (1 )的证明和幂指数推广 ,文 [1 ]列出了 1 5篇参考书目 ,并给出了不等式 (1 )的两个漂亮的幂指数推广 .本文从指数和项数方面考虑 ,给出不等式(1 )的两个推广 ,文 [1 ]中的两个推广定理是本文的两个推广定理的特例 .利用均值不等式 ,易证 :若ａ,ｂ是正数 ,且ａｂ= 1 ,ｍ为任意实数 ,有ａｍｂ +ｂｍａ ≥ 2 (2 )定理 1　设ｘｉ∈Ｒ+,(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,…     

对一个不等式问题的完善

设ａ ,ｂ ,ｃ为正数 ,且满足ａｂｃ=1 ,试证 :1ａ3(ｂ ｃ) 1ｂ3(ａ ｃ) 1ｃ3(ａ ｂ) ≥ 32 .该题是第 3 6届ＩＭＯ试题 .自《数学通报》1 996年第 5期作为征解问题的第 1 0 1 3题以来 ,仅《数学通报》就有近 2 0篇文章 (见参考文献 ) ,作为例题或习题加以引用 ,用不同的方法进行了证明 ,也有一些文章对该题结论进行了推广 ,如文 [2 ]推广为设ａ ,ｂ ,ｃ为正数 ,且满足ａｂｃ=1 ,试证 :1ａｍ(ｂ ｃ) 1ｂｍ(ａ ｃ) 1ｃｍ(ａ ｂ) ≥32 (ｍ ∈Ｎ) .但其证明有错误 .文 [7]推广为ｍ ≥ 2的实数 .本人首先指出对该题或该题的推广的证明中…     

IMO42-2的推广的简证

第 42届 (2 0 0 1年 )国际数学奥林匹克试题第2题是 :对所有正实数ａ ,ｂ ,ｃ,证明 :ａａ2 +8ｂｃ+ｂｂ2 +8ｃａ+ｃｃ2 +8ａｂ ≥ 1 (1 )这个形式优美的不等式 ,看似简单 ,实则不易 ,文 [1 ]提供了一种反证法证明 .文 [2 ]、[3 ]则通过换元后 ,采用分析与综合相结合的证法 ,文[4]、[5 ]则给出了一种很简洁的叠加法证明 ,文[6 ]则采用文 [2 ]、[3 ]的方法 ,将 (1 )式推广为 :若ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+,λ≥ 8,则ａａ2 +λｂｃ+ｂｂ2 +λｃａ+ｃｃ2 +λａｂ≥ 31 +λ (2 )文 [4]、[5 ]为证 (1 )式 ,先证明ａａ2 +8ｂｃ ≥ ａ43ａ43 +ｂ43 +ｃ43(3 )(3…     

一道竞赛题推广的简证

题　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克竞赛试题 )证明 :对任意实数ａ >1,ｂ >1,有不等式 ａ2ｂ - 1 ｂ2ａ - 1≥ 8.文 [1]将其推广为 :设ａｉ>0 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 1) 2ａ2 (ａ2 1) 2ａ3 … (ａｎ - 1 1) 2ａｎ (ａｎ 1) 2ａ1≥ 4ｎ (1)文 [2 ]将 (1)式进一步推广为 :设ａｉ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ)∈Ｒ ,ｍ≥ 2 ,ｍ∈Ｎ ,则(ａ1 1) ｍａ2 (ａ2 1) ｍａ3 … (ａｎ - 1 1) ｍａｎ (ａｎ 1) ｍａ1≥ｎ·ｍｍ· 1(ｍ - 1) ｍ - 1(2 )李超同学在文 [2 ]中采用待定系数法证明了 (2 )式 .经探究发现 ,采用拆项法可以简洁地证明 (2 )…     

W.Janous猜测的推广

Ｗ .Ｊａｎｏｕｓ猜测 :设ｘ ,ｙ ,ｚ >0 ,则 :ｙ2 -ｘ2ｚ ｘ ｚ2 -ｙ2ｘ ｙ ｘ2 -ｚ2ｙ ｚ ≥ 0 .近年来 ,许多文章都用不同的方法给出了这一名题的证明和幂指推广 .但至今还未看到该猜测的项数推广 .本文用排序不等式给出该猜测的一个十分简明的证明 ,并给出项数推广 .首先给出排序不等式 :设ａ1 ≥ａ2 ≥…≥ａｎ,ｂ1 ≥ｂ2 ≥…≥ｂｎ.则 :ａ1 ｂ1 ａ2 ｂ2 … ａｎｂｎ　 (同序乘积和 )≥ａ1 ｂｉ1 ａ2 ｂｉ2 … ａｎｂｉｎ (乱序乘积和 )≥ａ1 ｂｎ ａ2 ｂｎ- 1 … ａｎｂ1 (反序乘积和 )下证Ｗ .Ｊａｎｏｕｓ猜测 .证明　对…     

涉及两数平均的一组不等式

本文试给出关于正数ａ ,ｂ的表达式 (ａ 1ａ) (ｂ 1ｂ)与这两个正数的算术平均及几何平均的一组有趣的条件不等式 .从这组不等式的条件与结论之间的关系注意观察 :一个命题条件涉及范围的变化如何影响其结论的强弱 .　　定理 1　设ａ ,ｂ∈Ｒ ,则(ａ 1ａ) (ｂ 1ｂ) ≥ (ａｂ 1ａｂ) 2 (1 )若ａ ｂ≤ 2 2 5 ,则(ａ 1ａ) (ｂ 1ｂ) ≥ (ａ ｂ2 2ａ ｂ) 2 (2 )若ａ ｂ≤ 2 3 ,则(ａ 1ａ) (ｂ 1ｂ) ≥ (ａ ｂ2 1ａｂ) 2 (3 )　　证明　为证不等式 (1 ) ,两边展开整理即有(ａ 1ａ) (ｂ 1ｂ)≥ (ａｂ 1ａｂ) 2 　 　ｂａ ａｂ ≥ 2显然…     

一道不等式的证明及推广

题 :已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+且ａ +ｂ+ｃ =1求证　(ａ+1ａ) (ｂ+1ｂ) (ｃ+1ｃ) ≥1 0 0 02 7①分析　证明此题的关键在三个方面 :(1 )等号何时成立 :(2 )怎样拆项 ;(3 )会用平均值不等式 .易知ａ=ｂ =ｃ=13 时①取等号 ,①等价于 (3ａ+3ａ) (3ｂ+3ｂ) (3ｃ+3ｃ) ≥ 1 0 0 0 .将 3ａ +3ａ 拆成 3ａ与 9个 13ａ的和 ,这样拆的目的使 3ａ与 13ａ在ａ =13 时取等号 ,3ｂ +3ｂ 与3ｃ+3ｃ 同理 ,再用平均值不等式 ,问题便迎刃而解 .证明　因为 (3ａ+3ａ) (3ｂ+3ｂ) (3ｃ+3ｃ)= (3ａ +13ａ+… +13ａ9个) (3ｂ+13ｂ+… +13ｂ9个)· (3ｃ+13ｃ+… +13ｃ9…     

应用放缩法证明不等式

放缩法是证明不等式的重要方法 .应用哪些方法进行放缩 ,向哪个方向放缩 ,放缩到什么程度 ?是使用该法证明不等式的难点 .本文将就这些方面作些介绍 .1　去掉式子中某些正项或负项去掉式子中某些正项或者负项 ,可使式子缩小或者放大 .例 1　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ 且ａｂ ｂｃ ａｃ =1,求证 :ａ ｂ ｃ≥ 3 .证　∵ (ａ ｂ ｃ) 2 =ａ2 ｂ2 ｃ2 2ａｂ 2ｂｃ 2ａｃ=12 [(ａ -ｂ) 2 (ｂ -ｃ) 2 (ｃ -ａ) 2 ] 3(ａｂ ｂｃ ａｃ)≥ 3(ａｂ ｂｃ ａｃ) =3 ,∵ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,∴ａ ｂ ｃ≥ 3 .例 2　在△ＡＢＣ中 ,求证 :ｓｉ…     

对《一个不等式的另几种证法与推广》的商榷与补充

本刊 2 0 0 0年第 2期刊出了《一个不等式的另几种证法与推广》[1] ,读后受益匪浅 .1　一点商榷意见及修正意见文 [1 ]在证明ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ )时 ,似有“循环论证”之嫌 .现恭抄其证明过程如下 :　　　　ａ3 ｂ3≥ａ2 ｂ ａｂ2 ≥ 2ａ3ｂ3,　　　　ｂ3 ｃ3≥ｂ2 ｃ ｂｃ2 ≥ 2ｂ3ｃ3,　　　　ｃ3 ａ3≥ｃ2 ａ ｃａ2 ≥ 2ｃ3ａ3,三式相加得ａ3 ｂ3 ｃ3≥ａ3ｂ3 ｂ3ｃ3 ｃ3ａ3　　　　　　　≥ 33 ａ6 ｂ6 ｃ6 =3ａｂｃ.在证明过程的最后 ,作者绕了一个大圈 ,最终还是利用ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ来证明ａ3 ｂ3 ｃ3≥ …     

课本不等式证明技巧点滴

不等式证明是高中数学的重、难点内容之一 ,也是历年高考、竞赛命题的热点内容 .如何巧妙、简捷地实现不等式的论证 ,往往需要一定的技巧 .本文以人教社出版的新教材上的问题为例 ,谈谈一些巧思妙证 .1　活用二元均值不等式例 1　 (Ｐ11习题第 1题 )求证(ａ +ｂ2 ) 2 ≤ ａ2 +ｂ22 .证明　∵ａ2 +(ａ+ｂ2 ) 2 ≥ 2ａ(ａ +ｂ2 ) ,ｂ2 +(ａ +ｂ2 ) 2 ≥ 2ｂ(ａ +ｂ2 ) ,∴将上面二式相加 ,得ａ2 +ｂ2 +2 (ａ +ｂ2 ) 2 ≥ 4 (ａ +ｂ2 ) 2 ,故　 ａ2 +ｂ22 ≥ (ａ +ｂ2 ) 2 .评注　证法似乎繁点 ,但其中的配凑项技巧十分有用 .例 2　 (Ｐ15例 6 …     

对一个不等式的深入思考

问题　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4.这是《数学教学》2 0 0 1年第 6期问题栏的一道新题 ,我们的深入思考是 :从次数方向探索 ,对自然数ｎ ,此题有无推广的新题呢 ?推广 1　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :1 )对于 1≤ｎ≤ 4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤ 2ｂｎ 均成立 ;2 )对于ｎ >4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤2ｂｎ不能成立 .证　 1 )由原不等式ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4的证明过程易知 ,其等号当且仅当ｃｏｓＢ =12 ,且ｂ2 =ａｃ,即ａ =…     

关于“一个不等式的推广”的失误与纠正

文 [1 ]把关于正数组ｘｉ,ｙｉ 的不等式 [2 ]∑ｎｉ=1ｘ2 ｉｙｉ ≥(∑ｎｉ=1ｘｉ) 2∑ｎｉ=1ｙｉ(1 )推广为 :设ａｉ,ｂｉ ∈Ｒ ,(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,且ａ1 ａ2 … ａｎ =ｋ ,ｂ1 ｂ2 … ｂｎ =ｐ ,则∑ｎｉ=1ａｍｉｂｉ ≥ ｎ2 -ｍｋｍｐ .(｜ｍ｜≥ 1 ) (2 )事实上 ,以上不等式 (1 )即柯西不等式的一个变形 ,而推广不等式 (2 )并不成立 .我们试举以下反例 :于式 (2 )取ｍ =1 ,ｎ=2 ,ａ1 =4,ａ2 =1 ,ｂ1= 2 ,ｂ2 =1 ,式 (2 )左边 =3 <式 (2 )右边 =1 0 /3,可知不等式 (2 )不真 .那么原文在证明推广不等式 (2 )时问题出在哪里 ?我们…     

《几何不等式》中一个不等式的纠正

笔者发现 ,《几何不等式》[1 ] 一书第 68～ 69页 5 47题有不妥之处。该题如下 :在△ＡＢＣ中 ,ａ ,ｂ,ｃ为边长 ,ｒａ,ｒｂ,ｒｃ 为旁切圆半径 ,Ｓ为半周长 ,ｒ为内切圆半径 ,则ａｒａ ｂｒｂ ｃｒｃ ≤ 32ｓｒ .　　 ( 1 )本文指出其错误证法 ,并建议将 ( 1 )修正为 :ａｒａ ｂｒｂ ｃｒｃ ≤ 2ｓｒ .　　 ( 2 )1　原书的错误证明现恭抄如下 :证明　因为ｒａ =ｒｓｓ-ａ,等等 ,不等式 ( 1 )等价于 :ａ(ｓ-ａ) ｂ(ｓ-ｂ) ｃ(ｓ-ｃ)≤32 ｓ.由几何———算术平均不等式得ａ(ｓ -ａ) ｂ(ｓ -ｂ) ｃ(ｓ -ｃ)≤ａ ｓ-ａ2 ｂ …     

一个不等式猜想的推广及证明

在文 [1]中 ,宋庆、宋光在证明下面两个不等式 :若ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,则(ａ ｂ) (1ａ 1ｂ)≥ 4 4 (4 ｂａ -4 ａｂ) 2 (1)(ａ ｂ ｃ) (1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9 6 [(6ｃｂ -6ｂｃ) 2 (6ａｃ -6ｃａ) 2 (6ｂａ -6ａｂ) 2 ](2 )后 ,提出了下面的猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ =1 ａｋ ｎｋ =11ａｋ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ <ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2(3)并作注 :采用上述“步步为营”的方法 ,可繁笨地证明ｎ =4,5等时 (3)式正确 .下面我们将不等式 (3)进行推广 ,得到了比不等式 (3)更强的结果 .定理 1　若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,…     

一类无理不等式

近两年 ,各种中学数学刊物对于代数不等式中的分式不等式的讨论颇多 ,但对无理不等式的关注似乎较少 .本文将利用文 [1 ]的结论 ,即下述引理建立几个无理不等式 ,它们或推广或加强了已知不等式或给出已知不等式的反向估计 .引理　设ａ≤ｘｉ ≤ｂ ,ｉ=1 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 2 ,ｘ1 … ｘｎ =ｓ,ｆ(ｘ)是 [ａ ,ｂ]上的连续的严格上凸函数 ,Ｆ(ｘ1 …ｘｎ) =ｆ(ｘ1 ) … ｆ(ｘｎ) ,则Ⅰ　Ｆｍａｘ =Ｆ ｓｎ,… ,ｓｎ =ｎｆ ｓｎ ,即当且仅当ｘ1 =… =ｘｎ 时Ｆ达到最大值 ;Ⅱ　Ｆｍｉｎ =Ｆ(ａ ,… ,ａ ,ｂ ,… ,ｂ ,ｃ) =ｕｆ(ａ) (ｎ - 1 -ｕ…     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 0年第 4期中有数学奥林匹克问题高 97.　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,求证 :(ａ 1 ) 3ｂ (ｂ 1 ) 3ｃ (ｃ 1 ) 3ａ ≥814.下面给出此题的证明 .证　左边≥ 3 (ａ 1 ) (ｂ 1 ) (ｃ 1 )3 ａｂｃ=3(ａ 12 12 ) (ｂ 12 12 ) (ｃ 12 12 )3 ａｂｃ≥ 3·33 ａ4·33 ｂ4·33 ｃ43 ａｂｃ =814.等号当且仅当ａ =ｂ =ｃ =12 时成立 .实际上 ,原命题可推广为 :ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,求证 :　　(ａ2 1 ) ｍａ1 (ａ3 1 ) ｍａ2 … (ａ1 1 ) ｍａｎ≥ ｎｍｍ(ｍ - 1 ) ｍ -1.证　左边≥ｎ[(ａ2 1 ) (ａ3 1 )…     

一个不等式的发现

文 [1]给出了下面的一道竞赛题的几种优美的证法 .题　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克竞赛试题 )证明 :对任意实数ａ >1,ｂ >1,有不等式 ａ2ｂ - 1 ｂ2ａ - 1≥ 8.其中一种证法是 :设ａ - 1=ｘ ,ｂ - 1=ｙ ,则ｘ >0 ,ｙ >0 ,原不等式等价于(ｘ 1) 2ｙ (ｙ 1) 2ｘ ≥ 8.运用柯西不等式 ,得(ｘ 1) 2ｙ (ｙ 1) 2ｘ=(ｘ 1) 2ｙ (ｙ 1) 2ｘ (ｙｘ ｙ ｘｘ ｙ)≥(ｘ ｙ 2 ) 2ｘ ｙ =(ｘ ｙ) 2 4(ｘ ｙ) 4ｘ ｙ=(ｘ ｙ) 4ｘ ｙ 4≥ 8.证明简洁而易懂 .原文还给出了一个推广 ,即设ａｉ>0 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 1) 2ａ2 (ａ…     

一个代数不等式的简洁证明

题目　ａ ,ｂ ,ｃ均为正数 ,且ａｂｃ =1,则有ａ( 1 ｂ)2 ｂ( 1 ｃ)2 ｃ( 1 ａ)2≥ 2ａ( 1 ｂ) 2ｂ( 1 ｃ) 2ｃ( 1 ａ) .《中学数学教学》2 0 0 0年第 2期第 34页上给出的证明很繁冗 ,下面介绍一种十分简洁的证明 .证　∵ ( 1 ｂ) ( 1 1ｂ) =2 ｂ 1ｂ ≥ 4 ,∴ 1 1ｂ ≥ 41 ｂ,　　∴ 1ａ 1ａｂ≥ 4ａ( 1 ｂ) ,∴ｂｃ ｃ≥ 4ａ( 1 ｂ) .同理可得　ｃａ ａ≥ 4ｂ( 1 ｃ) ,ａｂ ｂ≥ 4ｃ( 1 ａ) ,以上三式相加 ,整理即得原不等式一个代数不等式的简洁证明@宋爽$永修县第一中学!江西九江330304 高三 @王春明$永修县第一中学!江西…     

均值不等式的妙用

二元和三元均值不等式是高中数学的重要内容之一 ,无论是证明不等式、求最值 ,还是确定参变量的取值范围 ,其神奇功效是显而易见的 .1　ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ (ａ ,ｂ∈Ｒ)　例 1　已知ａ ,ｂ∈ (0 ,1) ,求证ａ1-ａ2 ｂ1-ｂ2 ≥ ａ ｂ1-ａｂ.证　∵ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ ,∴ ａ1-ａ2 ｂ1-ｂ2 =ａ(1-ｂ2 ) ｂ(1-ａ2 )(1-ａ2 ) (1-ｂ2 )=(ａ ｂ) (1-ａｂ)1- (ａ2 ｂ2 ) ａ2 ｂ2>(ａ ｂ) (1-ａｂ)1- 2ａｂ ａ2 ｂ2=ａ ｂ1-ａｂ.例 2　若ａ ,ｂ∈Ｒ ,求证ａａ 2ｂ ｂ2ａ ｂ≥ 23.证　原不等式等价于3ａ(2ａ ｂ) 3ｂ(ａ 2ｂ)≥ 2 (ａ …